Poliedru arhimedic

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare
Tetraedru trunchiat, cuboctaedru și icosidodecaedru trunchiat. Primul și ultimul sunt cel mai mic, respectiv cel mai mare poliedru arhimedic.

În geometrie, un poliedru arhimedic este unul dintre cele 13 poliedre enumerate pentru prima dată de Arhimede. Sunt poliedre uniforme convexe formate din poligoane regulate care se întâlnesc în vârfuri identice, cu excepția celor cinci poliedre platonice (care sunt compuse dintr-un singur tip de poligon) și a prismelor și antiprismelor. Ele diferă de poliedrele Johnson, ale căror fețe poligonale regulate nu se întâlnesc în vârfuri identice.

„Vârfuri identice” înseamnă că fiecare două vârfuri sunt simetrice între ele: o izometrie globală a întregului poliedru aplicată la două vârfuri păstrează poliedrul în poziția inițială. Branko Grünbaum[1] a observat că al 14-lea poliedru, girobicupola pătrată alungită (sau pseudorombicuboctaedrul), satisface mai slab definiția unui poliedru arhimedic, „vârfuri identice” însemnând doar că fețele care înconjoară fiecare vârf sunt de același tip (adică fiecare vârf arată la fel de aproape), deci este necesară doar o izometrie locală. Grünbaum a subliniat o eroare frecventă pe care o fac autorii care definesc poliedrele arhimedice folosind această definiție locală, dar omit poliedrul 14. Dacă trebuie enumerate doar 13 poliedre, definiția trebuie să se bazeze pe simetriile globale ale poliedrului în loc să se bazeze pe vecinătățile locale.

Prismele și antiprismele, ale căror grup de simetrie sunt grupul diedric, nu sunt în general considerate a fi poliedre arhimedice, chiar dacă fețele lor sunt poligoane regulate și grupurile lor de simetrie acționează tranzitiv pe vârfurile lor. Excluzând aceste două familii infinite, există 13 solide arhimedice. Toate poliedrele arhimedice (dar nu și girobicupola pătrată alungită) pot fi realizate prin construcții Wythoff din poliedrele platonice cu simetrie tetraedrică, octaedrică și icosaedrică.

Originea numelui[modificare | modificare sursă]

Poliedrele arhimedice sunt numite după Arhimede, care le-a discutat într-o lucrare acum pierdută. Pappus din Alexandria, referindu-se la această lucrare, afirmă că Arhimede a enumerat 13 poliedre.[1] În timpul Renașterii, artiștii și matematicienii au apreciat formele pure cu simetrie ridicată, iar în jurul anului 1620 Johannes Kepler a finalizat redescoperirea celor 13 poliedre,[2] precum și definirea prismelor, antiprismelor și a poliedrelor neconvexe cunoscute sub numele de poliedrele Kepler–Poinsot. (V. Schreiber, Fischer & Sternath 2008. pentru mai multe informații despre redescoperirea solidelor arhimedice în timpul Renașterii.)

Kepler poate că a găsit și girobicupola pătrată alungită (pseudorombicuboctaedrul); cel puțin, el a declarat odată că există 14 solide arhimedice. Totuși, enumerarea sa publicată cuprinde doar cele 13 poliedre uniforme, iar prima afirmație clară a existenței pseudorombicuboctaedrului a fost făcută în 1905 de Duncan Sommerville.[1]

Clasificare[modificare | modificare sursă]

Există 13 poliedre arhimedice (fără a lua în considerare girobicupola pătrată alungită; 15 dacă imaginea în oglindă a două poliedre enantiomorfe, cubul și dodecaedrul snub, sunt numărate separat).

Aici configurația vârfului se referă la tipul de poligoane regulate care se întâlnesc la orice vârf dat. De exemplu, o configurație a vârfului (4,6,8) înseamnă că un pătrat, un hexagon și un octogon se întâlnesc într-un vârf (ordinea fiind în sensul acelor de ceasornic în jurul vârfului).

Nume
(nume alternativ)
Schläfli
Coxeter
Gr. sim.
Transparent Plin Desfășurată Vârf
config.
fig.
Fețe Vârfuri
Muchii
Volum
(latura =
unitatea)
Sfericitate
tetraedru trunchiat t{3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Td
tetraedru trunchiat
(Animație)
Polyhedron truncated 4a max.png Polyhedron truncated 4a net.svg 3.6.6
Polyhedron truncated 4a vertfig.png
8 4 triunghiuri
4 hexagoane
12
18
2,710576 0,7754132
cuboctaedru
(rombitetratetraedru,
girobicupolă triunghiulară)
r{4,3} sau rr{3,3}
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png sau CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Oh
cuboctaedru
(Animație)
Polyhedron 6-8 max.png Polyhedron 6-8 net.svg 3.4.3.4
Polyhedron 6-8 vertfig.png
14 8 triunghiuri
6 pătrate
12
24
2,357023 0,9049972
cub trunchiat t{4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Oh
hexaedru trunchiat
(Animație)
Polyhedron truncated 6 max.png Polyhedron truncated 6 net.svg 3.8.8
Polyhedron truncated 6 vertfig.png
14 8 triunghiuri
6 octogoane
24
36
13,599663 0,8494937
octaedru trunchiat
(tetratetraedru trunchiat)
t{3,4} sau tr{3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png sau CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Oh
octaedru trunchiat
(Animație)
Polyhedron truncated 8 max.png Polyhedron truncated 8 net.svg 4.6.6
Polyhedron truncated 8 vertfig.png
14 6 pătrate
8 hexagoane
24
36
11,313709 0,9099178
rombicuboctaedru
(rombicuboctaedru mic,
ortobicupolă pătrată alungită)
rr{4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Oh
rombicuboctahedru
(Animație)
Polyhedron small rhombi 6-8 max.png Polyhedron small rhombi 6-8 net.svg 3.4.4.4
Polyhedron small rhombi 6-8 vertfig.png
26 8 triunghiuri
18 pătrate
24
48
8,714045 0,9540796
cuboctaedru trunchiat
(rombicuboctaedru mare)
tr{4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Oh
cuboctaedru trunchiat
(Animație)
Polyhedron great rhombi 6-8 max.png Polyhedron great rhombi 6-8 net.svg 4.6.8
Polyhedron great rhombi 6-8 vertfig light.png
26 12 pătrate
8 hexagoane
6 octogoane
48
72
41,798990 0,9431657
cub snub
(cuboctahedru snub)
sr{4,3}
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
O
hexaedru snub (Ccw)
(Animație)
Polyhedron snub 6-8 left max.png Polyhedron snub 6-8 left net.svg 3.3.3.3.4
Polyhedron snub 6-8 left vertfig.png
38 32 triunghiuri
6 pătrate
24
60
7,889295 0,9651814
icosidodecaedru
(girobirotondă pentagonală)
r{5,3}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Ih
icosidodecaedru
(Animație)
Polyhedron 12-20 max.png Polyhedron 12-20 net.svg 3.5.3.5
Polyhedron 12-20 vertfig.png
32 20 triunghiuri
12 pentagoane
30
60
13,835526 0,9510243
dodecaedru trunchiat t{5,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Ih
dodecaedru trunchiat
(Animație)
Polyhedron truncated 12 max.png Polyhedron truncated 12 net.svg 3.10.10
Polyhedron truncated 12 vertfig.png
32 20 triunghiuri
12 decagoane
60
90
85,039665 0,9260125
icosaedru trunchiat t{3,5}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png
Ih
icosaedru trunchiat
(Animație)
Polyhedron truncated 20 max.png Polyhedron truncated 20 net.svg 5.6.6
Polyhedron truncated 20 vertfig.png
32 12 pentagoane
20 hexagoane
60
90
55,287731 0,9666219
rombicosidodecaedru
(rombicosidodecaedru mic)
rr{5,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Ih
rombicosidodecaedru
(Animație)
Polyhedron small rhombi 12-20 max.png Polyhedron small rhombi 12-20 net.svg 3.4.5.4
Polyhedron small rhombi 12-20 vertfig.png
62 20 triunghiuri
30 pătrate
12 pentagoane
60
120
41,615324 0,9792370
icosidodecaedru trunchiat
(rombicosidodecaedru mare)
tr{5,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Ih
icosidodecaedru trunchiat
(Animație)
Polyhedron great rhombi 12-20 max.png Polyhedron great rhombi 12-20 net.svg 4.6.10
Polyhedron great rhombi 12-20 vertfig light.png
62 30 pătrate
20 hexagoane
12 decagoane
120
180
206,803399 0,9703127
dodecaedru snub
(icosidodecaedru snub)
sr{5,3}
CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
I
dodecaedru snub (Cw)
(Animație)
Polyhedron snub 12-20 left max.png Polyhedron snub 12-20 left net.svg 3.3.3.3.5
Polyhedron snub 12-20 left vertfig.png
92 80 triunghiuri
12 pentagoane
60
150
37,616650 0,9820114

Unele definiții ale poliedrului semiregulat includ încă o figură, girobicupola pătrată alungită sau pseudorombicuboctaedrul.[3]

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Numărul vârfurilor este de 720° împărțit la deficitul unghiular al vârfului.

Cuboctaedrul și icosidodecaedrul sunt uniforme după muchii și se numesc cvasiregulate.

Dualii poliedrelor arhimedice se sunt poliedrele Catalan. Împreună cu bipiramidele și trapezoedrele, acestea sunt poliedrele uniforme după fețe, cu vârfuri regulate.

Chiralitate[modificare | modificare sursă]

Cubul snub și dodecaedrul snub sunt chirali, deoarece pot avea o formă levomorfă („pe stânga”) și una dextromorfă („pe dreapta”). Când ceva se prezintă în mai multe forme tridimensionale care una este imaginea în oglindă a celeilalte, aceste forme pot fi numite enantiomorfe. (Această nomenclatură este utilizată și pentru formele anumitor compuși chimici.)

Construcția poliedrelor arhimedice[modificare | modificare sursă]

Poliedrele arhimedice pot fi construite ca poliedre uniforme

Diferitele poliedre arhimedice și platonice pot fi legate între ele folosind o metodă de construcție generală. Se începe cu un poliedru platonic și se taie colțurile prin trunchiere. Pentru a păstra simetria, tăietura trebuie să fie într-un plan perpendicular pe dreapta care unește un vârf cu centrul poliedrului și este la fel pentru toate colțurile. În funcție de cât este trunchiat (vezi tabelul de mai jos), se pot crea diferite poliedre platonice și arhimedice (și altele). Dacă trunchierea este exact atât de adâncă încât fiecare pereche de fețe de la vârfurile adiacente se ating într-un singur punct, operația numește rectificare. O expandare sau cantelare, implică îndepărtarea fiecărei fețe de centru (cu aceeași distanță astfel încât să se păstreze simetria poliedrului platonic) și apoi trasarea anvelopei convexe. Expandarea cu răsucire implică și rotirea fețelor, divizând fiecare dreptunghi corespunzător unei fețe în două triunghiuri după una din diagonalele sale. Ultima construcție folosită aici este trunchierea atât a colțurilor, cât și a muchiilor. Ignorând scalarea, expandarea poate fi considerată și drept rectificarea rectificării. La fel, cantitrunchierea poate fi considerată drept trunchierea rectificării.

Construcția poliedrelor arhimedice
Simetrie tetraedrică
Tetrahedral reflection domains.png
octaedrică
Octahedral reflection domains.png
icosaedrică
Icosahedral reflection domains.png
Poliedrul de pornire

Operație
Simbol
{p,q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png
tetraedru
{3,3}
Uniform polyhedron-33-t0.png
cub
{4,3}
Uniform polyhedron-43-t0.svg
octaedru
{3,4}
Uniform polyhedron-43-t2.svg
dodecaedru
{5,3}
Uniform polyhedron-53-t0.svg
icosaedru
{3,5}
Uniform polyhedron-53-t2.svg
trunchiere (t) t{p,q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png
tetraedru trunchiat
Uniform polyhedron-33-t01.png
cub trunchiat
Uniform polyhedron-43-t01.svg
octaedru trunchiat
Uniform polyhedron-43-t12.svg
dodecaedru trunchiat
Uniform polyhedron-53-t01.svg
icosaedru trunchiat
Uniform polyhedron-53-t12.svg
rectificare (r)
Ambo (a)
r{p,q}
CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png
tetratetraedru
(octaedru)
Uniform polyhedron-33-t1.png
cuboctaedru
Uniform polyhedron-43-t1.svg
icosidodecaedru
Uniform polyhedron-53-t1.svg
Bitrunchiere (2t)
Dual kis (dk)
2t{p,q}
CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png
tetraedru trunchiat
Uniform polyhedron-33-t12.png
octaedru trunchiat
Uniform polyhedron-43-t12.png
cub trunchiat
Uniform polyhedron-43-t01.svg
icosahedru trunchiat
Uniform polyhedron-53-t12.svg
dodecaedru trunchiat
Uniform polyhedron-53-t01.svg
Birectificare (2r)
Dual (d)
2r{p,q}
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png
tetraedru
Uniform polyhedron-33-t2.png
octaedru
Uniform polyhedron-43-t2.svg
cub
Uniform polyhedron-43-t0.svg
icosaedru
Uniform polyhedron-53-t2.svg
dodecaedru
Uniform polyhedron-53-t0.svg
Cantelare (rr)
Expandare (e)
rr{p,q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png
rombitetratetraedru
(cuboctaedru)
Uniform polyhedron-33-t02.png
rombicuboctaedru
Uniform polyhedron-43-t02.png
rombicosidodecaedru
Uniform polyhedron-53-t02.png
Snub rectificat (sr)
Snub (s)
sr{p,q}
CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.png
tetratetraedru snub
(icosaedru)
Uniform polyhedron-33-s012.svg
cuboctaedru snub
Uniform polyhedron-43-s012.png
icosidodecaedru snub
Uniform polyhedron-53-s012.png
Cantitrunchiere (tr)
Bevel (b)
tr{p,q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png
tetratetraedru trunchiat
(octaedru trunchiat)
Uniform polyhedron-33-t012.png
cuboctaedru trunchiat
Uniform polyhedron-43-t012.png
icosidodecaedru trunchiat
Uniform polyhedron-53-t012.png

A se observa dualitatea dintre cub și octaedru și între dodecaedru și icosaedru. Pentru că tetraedrul este autodual, apare un singur poliedru arhimedic, care are cel mult simetrie tetraedrică. (Toate poliedrele platonice au cel puțin simetrie tetraedrică, deoarece simetria tetraedrică este inclusă în simetriile octaedrice și izoedrice, lucru demonstrat de faptul că un octaedru poate fi considerat ca fiind tetraedru rectificat, iar un icosaedru poate fi considerat ca fiind un tetraedru snub.)

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ a b c Grünbaum (2009)
  2. ^ en Field J., Rediscovering the Archimedean Polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro, and Johannes Kepler, Archive for History of Exact Sciences, 50, 1997, 227
  3. ^ Malkevitch (1988), p. 85

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • en Grünbaum, Branko (), „An enduring error”, Elemente der Mathematik, 64 (3): 89–101, doi:10.4171/EM/120Accesibil gratuit, MR 2520469 . Reprinted in Pitici, Mircea, ed. (), The Best Writing on Mathematics 2010, Princeton University Press, pp. 18–31 
  • en Jayatilake, Udaya (martie 2005). „Calculations on face and vertex regular polyhedra”. Mathematical Gazette. 89 (514): 76–81. 
  • en Malkevitch, Joseph (), „Milestones in the history of polyhedra”, În Senechal, Marjorie; Fleck, G., Shaping Space: A Polyhedral Approach, Boston: Birkhäuser, pp. 80–92 
  • en Pugh, Anthony (). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.  Chapter 2
  • en Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3–9)
  • en Schreiber, Peter; Fischer, Gisela; Sternath, Maria Luise (). „New light on the rediscovery of the Archimedean solids during the renaissance”. Archive for History of Exact Sciences. 62 (4): 457–467. doi:10.1007/s00407-008-0024-z. ISSN 0003-9519. 

Legături externe[modificare | modificare sursă]

Commons-logo.svg Materiale media legate de poliedru arhimedic la Wikimedia Commons