Antiprismă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare
Antiprisme n-gonale uniforme
Hexagonal antiprism.png
Antiprismă hexagonală
Descriere
Tippoliedru uniform în sensul de poliedru semiregulat
Fețe2 n-goane, 2n triunghiuri
Muchii4n
Vârfuri2n
χ2
Configurația vârfului3,3,3,n
Simbol Schläfli{ }⊗{n}[1]
s{2,2n}
sr{2,n}
Simbol ConwayAn
Diagramă CoxeterCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel n.pngCDel node.png
CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel n.pngCDel node h.png
Grup de simetrieDnd, [2+,2n], (2*n), ordin 4n
Poliedru dualtrapezoedru n-gonal dual uniform
ProprietățiConvexe, cu fețe poligoane regulate, tranzitiv la nivel de fețe
Desfășurată
Generalized antiprisim net.svg

În geometrie, o antiprismă n-gonală este un poliedru compus din două copii paralele ale unui poligon cu n laturi, conectate printr-o bandă de triunghiuri alternante. Antiprismele sunt o subclasă de prismatoide și sunt un tip (degenerat) de poliedru snub.

Antiprismele sunt similare cu prismele, cu excepția faptului că bazele sunt rotite una față de alta și că fețele laterale sunt triunghiuri în loc de patrulatere.

În cazul unei baze regulate cu „n” laturi, de obicei se ia în considerare cazul în care copia sa este rotită cu un unghi de . O regularitate suplimentară se obține atunci când linia care leagă centrele bazelor este perpendiculară pe planele bazelor, făcând-o o antiprismă dreaptă. Ca fețe are cele două baze n-gonale și, conectate la aceste baze, 2n triunghiuri isoscele.

Antiprisme uniforme[modificare | modificare sursă]

O antiprismă uniformă are, în afară de fețele de bază, 2n triunghiuri echilaterale ca fețe. Antiprismele uniforme formează o clasă infinită de poliedre tranzitive față de vârfuri, la fel ca și prismele uniforme. Pentru n = 2 se obține tetraedrul regulat ca antiprismă digonală (antiprismă degenerată), iar pentru n = 3 octaedrul regula ca antiprismă triunghiulară (antiprismă nedegenerată).

Poliedrele duale ale antiprismelor sunt trapezoedrele. Existența lor a fost discutată și numele lor a fost inventat de Johannes Kepler, deși este posibil ca acestea să fi fost cunoscute anterior de Archimede, întrucât îndeplinesc aceleași condiții pe vârfuri ca și poliedrele arhimedice.

Diagrame Schlegel[modificare | modificare sursă]

A3 Square antiprismatic graph.png
A4
Pentagonal antiprismatic graph.png
A5
Hexagonal antiprismatic graph.png
A6
Heptagonal antiprism graph.png
A7
Octagonal antiprismatic graph.png
A8

Coordonate carteziene[modificare | modificare sursă]

Coordonatele carteziene ale vârfurilor unei antiprisme drepte cu baze n-gonale (regulate) și triunghiuri isoscele sunt

unde k poate lua valori între 0 și 2n − 1; dacă triunghiurile sunt echilaterale,

.

Volumul și aria anvelopei[modificare | modificare sursă]

Fie a lungimea laturii unei antiprisme uniforme. Atunci, volumul este

iar aria anvelopei este

.

Poliedre înrudite[modificare | modificare sursă]

Există un set infinit de antiprisme trunchiate, inclusiv o formă de simetrie inferioară a octaedrului trunchiat (antiprismă triunghiulară trunchiată). Acestea pot fi alternate pentru a crea antiprisme snub, dintre care două sunt poliedre Johnson, iar antiprisma triunghiulară snub este o formă de simetrie inferioară a icosaedrului.

Antiprisme
Digonal antiprism.png Trigonal antiprism.png Square antiprism.png Pentagonal antiprism.png ...
s{2,4} s{2,6} s{2,8} s{2,10} s{2,2n}
Antiprisme trunchiate
Truncated digonal antiprism.png Truncated octahedron prismatic symmetry.png Truncated square antiprism.png Truncated pentagonal antiprism.png ...
ts{2,4} ts{2,6} ts{2,8} ts{2,10} ts{2,2n}
Antiprisme snub
J84 Icosaedru J85 Fețe neregulate...
Snub digonal antiprism.png Snub triangular antiprism.png Snub square antiprism colored.png Snub pentagonal antiprism.png ...
ss{2,4} ss{2,6} ss{2,8} ss{2,10} ss{2,2n}

Simetrie[modificare | modificare sursă]

Grupul de simetrie al unei antiprisme drepte cu bază regulată și fețele laterale triunghiuri isoscele este Dnd de ordinul 4n , cu excepția cazului tetraedrului, care are grupul de simetrie mai mare Td de ordinul 24, care are trei versiuni ale D2d ca subgrupuri, și cazul octaedrului, care are grupul de simetrie mai mare Oh de ordinul 48, care are patru versiuni ale D3d ca subgrupuri.

Grupul de simetrie admite simetria centrală (inversarea față de punctul din centru) dacă și numai dacă n este impar.

Grupul de rotație este Dn de ordinul 2n, cu excepția cazului tetraedrului, care are un grup de rotație mai mare T de ordinul 12, care are trei versiuni ale D 2 ca subgrupuri, și cazul octaedrului, care are grupul de rotație mai mare O de ordinul 24, care are patru versiuni ale D3</ sub> ca subgrupuri.

Antiprisme stelate[modificare | modificare sursă]

Pentagrammic antiprism.png
5/2-antiprismă
Pentagrammic crossed antiprism.png
5/3-antiprismă
Antiprism 9-2.png
9/2-antiprismă
Antiprism 9-4.png
9/4-antiprismă
Antiprism 9-5.png
9/5-antiprismă
Toate antiprismele stelate și nestelate cu până la 15 laturi, împreună cu cele ale unui icosikaieneagon

Antiprismele stelate uniforme sunt denumite după poligoanele stelate, {p/q}, de la bazle lor și există în versiuni directe sau retrograde. Formele retrograde au figurile vârfurilor intersectate și sunt notate cu fracții inversate, p/(p - q) în loc de p/q, de exemplu 5/3 în loc de 5/2.

În formele retrograde, dar nu și în formele directe, triunghiurile care unesc bazele stelate intersectează axa simetriei de rotație.

Unele antiprisme stelate retrograde cu baze poligonale convexe regulate nu pot fi construite cu muchii de lungimi egale, deci nu sunt poliedre uniforme.

Compușii de antiprisme stelate pot fi de asemenea construiți acolo unde p și q au factori comuni. De exemplu: o antiprismă stelată 10/4 este compusul a două antiprisme stelate 5/2.

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ en Norman Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN: 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.3 Pyramids, Prisms, and Antiprisms, Figure 11.3c

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • en Anthony Pugh (). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.  Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms

Legături externe[modificare | modificare sursă]

Commons-logo.svg Materiale media legate de antiprismă la Wikimedia Commons