Icosaedru trunchiat

Icosaedru trunchiat
(animație și model 3D)
Descriere
Tip	Poliedru arhimedic (Poliedru uniform)
Fețe	32 (12 pentagoane, 20 hexagoane)
Laturi (muchii)	90
Vârfuri	60
χ	2
Configurația vârfului	5.6.6
Simbol Wythoff	2 5 | 3
Simbol Schläfli	t{3,5} t0,1{3,5}
Simbol Conway	tI
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	Ih, H3, [5,3], (*532), ordin 120
Grup de rotație	I, [5,3]+, (532), ordin 60
Arie	≈ 72,607 a2   (a = latura)
Volum	≈ 55,288 a3   (a = latura)
Unghi diedru	6-6: 138,190° 6-5: 142,620°
Poliedru dual	Dodecaedru pentakis
Proprietăți	Poliedru semiregulat (permutoedru, zonoedru) convex cu fețe poligoane regulate, tranzitiv pe vârfuri
Figura vârfului
Desfășurată

În geometrie icosaedrul trunchiat este un poliedru arhimedic cu 32 de fețe regulate (12 pentagoane și 20 de hexagoane), 90 de laturi și 60 de vârfuri. Dacă nu se specifică altfel, toate laturile sale au aceeași lungime. Este singurul poliedru uniform cu fețe care nu sunt triunghiuri sau pătrate. Deoarece fiecare dintre fețele sale are simetrie față de centru, icosaedrul trunchiat este un zonoedru.

Poliedrul său dual este dodecaedrul pentakis.

Are indicele de poliedru uniform U₂₅, indicele Coxeter C₂₇ și indicele Wenninger W₉. Este poliedrul Goldberg GP_V(1,1) sau {5+,3}_1,1.

Poate tesela spațiul hiperbolic sub forma fagurelui dodecaedric bitrunchiat de ordinul 5

Geometria sa este folosită la mingile de fotbal, realizate de obicei cu hexagoane albe și pentagoane negre. De asemenea, domurile geodezice au geometrii similare.

Construcție și dimensiuni

Icosaedru

Dual, dodecaedrul pentakis

Acest poliedru poate fi construit dintr-un icosaedru prin trunchierea celor 12 vârfuri astfel încât din fiecare latură să fie tăiată câte o treime, la ambele capete. Acest lucru creează 12 fețe noi pentagonale și transformă cele 20 de fețe triunghiulare inițiale în hexagoane regulate. Astfel lungimea laturilor este de o treime din cea a laturilor inițiale. În plus, forma are 1440 de diagonale.

Coordonate carteziene

Coordonatele carteziene ale vârfurilor unui icosaedru trunchiat cu lungimea laturilor de 2 sunt permutările a:

(0, ±1, ±3φ)

(±1, ±(2 + φ), ±2φ)

(±φ, ±2, ±(2φ + 1))

unde φ = 1 + √5/2 este secțiunea de aur. Raza circumscrisă este √9φ + 10 ≈ 4,956

Dimensiuni

Dreptunghiuri reciproc ortogonale cu laturile în raportul de aur desenate în icosaedru

Dacă lungimea laturii icosaedrului trunchiat este a, raza unei sfere circumscrise (una care atinge icosaedrul trunchiat în toate vârfurile) este:

$r_{\mathrm {u} }={\frac {a}{2}}{\sqrt {1+9\varphi ^{2}}}={\frac {a}{4}}{\sqrt {58+18{\sqrt {5}}}}\approx 2,478\,018\,66\,a.$

Acest rezultat este ușor de obținut folosind unul dintre cele trei dreptunghiuri ortogonale desenate în icosaedru (v. figura alăturată) ca punct de plecare. Unghiul dintre segmentele care unesc centrul și vârfurile conectate printr-o latură comună (calculat pe baza acestei construcții) este de aproximativ 23,281446°.

Aria și volumul

Aria A și volumul V al icosaedrului trunchiat cu lungimea laturii a sunt:

${\begin{aligned}A&=\left(20\cdot {\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}+12\cdot {\frac {5}{4}}{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\right)\,a^{2}&&\approx 72,607\,253~a^{2}\\V&={\frac {125+43{\sqrt {5}}}{4}}\,a^{3}&&\approx 55,287\,730\,8~a^{3}.\end{aligned}}$

Proiecții ortogonale

Icosaedrul trunchiat are cinci proiecții ortogonale particulare, centrate: pe un vârf, pe două tipuri de muchii și pe două tipuri de fețe: hexagonale și pentagonale. Ultimele două corespund planelor Coxeter A₂ și H₂

Proiecții ortogonale

Centrată pe	Vârf	Latură 5-6	Latură 6-6	Față hexagon	Față pentagon
Imagine
Cadru de sârmă
Simetrie proiectivă	[2]	[2]	[2]	[6]	[10]
Dual

Pavări sferice

	centrată pe pentagon	centrată pe hexagon
Proiecții ortogonale	Proiecții stereografice

Icosaedrul trunchiat poate fi reprezentat și ca o pavare sferică și proiectat în plan printr-o proiecție stereografică. Această proiecție este conformă, conservând unghiurile, dar nu și ariile sau lungimile. Liniile drepte pe sferă sunt proiectate în plan ca arce de cerc.

Poliedre și pavări înrudite

Familia de poliedre icosaedrice uniforme
Simetrie: [5,3], (*532)							[5,3]+, (532)
{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
Duale ale poliedrelor uniforme
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Variante de simetrii *n32 ale pavărilor trunchiate: n.6.6
Sim. *n42 [n,3]	Sferică				Euclid.	Compactă		Paracomp.	Hiperbolică necompactă
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]
Figuri trunchiate
Config.	2.6.6	3.6.6	4.6.6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6	∞.6.6	12i.6.6	9i.6.6	6i.6.6
Figuri n-kis
Config.	V2.6.6	V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6	V8.6.6	V∞.6.6	V12i.6.6	V9i.6.6	V6i.6.6

Aceste poliedre stelate uniforme și o stelare icosaedrică au anvelopa convexă de icosaedre trunchiate neuniforme:

Poliedre stelate uniforme cu anvelopa convexă de icosaedru trunchiat

Icosaedru trunchiat neuniform 2 5 | 3	U37 2 5/2 | 5	U61 5/2 3 | 5/3	U67 5/3 3 | 2	U73 2 5/3 (3/2 5/4)	Stelarea completă
Icosaedru trunchiat neuniform 2 5 | 3	U38 5/2 5 | 2	U44 5/3 5 | 3	U56 2 3 (5/4 5/2) |
Icosaedru trunchiat neuniform 2 5 | 3	U32 | 5/2 3 3

Bibliografie

• en Robert Williams (1979), The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications Inc., ISBN: 0-486-23729-X. (Section 3-9)
• Cromwell, P. (1997). „Archimedean solids”. Polyhedra: "One of the Most Charming Chapters of Geometry". Cambridge: Cambridge University Press. pp. 79–86. ISBN 0-521-55432-2. OCLC 180091468. 

Legături externe

• en Eric W. Weisstein, Truncated icosahedron la MathWorld.
• en Eric W. Weisstein, Archimedean solid la MathWorld.
• en Klitzing, Richard. „3D convex uniform polyhedra x3x5o - ti”. 
• en Editable printable net of a truncated icosahedron with interactive 3D view
• en The Uniform Polyhedra
• en "Virtual Reality Polyhedra"—The Encyclopedia of Polyhedra