Spațiu vectorial normat

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Un spațiu vectorial normat, numit pe scurt spațiu normat, este un spațiu vectorial real sau complex X pe care este definită o funcție, \|\cdot\|:X\to [0,\infty), numită normă având următoarele proprietăți:

  • este pozitiv definită: \|x\|=0 dacă și numai dacă x=0,
  • \|\alpha x\|=|\alpha| \|x\| pentru orice vector x\in X și pentru orice scalar \alpha\in\mathbb{R} sau \alpha\in\mathbb{C}
  • \|x+y\|\leq\|x\|+\|y\|, \forall x,y\in X

Norma definește o distanță d(x,y)=\|x-y\|. Astfel, orice spațiu normat este spațiu metric.

Un spațiu normat în care orice șir Cauchy este convergent se numește spațiu Banach.

Exemple[modificare | modificare sursă]

a) Următoarele aplicații sunt norme pe  \mathbb R:

  1.  \|x\| =  \sqrt {\sum_{k=1}^n x^2_k} , \; \forall x= (x_1, x_2, \cdots , x_n) \in \mathbb R^n.
  2.  \|x\| =  \sum_{k=1}^n |x_k| , \; \forall x= (x_1, x_2, \cdots , x_n) \in \mathbb R^n.
  3.  \|x\| = \sup |x_k| , \; k = \overline {1,n}  , \; \forall x= (x_1, x_2, \cdots , x_n) \in \mathbb R^n.

b) Fie  \mathcal M = \{ A = \begin{bmatrix} a+bi & c+ di \\ -c+di & a-bi \end{bmatrix}, \; cu \; a,b,c \in \mathbb R, \; i^2 =-1  \} și  f: \mathcal M \rightarrow \mathbb R_+, \; f(A) = \sqrt {\det A}

Atunci  (\mathcal M, \| \cdot \|) este spațiu normat în raport cu norma dată prin  \| A \| = f(A) .