Poliedru sferic

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare
Cel mai cunoscut poliedru sferic este mingea de fotbal, gândită ca un icosaedru trunchiat sferic
Această minge de plajă ar fi un hosoedru cu 6 fețe în formă de fusuri sferice dacă cele 2 petice albe de la poli ar fi îndepărtate

În matematică un poliedru sferic sau pavare sferică este o teselare a sferei în care suprafața ei este împărțită de arce de cercuri mari în regiuni mărginite numite poligoane sferice. O mare parte din teoria poliedrelor simetrice este prezentată mai convenabil în acest mod.

Cel mai cunoscut poliedru sferic este mingea de fotbal, gândită ca un icosaedru trunchiat sferic Următorul poliedru sferic cel mai popular este mingea de plajă, considerată drept hosoedru.

Unele cazuri „improprii” de poliedre, cum ar fi hosoedrele și dualele lor, diedrele, există ca poliedre sferice, dar analoagele lor cu fețe plane sunt degenerate. Exemplul de minge de plajă hexagonală, {2, 6}, este un hosoedru, iar {6, 2} este diedrul său dual.

Istoric[modificare | modificare sursă]

Primele poliedre artificiale cunoscute sunt poliedrele sferice cioplire în piatră. Multe au fost găsite în Scoția și par să dateze din neolitic.

În secolul al X-lea savantul islamic Abū al-Wafā' Būzjānī (Abu'l Wafa) a scris primul studiu serios despre poliedrele sferice.

Acum două sute de ani, la începutul secolului al XIX-lea, Poinsot a folosit poliedre sferice pentru a descoperi cele patru poliedre stelate regulate.

La mijlocul secolului al XX-lea, Coxeter le-a folosit pentru a enumera toate poliedrele uniforme, cu excepția unuia, prin realizarea de caleidoscoape (construcția Wythoff).

Exemple[modificare | modificare sursă]

Toate poliedrele regulate, semiregulate și dualele lor pot fi proiectate pe sferă sub formă de pavări:

Simbol
Schläfli
{p,q} t{p,q} r{p,q} t{q,p} {q,p} rr{p,q} tr{p,q} sr{p,q}
Configurația
vârfului
pq q.2p.2p p.q.p.q p.2q.2q qp q.4.p.4 4.2q.2p 3.3.q.3.p
Simetrie
tetraedrică

(3 3 2)
Uniform tiling 332-t0-1-.png
33
Uniform tiling 332-t01-1-.png
3.6.6
Uniform tiling 332-t1-1-.png
3.3.3.3
Uniform tiling 332-t12.png
3.6.6
Uniform tiling 332-t2.png
33
Uniform tiling 332-t02.png
3.4.3.4
Uniform tiling 332-t012.png
4.6.6
Spherical snub tetrahedron.png
3.3.3.3.3
Spherical triakis tetrahedron.png
V3.6.6
Spherical dual octahedron.png
V3.3.3.3
Spherical triakis tetrahedron.png
V3.6.6
Spherical rhombic dodecahedron.png
V3.4.3.4
Spherical tetrakis hexahedron.png
V4.6.6
Uniform tiling 532-t0.png
V3.3.3.3.3
Simetrie
octaedrică

(4 3 2)
Uniform tiling 432-t0.png
43
Uniform tiling 432-t01.png
3.8.8
Uniform tiling 432-t1.png
3.4.3.4
Uniform tiling 432-t12.png
4.6.6
Uniform tiling 432-t2.png
34
Uniform tiling 432-t02.png
3.4.4.4
Uniform tiling 432-t012.png
4.6.8
Spherical snub cube.png
3.3.3.3.4
Spherical triakis octahedron.png
V3.8.8
Spherical rhombic dodecahedron.png
V3.4.3.4
Spherical tetrakis hexahedron.png
V4.6.6
Spherical deltoidal icositetrahedron.png
V3.4.4.4
Spherical disdyakis dodecahedron.png
V4.6.8
Spherical pentagonal icositetrahedron.png
V3.3.3.3.4
Simetrie
icosaedrică

(5 3 2)
Uniform tiling 532-t0.png
53
Uniform tiling 532-t01.png
3.10.10
Uniform tiling 532-t1.png
3.5.3.5
Uniform tiling 532-t12.png
5.6.6
Uniform tiling 532-t2.png
35
Uniform tiling 532-t02.png
3.4.5.4
Uniform tiling 532-t012.png
4.6.10
Spherical snub dodecahedron.png
3.3.3.3.5
Spherical triakis icosahedron.png
V3.10.10
Spherical rhombic triacontahedron.png
V3.5.3.5
Spherical pentakis dodecahedron.png
V5.6.6
Spherical deltoidal hexecontahedron.png
V3.4.5.4
Spherical disdyakis triacontahedron.png
V4.6.10
Spherical pentagonal hexecontahedron.png
V3.3.3.3.5
Exemplu
diedral p=6
(2 2 6)
Hexagonal dihedron.png
62
Dodecagonal dihedron.png
2.12.12
Hexagonal dihedron.png
2.6.2.6
Spherical hexagonal prism.png
6.4.4
Hexagonal Hosohedron.svg
26
Spherical truncated trigonal prism.png
2.4.6.4
Spherical truncated hexagonal prism.png
4.4.12
Spherical hexagonal antiprism.png
3.3.3.6
Pavarea sferei cu triunghiuri sferice (icosaedru cu unele dintre triunghiurile sale sferice distorsionate)
n 2 3 4 5 6 7 8 10 ...
n-prismă
(2 2 p)
Tetragonal dihedron.png Spherical triangular prism.png Spherical square prism2.png Spherical pentagonal prism.png Spherical hexagonal prism2.png Spherical heptagonal prism.png Spherical octagonal prism2.png Spherical decagonal prism2.png ...
n-bipiramidă
(2 2 p)
Spherical digonal bipyramid2.svg Spherical trigonal bipyramid.png Spherical square bipyramid2.svg Spherical pentagonal bipyramid.svg Spherical hexagonal bipyramid2.png Spherical heptagonal bipyramid.png Spherical octagonal bipyramid2.png Spherical decagonal bipyramid2.png ...
n-antiprismă Spherical digonal antiprism.png Spherical trigonal antiprism.png Spherical square antiprism.png Spherical pentagonal antiprism.png Spherical hexagonal antiprism.png Spherical heptagonal antiprism.png Spherical octagonal antiprism.png ...
n-trapezoedru Spherical digonal antiprism.png Spherical trigonal trapezohedron.png Spherical tetragonal trapezohedron.png Spherical pentagonal trapezohedron.png Spherical hexagonal trapezohedron.png Spherical heptagonal trapezohedron.png Spherical octagonal trapezohedron.png Spherical decagonal trapezohedron.png ...

Cazuri improprii[modificare | modificare sursă]

Pavările sferice permit cazuri care nu par poliedre, și anume, hosoedre (figuri ca {2,n}) și diedre (figuri ca {n,2}). În general, se folosesc hosoedre și diedre regulate.

Familia hosoedrelor regulate cu simetrie *n22 , repectiv pavări hosoedrice regulate nn
Spațiu Sferic Euclidian
Denumirea pavării (Monogonală)
hosoedru henagonal

hosoedru digonal
(Triunghiulară)
hosoedru trigonal
(Pătrată)
hosoedru tetragonal

hosoedru pentagonal

hosoedru hexagonal

...

hosoedru apeirogonal
Imagine Spherical henagonal hosohedron.png Spherical digonal hosohedron.png Spherical trigonal hosohedron.png Spherical square hosohedron.png Spherical pentagonal hosohedron.png Spherical hexagonal hosohedron.png ... Apeirogonal hosohedron.svg
Simbol Schläfli {2,1} {2,2} {2,3} {2,4} {2,5} {2,6} ... {2,∞}
Diagramă Coxeter CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png ... CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
Fețe și laturi 1 2 3 4 5 6 ...
Vârfuri 2 ... 2
Config. vârf 2 2.2 23 24 25 26 ... 2
Familia diedrelor regulate: *n22 permutări simetrice ale pavărilor diedrice regulate nn
Spațiu Sferic Euclidian
Denumirea pavării (Hengonală)
Diedru monogonal
(Digonală)
Diedru digonal
(Triunghiulară)
Diedru triunghiular
(Pătratică)
Diedru pătrat
Diedru pentagonal Diedru hexagonal ... Diedru apeirogonal
Imaginea pavării Monogonal dihedron.svg Digonal dihedron.svg Trigonal dihedron.svg Tetragonal dihedron.svg Pentagonal dihedron.svg Hexagonal dihedron.svg ... Apeirogonal tiling.svg
Simbol Schläfli {1,2} {2,2} {3,2} {4,2} {5,2} {6,2} ... {∞,2}
Diagramă Coxeter CDel node 1.pngCDel 1x.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png ... CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png
Fețe 2 {1} 2 {2} 2 {3} 2 {4} 2 {5} 2 {6} ... 2 {∞}
Laturi și vârfuri 1 2 3 4 5 6 ...
Config. vârf 1.1 2.2 3.3 4.4 5.5 6.6 ... ∞.∞

Relația cu pavările planului proiectiv[modificare | modificare sursă]

Poliedre sferice care au cel puțin o simetrie inversă sunt legate de poliedrele proiective⁠(d)[1] (teselări ale planului proiectiv real⁠(d)) — așa cum sfera are o acoperire de 2 la 1 a planului proiectiv, poliedrele proiective corespund cu o acoperire dublă poliedrelor sferice care sunt simetrice față de centru.

Cele mai cunoscute exemple de poliedre proiective sunt poliedre proiective regulate, corespondentele poliedrelor platonice cu simetrie centrală, precum și două clase infinite de diedre și hosoedre:[2]

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ en McMullen, Peter; Schulte, Egon (). „6C. Projective Regular Polytopes”. Abstract Regular Polytopes. Cambridge University Press. pp. 162–5. ISBN 0-521-81496-0. 
  2. ^ en Coxeter, H.S.M. (). „§21.3 Regular maps'”. Introduction to GeometryAcces gratuit pentru testarea serviciului, necesită altfel abonament (ed. 2nd). Wiley. pp. 386–8. ISBN 978-0-471-50458-0. MR 0123930. 

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • en Poinsot, L. (). „Memoire sur les polygones et polyèdres”. J. De l'École Polytechnique. 9: 16–48. 
  • en Coxeter, H.S.M.; Longuet-Higgins, M.S.; Miller, J.C.P. (). „Uniform polyhedra”. Phil. Trans. 246 A (916): 401–50. JSTOR 91532. 
  • en Coxeter, H.S.M. (). Regular Polytopes (ed. 3rd). Dover. ISBN 0-486-61480-8. 

Legături externe[modificare | modificare sursă]