Hexacontaedru romboidal

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Hexacontaedru romboidal
Deltoidalhexecontahedron.jpg
(animație și model 3D)
Descriere
TipPoliedru Catalan
Fețe60
Laturi (muchii)120
Vârfuri62 (12 + 20 + 30)
χ2
Configurația fețeiV3.4.5.4 (romboizi)
Simbol ConwayoD sau deD
Diagramă CoxeterCDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png
Grup de simetrieIh, H3, [5,3], *532
Grup de rotațieI, [5,3]+, (532)
Unghi diedru154° 7′ 17′′ = arccos(-19-85/41)
Poliedru dualRombicosidodecaedru
ProprietățiPoliedru convex, tranzitiv pe fețe
Desfășurată
Deltoidalhexecontahedron net.png
Dual: Rombicosidodecaedru

În geometrie un hexacontaedru romboidal este un poliedru Catalan cu 60 de fețe. Fiecare poliedru Catalan este dualul unui poliedru arhimedic. Dualul hexacontaedrului romboidal este rombicosidodecaedrul. Este tranzitiv pe fețe.

Este unul dintre cele șase poliedre Catalan care nu au un drum hamiltonian prin vârfurile sale.[1]

Din punct de vedere topologic este identic cu hexacontaedrul rombic neconvex.

Lungimi și unghiuri[modificare | modificare sursă]

Cele 60 de fețe sunt romboizi. Raportul dintre laturile scurte și lungi ale fiecărui romboid este 1:7 + 5/6 ≈ 1:1,539344663...

Unghiul dintre cele două laturi scurte ale unei fețe este arccos(-5-25/20) ≈ 118,2686774705°. Unghiul opus, între laturile lungi, este arccos(-5+95/40) ≈ 67,783011547435°. Celelalte două unghiuri (între o latură scurtă și una lungă) sunt ambele de arccos(5-25/10) ≈ 86,97415549104°.

Unghiul diedru dintre oricare pereche de fețe adiacente este arccos(-19-85/41) ≈ 154,12136312578°.

Topologie[modificare | modificare sursă]

Din punct de vedere topologic hexacontaedrul romboidal este identic cu hexacontaedrul rombic neconvex. Hexacontaedrul romboidal poate fi obținut dintr-un dodecaedru (sau icosaedru) prin deplasarea centrelor fețelor, a centrelor laturilor și a vârfurilor la raze diferite față de centrul poliedrului. Razele sunt alese astfel încât forma rezultată să aibă fețe plane romboidale astfel încât vârfurile să se deplaseze la colțurile de gradul 3, fețele la colțurile de gradul cinci, iar centrele laturilor la punctele de gradul patru (aici, prin grad se înțelege numărul de fețe care se întâlnesc în acel vârf).

Proiecții ortogonale[modificare | modificare sursă]

Hexacontaedrul romboidal are trei proiecții ortogonale particulare, toate centrate pe vârfuri.

Proiecții ortogonale sub formă de cadre de sârmă
Simetrie
proiectivă
[2] [2] [2] [2] [6] [10]
Imagini Dual dodecahedron t02 v.png Dual dodecahedron t02 e34.png Dual dodecahedron t02 e45.png Dual dodecahedron t02 f4.png Dual dodecahedron t02 A2.png Dual dodecahedron t02 H3.png
Imagini
duale
Dodecahedron t02 v.png Dodecahedron t02 e34.png Dodecahedron t02 e45.png Dodecahedron t02 f4.png Dodecahedron t02 A2.png Dodecahedron t02 H3.png

Poliedre și pavări înrudite[modificare | modificare sursă]

Hexacontaedru romboidal sferic
Familia de poliedre icosaedrice uniforme
Simetrie: [5,3], (*532) [5,3]+, (532)
Uniform polyhedron-53-t0.svg Uniform polyhedron-53-t01.svg Uniform polyhedron-53-t1.svg Uniform polyhedron-53-t12.svg Uniform polyhedron-53-t2.svg Uniform polyhedron-53-t02.png Uniform polyhedron-53-t012.png Uniform polyhedron-53-s012.png
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
{5,3} t{5,3} r{5,3} t{3,5} {3,5} rr{5,3} tr{5,3} sr{5,3}
Duale ale poliedrelor uniforme
Icosahedron.jpg Triakisicosahedron.jpg Rhombictriacontahedron.jpg Pentakisdodecahedron.jpg Dodecahedron.jpg Deltoidalhexecontahedron.jpg Disdyakistriacontahedron.jpg Pentagonalhexecontahedronccw.jpg
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5

Atunci când sunt proiectate pe o sferă (v. la dreapta), se poate observa că laturile formează laturile unui icosaedru și dodecaedru dispuse în pozițiile lor duale.

Din punct de vedere topologic acest poliedru face parte din secvența de poliedre romboidale cu figura feței (V3.4.n.4) și continuă cu pavări ale planului hiperbolic. Aceste figuri tranzitive pe fețe au simetria de reflexie (*n32) în notația orbifold.

Variante de pavări expandate duale cu simetrie *n32: V3.4.n.4
Simetrie
*n32
[n,3]
Sferice Euclid. Hiperb. compacte Paracomp.
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
Config.
feței
Spherical trigonal bipyramid.png
V3.4.2.4
Spherical rhombic dodecahedron.png
V3.4.3.4
Spherical deltoidal icositetrahedron.png
V3.4.4.4
Spherical deltoidal hexecontahedron.png
V3.4.5.4
Tiling Dual Semiregular V3-4-6-4 Deltoidal Trihexagonal.svg
V3.4.6.4
Deltoidal triheptagonal tiling.svg
V3.4.7.4
H2-8-3-deltoidal.svg
V3.4.8.4
Deltoidal triapeirogonal til.png
V3.4.∞.4

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ en „Archimedean Dual Graph”. 

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]