Demonstrație matematică

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare

În matematică, o demonstrație este un raționament prin care, pornind de la anumite propoziții fundamentale considerate ca adevărate (axiome sau oricare altă ipoteză precum o teoremă demonstrată anterior), se ajunge la anumite propoziții matematice care sunt în mod necesar adevărate. Este un aspect esențial în activitatea matematică.

Istorie[modificare | modificare sursă]

Dezvoltarea demonstrației matematice este în principal produsul activității unor gânditori din Grecia Antică și unul dintre marile sale succese. Thales a demonstrat câteva teoreme din geometrie. Eudoxus din Knidos (408-355) și Teetet au formulat teoreme fără a le demonstra. Aristotel preciza că definițiile trebuie să descrie conceptul definit în termenii altor concepte deja cunoscute. Demonstrațiile matematice au cunoscut o revoluție prin Euclid, care a introdus metoda axiomelor utilizată până azi, începând cu termeni pe care nu i-a definit și cu axiome – propoziții privind acești termeni de bază nedefiniți considerate ca fiind adevărate prin evidență și simț comun – și le-a folosit pentru a demonstra teoreme folosind logica deductivă. Cartea sa, Elementele, a exercitat o influență deosebită fiind citită de către orice persoană care se considera educată în Occident până la jumătatea secolului al XX-lea. Suplimentar binecunoscutelor teoreme ale geometriei, precum teorema lui Pitagora, Elementele conține o demonstrație că rădăcina pătrată a lui 2 este un număr irațional și că există o infinitate de numere prime.

Alte progrese au avut loc în lumea islamică medievală. În timp ce demonstrațiile grecilor erau destul de apropiate de geometrie, dezvoltarea aritmeticii și algebrei de către matematicienii arabi au permis demonstrații mai generale, independente de geometrie.

Natură și scop[modificare | modificare sursă]

O demonstrație poate conduce prin rezultatul ei la propoziții adevărate (teoreme) care sunt utile la demonstrarea altor teoreme. Se poate obține astfel un șir de propoziții demonstrate. Un exemplu de demonstrații în lanț este reprezentat de teorema lui Pitagora ca punct de pornire care permite obținerea demonstrării pentru teorema cosinusului care este utilă mai departe demonstrației pentru, de exemplu, teorema lui Stewart sau teorema paralelogramului.

Un alt aspect al unei demonstrații este lungimea sa, dată de numărul de propoziții din lanțul deducerii propoziției finale.

Se poate reprezenta ca o structură (graf orientat) cu puncte de ramificație (noduri) în care se combină două propoziții pentru a rezulta următoarea propoziție a șirului. Nodurile pot marca fiecare propoziție dintr-un șir, ele fiind puncte de ramificație în situația în care se intersectează șirurile de propoziții. Pentru teorema cosinusului în cazul unghiului obtuz se intersectează două șiruri de propoziții spre deosebire de unghiul ascuțit unde se intersectează trei șiruri de propoziții la substituția unor mărimi între expresiile algebrice care conțin lungimile unor segmente.

Este un aspect esențial al activității matematice și permite evidențierea conexiunii strânse dintre noțiunile matematice. Oferă și avantaje din punct de vedere pedagogic permițând reconstituirea enunțurilor matematice care se cer a fi memorate în procesul de predare a matematicii. Astfel se ușurează efortul cognitiv de memorare a informațiilor cerute de o programă de învățământ a matematicii. Matematica se deosebește astfel de alte materii ale programei școlare în privința ajutorului la memorare. Acordarea priorității cuvenite formării deprinderii de a demonstra propozițiile matematice în cadrul activității didactice are ca efect o înțelegere mai clară și profundă a activității matematice. Ignorarea acestei necesități în procesul didactic prin abordarea matematicii ca o materie școlară oarecare are efecte negative ușor observabile pentru cei care studiază matematica. Situația este similară și pentru alte materii școlare care utilizează intens matematica, cum ar fi fizica.

Metode de demonstrație[modificare | modificare sursă]

Există demonstrații directe și indirecte (prin reducere la absurd).

Concepte relaționate[modificare | modificare sursă]

O demonstrație are drept obiectiv stabilirea adevărului unor propoziții despre proprietăți sau relații.

Sfârșitul unei demonstrații[modificare | modificare sursă]