Tetraedru trunchiat

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Tetraedru trunchiat
Truncatedtetrahedron.jpg
(animație și model 3D)
Descriere
TipPoliedru arhimedic
Fețe8 (4 triunghiuri, 4 hexagoane)
Laturi (muchii)18
Vârfuri12
χ2
Configurația vârfului3.6.6
Simbol Wythoff2 3 | 3
Simbol Schläflit{3,3} = h2{4,3}
t0,1{3,3}
Simbol ConwaytT
Diagramă CoxeterCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Grup de simetrieTd, A3, [3,3], (*332), ordin 24
Grup de rotațieT, [3,3]+, (332), ordin 12
Arie≈ 12,124 a2   (a = latura)
Volum≈   2,710 a3   (a = latura)
Unghi diedru3-6: 109° 28′ 16″
6-6:   70° 31′ 44″
Poliedru dualTetraedru triakis
ProprietățiPoliedru semiregulat, convex cu fețe poligoane regulate, tranzitiv pe vârfuri
Figura vârfului
Truncated tetrahedron vertfig.png
Desfășurată
Polyhedron truncated 4a net.svg

În geometrie tetraedrul trunchiat este un poliedru arhimedic. Are 4 fețe hexagoane regulate, 4 fețe triunghiuri echilaterale, 12 vârfuri și 18 laturi (de două tipuri). Poate fi construit prin trunchierea tuturor celor 4 vârfuri ale unui tetraedru regulat la o treime din lungimea laturii inițiale.

O trunchiere mai intensă, care elimină din fiecare vârf câte un tetraedru cu latura jumătate din lungimea laturii inițiale, se numește rectificare și transformă tetraedrul într-un octaedru.[1]

Tetraedrul trunchiat poate fi considerat un cub cantic, cu diagrama Coxeter, CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png, aând jumătate din vârfurile unui cub cantelat (rombicuboctaedru), CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png. Există două poziții duale ale acestei construcții, iar combinarea lor creează compusul uniform de două tetraedre trunchiate.

Are indicele de poliedru uniform U02,[2] indicele Coxeter C16 și indicele Wenninger W6.

Arie și volum[modificare | modificare sursă]

Aria A și volumul V ale unui tetraedru trunchiat cu lungimea laturii a sunt:

Coordonate carteziene[modificare | modificare sursă]

Coordonatele carteziene ale celor 12 vârfuri ale tetraedrului trunchiat centrat în origine, cu lungimea laturii 8 sunt permutările lui (±1,±1,±3) cu un număr par de semne minus:

  • (+3,+1,+1), (+1,+3,+1), (+1,+1,+3)
  • (−3,−1,+1), (−1,−3,+1), (−1,−1,+3)
  • (−3,+1,−1), (−1,+3,−1), (−1,+1,−3)
  • (+3,−1,−1), (+1,−3,−1), (+1,−1,−3)
Truncated tetrahedron in unit cube.png Triangulated truncated tetrahedron.png UC54-2 truncated tetrahedra.png
Proiecție ortogonală în coordonate carteziene în cubul de încadrare (±3,±3,±3). Fețele hexagonale ale tetraedrelor trunchiate pot fi împărțite în 6 triunghiuri echilaterale coplanare. Cele 4 noi vârfuri au coordonatele carteziene:
(−1,−1,−1), (−1,+1,+1),
(+1,−1,+1), (+1,+1,−1).
Astfel poate fi descompus în 4 octaedre (roșii) și 6 tetraedre (galbene).
Setul de permutări ale vârfurilor (±1,±1,±3) cu un număr impar de semne minus formează un tetraederu trunchiat complementar, care combinat cu cel inițial formează un compus uniform.

Proiecții ortogonale[modificare | modificare sursă]

Proiecție ortogonală
Centrat pe Normala laturii Normala feței Latură Față
Proiecție Polyhedron truncated 4a from redyellow max.png Polyhedron truncated 4a from blue max.png Polyhedron truncated 4a from red max.png Polyhedron truncated 4a from yellow max.png
Cadru
de sârmă
Tetrahedron t01 ae.png Tetrahedron t01 af36.png 3-simplex t01.svg 3-simplex t01 A2.svg
Dual Dual tetrahedron t01 ae.png Dual tetrahedron t01 af36.png Dual tetrahedron t01.png Dual tetrahedron t01 A2.png
Simetrie
proiectivă
[1] [1] [4] [3]

Pavare sferică[modificare | modificare sursă]

Tetraedrul trunchiat poate fi reprezentat și ca o pavare sferică și proiectat în plan printr-o proiecție stereografică. Această proiecție este conformă, păstrând unghiurile, dar nu și ariile sau lungimile. Liniile „drepte” pe sferă sunt proiectate în plan ca arce de cerc.

Uniform tiling 332-t12.png Truncated tetrahedron stereographic projection triangle.png
centrat pe triunghiuri
Truncated tetrahedron stereographic projection hexagon.png
centrat pe hexagoane
Proiecție ortogonală Proiecții stereografice

Poliedre înrudite[modificare | modificare sursă]

Familia poliedrelor tetraedrice uniforme
Simetrie: [3,3], (*332) [3,3]+, (332)
Uniform polyhedron-33-t0.png Uniform polyhedron-33-t01.png Uniform polyhedron-33-t1.png Uniform polyhedron-33-t12.png Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-33-t02.png Uniform polyhedron-33-t012.png Uniform polyhedron-33-s012.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
{3,3} t{3,3} r{3,3} t{3,3} {3,3} rr{3,3} tr{3,3} sr{3,3}
Duale ale poliedrelor uniforme
Tetrahedron.svg Triakistetrahedron.jpg Hexahedron.svg Triakistetrahedron.jpg Tetrahedron.svg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Dodecahedron.svg
V3.3.3 V3.6.6 V3.3.3.3 V3.6.6 V3.3.3 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3.3

Este, de asemenea, o parte dintr-un set de poliedre cantice și pavări cu configurația vârfului 3.6.n.6. În această construcție Wythoff, laturile dintre hexagoane reprezintă digoane degenerate.

Simetrii orbifold *n33 ale pavărilor cantice: 3.6.n.6
N33 fundamental domain t01.png Orbifold
*n32
Sferică Euclidiană Hiperbolice compacte Paracompactă
*332 *333 *433 *533 *633... *∞33
Figură cantică Spherical cantic cube.png Uniform tiling 333-t12.png H2 tiling 334-6.png H2 tiling 335-6.png H2 tiling 336-6.png H2 tiling 33i-6.png
Configurația vârfului 3.6.2.6 3.6.3.6 3.6.4.6 3.6.5.6 3.6.6.6 3.6..6

Variante de simetrie[modificare | modificare sursă]

Acest poliedru este înrudit topologic de familia de poliedre trunchiate uniforme cu simetriile din grupul Coxeter ale configurațiilor vârfurilor (3.2n.2n) și [n,3].

Variante de simetrii *n32 ale pavărilor sferice trunchiate: t{n,3}
Simetrii
*n32
[n,3]
Sferice Euclidiană Hiperb. compacte Paracomp.
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
Figuri
trunchiate
Spherical triangular prism.png Uniform tiling 332-t01-1-.png Uniform tiling 432-t01.png Uniform tiling 532-t01.png Uniform tiling 63-t01.svg Truncated heptagonal tiling.svg H2-8-3-trunc-dual.svg H2 tiling 23i-3.png
Schläfli t{2,3} t{3,3} t{4,3} t{5,3} t{6,3} t{7,3} t{8,3} t{∞,3}
Figuri
triakis
Spherical trigonal bipyramid.png Spherical triakis tetrahedron.png Spherical triakis octahedron.png Spherical triakis icosahedron.png Tiling Dual Semiregular V3-12-12 Triakis Triangular.svg Order-7 triakis triangular tiling.svg H2-8-3-kis-primal.svg Ord-infin triakis triang til.png
Config. V3.4.4 V3.6.6 V3.8.8 V3.10.10 V3.12.12 V3.14.14 V3.16.16 V3.∞.∞

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ en Chisholm, Matt; Avnet, Jeremy (). „Truncated Trickery: Truncatering”. theory.org. Accesat în . 
  2. ^ en Eric W. Weisstein, Uniform Polyhedron la MathWorld.

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • en Robert Williams (1979), The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications Inc., ISBN: 0-486-23729-X. (Section 3-9)
  • en Read, R. C.; Wilson, R. J. (), An Atlas of Graphs, Oxford University Press 

Legături externe[modificare | modificare sursă]