Simbol Schläfli

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare
Dodecaedrul este un poliedru regulat cu simbolul Schläfli {5,3}, având 3 pentagoane în jurul fiecărui vârf

În geometrie, un Simbol Schläfli este o expresie de forma {p,q,r,...} care definește politopurile regulate și teselările.

Simbolurile Schläfli sunt numite astfel după matematicianul elvețian Ludwig Schläfli din secolul al XIX-lea,[1] care a generalizat geometria euclidiană pentru mai mult de trei dimensiuni și a descoperit toate politopurile convexe regulate, inclusiv cele șase care există în patru dimensiuni.

Definiție[modificare | modificare sursă]

Un simbol Schläfli este o descriere recursivă,[2] care începe cu {p} pentru un poligon convex regulat cu p laturi. De exemplu, {3} este un triunghi echilateral, {4} este un pătrat, {5} este un pentagon regulat ș.a.m.d.

poligoanele stelate regulate nu sunt convexe, iar simbolurile lor Schläfli {p/q} conțin [fracție ireductibilă |fracții ireductibile]] p/q, unde p este numărul de vârfuri, iar q este numărul de ocoliri împrejur al căii pentru a reveni într-un același vârf. Echivalent, {p/q} este dat de numărul de vârfuri {p}, conectate „din q în q”. De exemplu, {52} este o pentagramă; {51} este un pentagon.

Un poliedru regulat care în jurul fiecărui vârf are q fețe regulate cu câte p laturi este notat {p,q}. De exemplu, un cub are 3 pătrate {4} în jurul fiecărui vârf și este notat {4,3}.

Un 4-politop (politop 4-dimensional), care în jurul fiecărui laturi are r celule poliedrice regulate {p,q} este notat {p,q,r}. De exemplu, un tesseract are 3 cuburi {4,3} în jurul unei laturi și este notat {4,3,3}.

În general, un politop regulat {p,q,r,...,y,z} are z {p,q,r,...,y} fațete în jurul fiecărui pisc, unde un pisc este un vârf întru-un poliedru, o latură într-un 4-politop, o față într-un 5-politop, o celulă într-un 6-politop și o (n−3)-față într-un n-politop.

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Un politop regulat are o figură a vârfului regulată. Figura vârfului unui politop regulat {p,q,r,...,y,z} este {q,r,...,y,z}.

Politopurile regulate pot avea elemente de poligon stelat, ca pentagrama, cu simbolul {52}, reprezentată prin vârfurile unui pentagon, dar conectate din două în două.

Un simbol Schläfli poate reprezenta un poliedru convex finit, o teselare infinită a spațiului euclidian sau o teselare infinită a spațiului hiperbolic, depinzând de deficitul unghiular al spațiului. Un exces unghiular, care apare în trigonometria sferică, permite figurii vârfului să se plieze într-o dimensiune superioară și să revină sub formă de politop. Un deficit nul teselează spații cu aceeași dimensiune ca și a fațetelor. Un deficit negativ nu poate exista în spațiul obișnuit, dar poate fi construit într-un spațiu hiperbolic.

Uzual se presupune că o fațetă sau o figură a vârfului este un politop finit, dar uneori poate fi considerată o teselare.

Pulitopul dual al unui politop regulat este reprezentat de simbolul Schläfli care are elementele în ordine inversă. Un politop regulat autodual are un simbol Schläfli simetric.

În afară de descrierea politopurilor euclidiene, simbolurile Schläfli pot fi folosite pentru a descrie politopuri sferice sau faguri sferici.[3]

Istoric și variante[modificare | modificare sursă]

Lucrările lui Schläfli au fost aproape necunoscute în timpul vieții sale, iar notația sa pentru a descrie politopuri a fost redescoperită independent de mai mulți alții. În special, Thorold Gosset a redescoperit simbolul Schläfli, pe care l-a scris cu bare verticale: | p | q | r | ... | z | în loc de acolade, cum a făcut Schläfli.[4]

Forma lui Gosset este mai simetrică, numărul dimensiunilor este cel al barelor verticale, iar simbolul include exact subsimbolurile pentru fațetă și figura vârfului. Gosset a considerat | p drept un operator, care poate fi aplicat la | q | ... | z | pentru a descrie un politop cu fețe p-gonale, cu figura vârfurilor | q | ... | z |.

Cazuri[modificare | modificare sursă]

Grupuri simetrice[modificare | modificare sursă]

Simbolurile Schläfli sunt strâns legate de simetriile de reflexie⁠(d) ale grupurilor de simetrie (finite), care corespund exact grupurilor Coxeter finite, care sunt descrise prin aceiași indicatori, dar folosind în loc paranteze drepte: [p,q,r,...]. Astfel de grupuri sunt denumite adesea după politopurile regulate care le generează. De exemplu, [3,3] este grupul Coxeter pentru reflexiile simetriei tetraedrice⁠(d), [3,4] este cel pentru reflexiile simetriei octaedrice⁠(d), iar [3,5] este cel pentru reflexiile simetriei icosaedrice⁠(d).

Poligoane regulate (plane)[modificare | modificare sursă]

Poligoane regulate convexe și stelate cu 3–12 vârfuri și simbolurile lor Schläfli

Simbolul Schläfli al unui poligon regulat (convex) cu p laturi este {p}. De exemplu, un pentagon regulat este notat prin {5}.

Pentru poligoanele stelate (neconvexe), este folosită notația {pq}, unde p este numărul vârfurilor iar q – 1 este numărul vârfurilor pete care se sare când se trasează laturile stelei. De exemplu, {52} reprezintă pentagrama.

Poliedre regulate (tridimensionale)[modificare | modificare sursă]

Simbolul Schläfli al unui poliedru regulat ale cărui fețe sunt p-goane, iar în fiecare vârf se întâlnesc q fețe este {p,q} (figura vârfurilor este un q-gon).

De exemplu, {5,3} este dodecaedrul regulat. El are fețe pentagonale (cu 5 laturi) și câte 3 pentagoane în jurul fiecărui vârf.

A se vedea cele 5 poliedre regulate și cele 4 [[poliedru Kepler-Poinsot |poliedre Kepler-Poinsot}} stelate (neconvexe).

Topologic, o teselare bidimensională poate fi privită ca un poliedru tridimensional, dar astfel încât deficitul unghiular este nul. Astfel, simbolurile Schläfli pot fi definite pentru teselări regulate a spațiilor euclidian și hiperbolic la fel ca pentru poliedre. Analogia funcționează și pentru dimensiuni superioare.

De exemplu, placarea hexagonală este reprezentată de {6,3}.

4-politopuri (în 4 dimensiuni) regulate[modificare | modificare sursă]

Simbolul Schläfli al unui 4-politop regulat este de forma {p,q,r}. Fețele sale (bidimensionale) sunt p-goane ({p}), celulele sunt poliedre regulate de tip {p,q}, figurile vârfurilor sunt poliedre regulate de tip {q,r}, iar fețele celulelor sunt r-goane regulate (de tip {r}).

A se vedea cele șase 4-politopuri regulate convexe și cele zece 4-politopuri regulate stelate (neconvexe).

De exemplu, 120-celule este reprezentat de {5,3,3}. Este format din celule dodecaedrice {5,3}, și are câte 3 celule în jurul fiecărei laturi.

Există o teselare regulată a spațiului tridimensuonal euclidian, fagurele cubic, cu simbolul Schläfli {4,3,4}, format din celule cubice, câte 4 cuburi în jurul fiecărei laturi.

Există și patru teselări hiperbolice regulate compacte, inclusiv {5,3,4}, fagurele dodecaedric de ordinul 4⁠(d), care umple spațiul cu celule dodecaedrice.

n-politopuri regulatr (în dimensiuni superioare)[modificare | modificare sursă]

La politopurile regulate din dimensiuni superioare simbolul Schläfli este definit recursiv drept {p1, p2,...,pn − 1} unde fațetele au simbolul Schläfli {p1,p2,...,pn − 2} iar figura vârfurilor are simbolul Schläfli {p2,p3,...,pn − 1}.

Simbolurile figurii vârfului unui politop și a figurii vârfului unei fațete a aceluiași politop sunt identice: {p2,p3,...,pn − 2}.

Există doar trei politopuri regulate 5-dimensionale și în dimensiuni superioare: simplexul, {3,3,3,...,3}, hiperoctaedrul, {3,3, ..., 3,4} și hipercubul, {4,3,3,...,3}. Nu există politopuri regulate neconvexe în mai mult de 4 dimensiuni.

Politopuri duale[modificare | modificare sursă]

Dacă un politop dintr-o dimensiune n ≥ 2 are simbolul Schläfli {p1,p2, ..., pn − 1} atunci el este dualul celui cu simbolul Schläfli {pn − 1, ..., p2,p1}.

Dacă secvența este palindromică, politopul este autodual. Orice politop regulat din spațiul bidimensional (poligon) este autodual.

Politopuri prismatice[modificare | modificare sursă]

Politopurile prismatice uniforme pot fi definite drept un produs cartezian (cu operatorul „×”) al unor politopuri regulate din dimensiuni inferioare.

  • În 0D, un punct este reprezentat prin ( ). Diagrama sa Coxeter este vidă. Notația simetriei Coxeter⁠(d) este ][.
  • În 1D, un segment este reprezentat prin { }. Diagrama sa Coxeter este CDel node 1.png. Simetria sa este [ ].
  • În 2D, un dreptunghi este reprezentat prin { } × { }. Diagrama sa Coxeter este CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png. Simetria sa este [2].
  • În 3D, o prismă p-gonală este reprezentată prin { } × {p}. Diagrama sa Coxeter este CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.png. Simetria sa este [2,p].
  • În 4D, o prismă {p,q}-edrică uniformă este reprezentată prin { } × {p,q}. Diagrama sa Coxeter este CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png. Simetria sa este [2,p,q].
  • În 4D, o duoprismă⁠(d) uniformă p-q este reprezentată prin {p} × {q}. Diagrama sa Coxeter este CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png. Simetria sa este [p,2,q].

Dualurile prismatice, sau bipiramide⁠(d), pot fi reprezentate prin simboluri compuse, folosind operatorul "+".

  • În 2D, un romb este reprezentat prin { } + { }. Diagrama sa Coxeter este CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.png. Simetria sa este [2].
  • În 3D, o bipiramidă p-gonală este reprezentată prin { } + {p}. Diagrama sa Coxeter este CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel p.pngCDel node.png. Simetria sa este [2,p].
  • În 4D, o bipiramidă {p,q}-edrică este reprezentată prin { } + {p,q}. Diagrama sa Coxeter este CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png. Simetria sa este [p,q].
  • În 4D, o duopiramidă p-q este reprezentată prin {p} + {q}. Diagrama sa Coxeter este CDel node f1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel q.pngCDel node.png. Simetria sa este [p,2,q].

Politopurile piramidale care conțin vârfuri decalate ortogonal pot fi reprezentate folosind un operator de reuniune (lipire), "∨". Fiecare pereche de vârfuri aflate între figurile lipite este conectată prin laturi.

  • În 2D, un triunghi isoscel poate fi reprezentat prin ( ) ∨ { } = ( ) ∨ [( ) ∨ ( )].
  • În 3D:
    • Un disfenoid digonal poate fi reprezentat prin { } ∨ { } = [( ) ∨ ( )] ∨ [( ) ∨ ( )].
    • O piramidă p-gonală este reprezentată prin ( ) ∨ {p}.
  • În 4D:
    • O piramidă p-q-edrică este reprezentată prin ( ) ∨ {p,q}.
    • Un 4-politop este reprezentat prin ( ) ∨ [( ) ∨ {3}] sau [( ) ∨ ( )] ∨ {3} = { } ∨ {3}.
    • O piramidă pătrată piramidală este reprezentată prin ( ) ∨ [( ) ∨ {4}] sau [( ) ∨ ( )] ∨ {4} = { } ∨ {4}.

Când există mai mulți operatori, ordinea operațiilor de la cel mai prioritar la ultimul este ×, +, ∨.

Politopurile axiale care conțin vârfuri pe hiperplanuri paralele pot fi reprezentate prin operatorul „||”. O prismă uniformă este {n}||{n} iar antiprisma {n}||r{n}.

Extensii ale simbolurilor Schläfli[modificare | modificare sursă]

Placări ale poligoanelor și cercurilor[modificare | modificare sursă]

Prin trunchiere⁠(d) un poligon regulat își dublază numărul de laturi. La un poligon regulat cu un număr par de laturi, acestea pot împărțite în două jumătăți disjuncte. Un 2n-gon regulat generează o figură stelată compusă, 2{n}.

Forma Simbolul Schläfli Simetrii diagramă Coxeter Exemple pentru {6}
Regulat {p} [p] CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.png Regular polygon 6 annotated.svg hexagon CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.png
Trunchiat t{p} = {2p} [[p]] = [2p] CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.png = CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.png Regular polygon 12 annotated.svg hexagon trunchiat
(dodecagon)
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.png = CDel node 1.pngCDel 12.pngCDel node.png
Alternat și
stelat
a{2p} = β{p} [2p] CDel node h3.pngCDel p.pngCDel node h3.png = CDel node h3.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.png Hexagram.svg hexagon modificat
(hexagramă)
CDel node h3.pngCDel 3.pngCDel node h3.png = CDel node h3.pngCDel 6.pngCDel node.png
Înjumătățit h{2p} = s{p} = {p} [1+,2p] = [p] CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.png = CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.png = CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.png Regular polygon 3 annotated.svg jumătate de hexagon
(triunghi)
CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node.png = CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png = CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png

Poliedre și placări[modificare | modificare sursă]

Coxeter a extins folosirea simbolurilor Schläfli la poliedre cvasiregulate⁠(d) prin adăugarea la simbol a unei dimensiuni verticale. A fost punctul de pornire pentru diagrame Coxeter mai generale. Norman Johnson a simplificat notația pentru simbolurile verticale prin prefixul r. t-notația este este cea mai generală și coresponde direct cercurilor din diagramele Coxeter. Simbolurile indică alternarea⁠(d), înlocuirea cercurilor cu găuri în diagramele Coxeter iar prefixul h însemnând half (română jumătate), construcții limitate de cerința ca ramurile învecinate să fie ordonate par, și reduc ordinul de simetrie la jumătate. Operatorul asociat a, de la alternat, este indicat de două găuri imbricate, reprezintă un poliedru compus cu ambele componente înjumătățite și alternate, păstrând simetriile originare. Operația snub este o trunchiere înjumătățită, iar cea holosnub este o trunchiere înjumătățită și alternată.

Forma Simbolurile Schläfli Simetrii Coxeter Diagramă Coxeter Exemple pentru {4,3}
Regulat {p,q} t0{p,q} [p,q]
sau
[(p,q,2)]
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png Hexahedron.png cub CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Trunchiat t{p,q} t0,1{p,q} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png Truncated hexahedron.png cub trunchiat CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Bitrunchiat
(Trunchiat dual)
2t{p,q} t1,2{p,q} CDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png Truncated octahedron.png octaedru trunchiat CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Rectificat
(Cvasiregulat)
r{p,q} t1{p,q} CDel node 1.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png Cuboctahedron.png cuboctaedru CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Birectificat
(Regulat dual)
2r{p,q} t2{p,q} CDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png Octahedron.png octaedru CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Teșit
(Rectificat rectificat)
rr{p,q} t0,2{p,q} CDel node.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes 11.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png Small rhombicuboctahedron.png rombcuboctaedru CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Omnitrunchiat
(Trunchiat rectificat)
tr{p,q} t0,1,2{p,q} CDel node 1.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes 11.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png Great rhombicuboctahedron.png cuboctaedru trunchiat CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png

Alternări, sferturi și snuburi[modificare | modificare sursă]

Alternările au pe jumătate din simetriile grupurilor Coxeter și sunt reprezentate prin cerculețe goale. Există două posibilități de alegere a jumătății de vârfuri reținute, dar simbolul nu precizează care este cea aleasă. Formele sfert sunt reprezentate prin cerculețe cu „+” în ele și însemnaă două alternări independente.

Alternări
Forma Simbolurile Schläfli Simetrii Coxeter Diagramă Coxeter Example pentru {4,3}
Alternat regulat h{2p,q} ht0{2p,q} [1+,2p,q] CDel node h1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png = CDel labelp.pngCDel branch 10ru.pngCDel split2-qq.pngCDel node.png Tetrahedron.png semicub
(tetraedru)
CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Regulat snub s{p,2q} ht0,1{p,2q} [p+,2q] CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node.png
Regulat dual snub s{q,2p} ht1,2{2p,q} [2p,q+] CDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.png Uniform polyhedron-43-h01.svg octaedru snub
(icosaedru)
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Alternat rectificat
(p și q la fel)
hr{p,q} ht1{p,q} [p,1+,q] CDel node h1.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node h1.pngCDel q.pngCDel node.png
Alternat rectificat rectificat
(p și q la fel)
hrr{p,q} ht0,2{p,q} [(p,q,2+)] CDel node.pngCDel split1-pq.pngCDel branch hh.pngCDel label2.png CDel node h.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node h.png
Sfert
(p și q sunt la fel)
q{p,q} ht0ht2{p,q} [1+,p,q,1+] CDel node.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes h1h1.png CDel node h1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node h1.png
Rectificat snub
(cvasiregulat snub)
sr{p,q} ht0,1,2{p,q} [p,q]+ CDel node h.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes hh.png CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.png Snub hexahedron.png cuboctaedru snub
(cub snub)
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png

Alternate și holosnuburi[modificare | modificare sursă]

Formele alternate și holosnub au simetria completă a grupului Coxeter, și sunt reprezentate prin două cerculețe goale, dar pot fi reprezentate prin compuși.

Alternate și holosnuburi
Forma Simbolurile Schläfli Simetrii Coxeter Diagramă Coxeter Exemple pentru {4,3}
Regulat alternat a{p,q} at0{p,q} [p,q] CDel node h3.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png = CDel labelp-2.pngCDel branch 10ru.pngCDel split2-qq.pngCDel node.pngCDel labelp-2.pngCDel branch 01rd.pngCDel split2-qq.pngCDel node.png Compound of two tetrahedra.png octaedru stelat CDel node h3.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Regulat dual holosnub ß ß{q,p} at0,1{q,p} [p,q] CDel node h3.pngCDel q.pngCDel node h3.pngCDel p.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node h3.pngCDel q.pngCDel node h3.png UC46-2 icosahedra.png compus de două icosaedre CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h3.pngCDel 3.pngCDel node h3.png
ß, având aspectul literei grecești „beta” (β), este de fapt litera germană „eszett”.

4-politopuri și faguri[modificare | modificare sursă]

Familii liniare
Forma Simbolul Schläfli Diagramă Coxeter Example pentru {4,3,3}
Regulat {p,q,r} t0{p,q,r} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png Schlegel wireframe 8-cell.png tesseract CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Trunchiat t{p,q,r} t0,1{p,q,r} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png Schlegel half-solid truncated tesseract.png tesseract trunchiat CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Rectificat r{p,q,r} t1{p,q,r} CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png Schlegel half-solid rectified 8-cell.png tesseract rectificat CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node 1.pngCDel split1-43.pngCDel nodes.pngCDel 3b.pngCDel nodeb.png
Bitrunchiat 2t{p,q,r} t1,2{p,q,r} CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node.png Schlegel half-solid bitruncated 16-cell.png tesseract bitrunchiat CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Birectificat
(dual rectificat)
2r{p,q,r} = r{r,q,p} t2{p,q,r} CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node.png Schlegel half-solid rectified 16-cell.png 16-celule rectificat CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
Tritrunchiat
(dual trunchiat)
3t{p,q,r} = t{r,q,p} t2,3{p,q,r} CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node 1.png Schlegel half-solid truncated 16-cell.png tesseract bitrunchiat CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Trirectificat
(dual)
3r{p,q,r} = {r,q,p} t3{p,q,r} = {r,q,p} CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node 1.png Schlegel wireframe 16-cell.png 16-celule CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Teșit rr{p,q,r} t0,2{p,q,r} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node.png Schlegel half-solid cantellated 8-cell.png tesseract teșit CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node.pngCDel split1-43.pngCDel nodes 11.pngCDel 3b.pngCDel nodeb.png
Teșit trunchiat tr{p,q,r} t0,1,2{p,q,r} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node.png Schlegel half-solid cantitruncated 8-cell.png tesseract teșit trunchiat CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node 1.pngCDel split1-43.pngCDel nodes 11.pngCDel 3b.pngCDel nodeb.png
Runcinat
(expandat)
e3{p,q,r} t0,3{p,q,r} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node 1.png Schlegel half-solid runcinated 8-cell.png tesseract runcinat CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Runcitrunchiat t0,1,3{p,q,r} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node 1.png Schlegel half-solid runcitruncated 8-cell.png tesseract runcitrunchiat CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Omnitrunchiat t0,1,2,3{p,q,r} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node 1.png Schlegel half-solid omnitruncated 8-cell.png tesseract omnitrunchiat CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png

Alternări, sferturi și snuburi[modificare | modificare sursă]

Alternări
Forma Simbolul Schläfli Diagramă Coxeter Exemple pentru {4,3,3}
Alternări
Jumătate
(p par)
h{p,q,r} ht0{p,q,r} CDel node h1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png Schlegel wireframe 16-cell.png 16-celule CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Sfert
(p și r la fel)
q{p,q,r} ht0ht3{p,q,r} CDel node h1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node h1.png
Snub
(q par)
s{p,q,r} ht0,1{p,q,r} CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png Ortho solid 969-uniform polychoron 343-snub.png Snub 24-celule CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Rectificat snub
(r par)
sr{p,q,r} ht0,1,2{p,q,r} CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.pngCDel r.pngCDel node.png Ortho solid 969-uniform polychoron 343-snub.png 24-celule rectificat snub CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.png = CDel node h.pngCDel split1.pngCDel nodes hh.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
Duoprismă alternată s{p}s{q} ht0,1,2,3{p,2,q} CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.png Great duoantiprism.png duoantiprismă minunată CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel 3x.pngCDel node h.png

Familii bifurcate[modificare | modificare sursă]

Familii bifurcate
Forma Simbolul Schläfli extins Diagramă Coxeter Exemple
Cvasiregulat {p,q1,1} t0{p,q1,1} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel split1-qq.pngCDel nodes.png Schlegel wireframe 16-cell.png 16-celule CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
Trunchiat t{p,q1,1} t0,1{p,q1,1} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel split1-qq.pngCDel nodes.png Schlegel half-solid truncated 16-cell.png 16-celule trunchiat CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
Rectificat r{p,q1,1} t1{p,q1,1} CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel split1-qq.pngCDel nodes.png Schlegel wireframe 24-cell.png 24-celule CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
Teșit rr{p,q1,1} t0,2,3{p,q1,1} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel split1-qq.pngCDel nodes 11.png Schlegel half-solid cantellated 16-cell.png 16-celule teșit CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png
Teșit trunchiat tr{p,q1,1} t0,1,2,3{p,q1,1} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel split1-qq.pngCDel nodes 11.png Schlegel half-solid cantitruncated 16-cell.png [[16-celule teșit trunchiat CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png
Rectificat snub sr{p,q1,1} ht0,1,2,3{p,q1,1} CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel split1-qq.pngCDel nodes hh.png Ortho solid 969-uniform polychoron 343-snub.png 24-celule snub CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel split1.pngCDel nodes hh.png
Cvasiregulat {r,/q\,p} t0{r,/q\,p} CDel node 1.pngCDel r.pngCDel node.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1-43.pngCDel nodes.png
Trunchiat t{r,/q\,p} t0,1{r,/q\,p} CDel node 1.pngCDel r.pngCDel node 1.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1-43.pngCDel nodes.png
Rectificat r{r,/q\,p} t1{r,/q\,p} CDel node.pngCDel r.pngCDel node 1.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1-43.pngCDel nodes.png
Teșit rr{r,/q\,p} t0,2,3{r,/q\,p} CDel node 1.pngCDel r.pngCDel node.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes 11.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1-43.pngCDel nodes 11.png
Teșit trunchiat tr{r,/q\,p} t0,1,2,3{r,/q\,p} CDel node 1.pngCDel r.pngCDel node 1.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes 11.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1-43.pngCDel nodes 11.png
Rectificat snub sr{p,/q,\r} ht0,1,2,3{p,/q\,r} CDel node h.pngCDel r.pngCDel node h.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes hh.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel split1-43.pngCDel nodes hh.png

Teselări[modificare | modificare sursă]

Sferice

Regulate

Semiregulate

Hiperbolice

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Coxeter, Regular…, p. 143
  2. ^ Coxeter, Regular…, p. 129
  3. ^ Coxeter, Regular…, p. 138
  4. ^ Coxeter, Regular…, p. 144

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • en Coxeter, H. S. M. (). Regular Polytopes (ed. 3rd). §7.2. see illustration Fig. 7-2C: Dover Publications. pp. 122-123. ISBN 0-486-61480-8.  p. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n dimensions (n ≥ 5)

Lectură suplimentară[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]