Fagure (geometrie)

Pentru un fagure de albine, vedeți Fagure.

În geometrie, un fagure este o umplere a spațiului sau împachetare compactă a poliedrelor sau a celulelor din dimensiuni superioare astfel încât să nu rămână goluri. Este un exemplu de generalizare matematică a pavărilor sau teselărilor în orice număr de dimensiuni. Un n-fagure este un fagure în spațiul n-dimensional.

Fagurii sunt de obicei construiți în spațiul euclidian obișnuit („plat”). Ei pot fi, de asemenea, construiți în spații neeuclidiene, cum ar fi fagurii hiperbolici. Orice politop uniform finit poate fi proiectat în sfera sa circumscrisă pentru a forma un fagure uniform în spațiul sferic.

Clasificare[modificare | modificare sursă]

Există infinit de mulți faguri, care au fost doar parțial clasificați. Cei mai regulați au stârnit și cel mai mare interes, în timp ce continuă să fie descoperit un sortiment bogat și variat de alți faguri.

Cele mai simple structuri de faguri sunt formate din straturi de prisme suprapuse pe baza unor teselări ale planului. În particular, pentru fiecare paralelipiped, copiile lui pot umple spațiul, fagurele cubic fiind unul special deoarece este singurul fagure regulat în spațiul obișnuit (euclidian). O altă familie interesantă sunt tetraedrele Hill și generalizările lor, care pot, de asemenea, umple spațiul.

3-faguri uniformi[modificare | modificare sursă]

Un fagure uniform tridimensional este un fagure în spațiul tridimensional (3-spațiu) compus din celule poliedrice uniforme și având toate vârfurile la fel (adică grupul izometriilor 3-spațiului, care conservă pavarea, este tranzitiv pe vârfuri). Există 28 de exemple convexe în 3-spațiul euclidian,^[1] numite și faguri arhimedici.

Se spune despre un fagure că este regulat dacă grupul de izometrii care conservă pavarea este tranzitiv pe steaguri, unde un steag este format dintr-un vârf, o latură din care face parte, o față din care face parte latura, o celulă mărginită de acea față. Fiecare fagure regulat este automat și uniform. Totuși, există un singur fagure regulat în 3-spațiul euclidian, fagurele cubic. Două sunt cvasiregulate (formate din două tipuri de celule regulate):

Type	Fagure cubic regulat	Fagure cvasiregulat
Celule	Cubice	Octaedre și tetraedre
Strat de dale

Fagurii tetraedric-octaedrici sunt generați de 3 sau 2 poziții ale stratului de dale al celulelor, fiecare alternând tetraedre și octaedre. Un număr infinit de faguri unici poate fi creat prin modele de ordin superior ale repetărilor a acestor straturi de dale.

Poliedre care umplu spațiul[modificare | modificare sursă]

Se spune că un fagure care are toate celulele identice în simetriile sale este tranzitiv pe celule (izocoric). În spațiul euclidian tridimensional se spune că o celulă a unui astfel de fagure este un poliedru care umple spațiul.^[2] O condiție necesară pentru ca un poliedru să fie un poliedru care umple spațiul este ca invariantul Dehn să fie zero,^[3]^[4] în afara cubului excluzând toate celalte corpuri platonice.

Cinci poliedre care umplu spațiul pot tesela un spațiu euclidian tridimensional, numai prin translații. Se numesc paraleloedre:

Fagure cubic (sau variațiile: cuboid, hexaedru rombic sau paralelipiped)
Fagure prismatic hexagonal^[5]
Fagure dodecaedric rombic
Fagure dodecaedric rombohexagonal^[6]
Fagure cubic bitrunchiat sau cu octaedre trunchiate^[7]

Cub (paralelipiped)	Prismă hexagonală	Dodecaedru rombic	Dodecaedru rombohexagonal	Octaedru trunchiat
Fagure cubic	Fagure prismatic hexagonal	Fagure dodecaedric rombic	Fagure dodecaedric rombohexagonal	Fagure cubic bitrunchiat

Alte exemple cunoscute de poliedre care umplu spațiul sunt:

Fagurele prismatic triunghiular
Fagurele prismatic triunghiular rotit
Fagurele tetraedric trunchiat triakis. Celulele Voronoi ale atomilor de carbon din structura diamantului au această formă^[8]
Fagurele dodecaedric trapezo-rombic^[9]
Pavarea izoedrică^[10]

Alți faguri cu două sau mai multe poliedre[modificare | modificare sursă]

Uneori, pentru a umple spațiul pot fi combinate două^[11] sau mai multe poliedre diferite. Pe lângă mulți dintre fagurii uniformi, un alt exemplu binecunoscut este structura Weaire–Phelan, sugerată de structura cristalelor de hidrat de gaz.^[12]

3-faguri neconvecși[modificare | modificare sursă]

Exemplele documentate sunt rare. Se pot distinge două clase:

Celule neconvexe care se împachetează fără suprapuneri, analog cu pavările cu poligoane concave. Acestea includ o împachetare a micului dodecaedru rombic stelat (prima variantă de stelare), ca în cubul Yoshimoto.
Suprapunerea celulelor a căror densitate pozitivă și negativă „se anulează” pentru a forma un continuu uniform dens, analog cu pavările suprapuse ale planului.

Faguri hiperbolici[modificare | modificare sursă]

În spațiul hiperbolic tridimensional, unghiul diedru al unui poliedru depinde de mărimea acestuia. Fagurii hiperbolici regulați sunt de două feluri, cu patru sau cinci dodecaedre care se întâlnesc pe fiecare latură; unghiurile lor diedre fiind $\pi /2\,$ și $2\pi /5\,$ , ambele fiind mai mici decât cel al unui dodecaedru euclidian. În afară de acest efect, fagurii hiperbolici respectă aceleași constrângeri topologice ca și fagurii euclidieni și policorurile.

Au fost enumerați 4 faguri hiperbolici regulați compacți și 11 paracompacti precum și mulți faguri hiperbolici uniformi compacți și paracompacti.

Patru faguri regulați compacți în H³
{5,3,4}	{4,3,5}	{3,5,3}	{5,3,5}

11 faguri regulați paracompacți
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}
{4,4,3}	{4,4,4}	{3,3,6}	{4,3,6}
{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

Dualitarea 3-fagurilor[modificare | modificare sursă]

Pentru fiecare fagure există un fagure dual, care poate fi obținut prin schimbările:

celulelor cu vârfuri,
fețelor cu laturi.

Acestea sunt exact regulile pentru dualizarea 4-politopurilor, cu excepția faptului că metoda finită obișnuită de înlocuire pe baza unei hipersfere concentrice poate întâmpina probleme.

Fagurii regulați dualizează simplu:

Fagurele cubic este autodual.
Cel al octaedrelor și al tetraedrelor este dual cu cel al dodecaedrelor rombice.
Fagurii cu dale derivați din pavări uniforme plane sunt duali între ei în același mod în care sunt duale pavările.
Dualii fagurilor arhimedici rămași sunt toți tranzitivi față de celule și au fost descriși de Inchbald.^[13]

Faguri autoduali[modificare | modificare sursă]

Fagurii pot fi, de asemenea, autoduali. Toate fagurii hipercubici n-dimensionali cu simboluri Schläfli {4,3n − 2,4}, sunt autoduali.

Note[modificare | modificare sursă]

^ en Grünbaum (1994). "Uniform tilings of 3-space". Geombinatorics 4(2)
^ en Eric W. Weisstein Space-Filling polyhedron, (română poliedru care umple spațiul) la Mathworld
^ de Debrunner, Hans E. (1980), „Über Zerlegungsgleichheit von Pflasterpolyedern mit Würfeln”, Archiv der Mathematik, 35 (6): 583–587, doi:10.1007/BF01235384, MR 0604258 .
^ en Lagarias, J. C.; Moews, D. (1995), „Polytopes that fill $\mathbb {R} ^{n}$ and scissors congruence”, Discrete and Computational Geometry, 13 (3–4): 573–583, doi:10.1007/BF02574064 , MR 1318797 .
^ en Uniform space-filling using triangular, square, and hexagonal prisms (română Umplere uniformă a spațiului cu prisme trianghiulare, pătrate și hexagonale)
^ en Uniform space-filling using only rhombo-hexagonal dodecahedra (română Umplere uniformă a spațiului doar cu dodecaedre rombo-hexagonale)
^ en Uniform space-filling using only truncated octahedra (română Umplere uniformă a spațiului doar cu octaedre trunchiate)
^ en John Conway (22 decembrie 2003). „Voronoi Polyhedron. geometry.puzzles”.
^ en X. Qian, D. Strahs and T. Schlick, J. Comput. Chem. 22(15) 1843–1850 (2001)
^ en [1] O. Delgado-Friedrichs and M. O'Keeffe. Isohedral simple tilings: binodal and by tiles with <16 faces. Acta Crystallogr. (2005) A61, 358-362
^ en A space-filling polyhedron with 13 faces, science.unitn.it, accesat 2015-06-30 (arhivă)
^ en Linus Pauling, The Nature of the Chemical Bond, Cornell University Press, 1960
^ en Inchbald, Guy (iulie 1997), „The Archimedean honeycomb duals”, The Mathematical Gazette, 81 (491): 213–219, doi:10.2307/3619198, JSTOR 3619198

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

en Coxeter, H.S.M.: Regular Polytopes.
en Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications, Inc, ISBN: 0-486-23729-X, pp. 164–199: Chapter 5: Polyhedra packing and space filling
en Critchlow, K.: Order in space.
en Pearce, P.: Structure in nature is a strategy for design.
en Goldberg, Michael Three Infinite Families of Tetrahedral Space-Fillers Journal of Combinatorial Theory A, 16, pp. 348–354, 1974.
en Goldberg, Michael (1972). „The space-filling pentahedra”. Journal of Combinatorial Theory, Series A. 13 (3): 437–443. doi:10.1016/0097-3165(72)90077-5 .
en Goldberg, Michael The Space-filling Pentahedra II, Journal of Combinatorial Theory 17 (1974), 375–378.
en Goldberg, Michael (1977). „On the space-filling hexahedra”. Geometriae Dedicata. 6. doi:10.1007/BF00181585.
en Goldberg, Michael (1978). „On the space-filling heptahedra”. Geometriae Dedicata. 7 (2): 175–184. doi:10.1007/BF00181630.
en Goldberg, Michael Convex Polyhedral Space-Fillers of More than Twelve Faces. Geom. Dedicata 8, 491-500, 1979.
en Goldberg, Michael (1981). „On the space-filling octahedra”. Geometriae Dedicata. 10 (1–4): 323–335. doi:10.1007/BF01447431.
en Goldberg, Michael (1982). „On the Space-filling Decahedra”.
en Goldberg, Michael (1982). „On the space-filling enneahedra”. Geometriae Dedicata. 12 (3). doi:10.1007/BF00147314.

Legături externe[modificare | modificare sursă]

Materiale media legate de fagure la Wikimedia Commons
en Guy Inchbald, Five space-filling polyhedra, The Mathematical Gazette 80, November 1996, pp. 466-475
de T.E. Dorozinski, Raumfüller (română [poliedre] care umplu spațiul)

Portal Matematică

[1] Grünbaum (1994). "Uniform tilings of 3-space". Geombinatorics 4(2)

[2] Eric W. Weisstein Space-Filling polyhedron, (română poliedru care umple spațiul) la Mathworld

[3] Debrunner, Hans E. (1980), „Über Zerlegungsgleichheit von Pflasterpolyedern mit Würfeln”, Archiv der Mathematik, 35 (6): 583–587, doi:10.1007/BF01235384, MR 0604258 .

[4] Lagarias, J. C.; Moews, D. (1995), „Polytopes that fill $\mathbb {R} ^{n}$ and scissors congruence”, Discrete and Computational Geometry, 13 (3–4): 573–583, doi:10.1007/BF02574064 , MR 1318797 .

[5] Uniform space-filling using triangular, square, and hexagonal prisms (română Umplere uniformă a spațiului cu prisme trianghiulare, pătrate și hexagonale)

[6] Uniform space-filling using only rhombo-hexagonal dodecahedra (română Umplere uniformă a spațiului doar cu dodecaedre rombo-hexagonale)

[7] Uniform space-filling using only truncated octahedra (română Umplere uniformă a spațiului doar cu octaedre trunchiate)

[8] John Conway (22 decembrie 2003). „Voronoi Polyhedron. geometry.puzzles”.

[9] X. Qian, D. Strahs and T. Schlick, J. Comput. Chem. 22(15) 1843–1850 (2001)

[10] [1] O. Delgado-Friedrichs and M. O'Keeffe. Isohedral simple tilings: binodal and by tiles with <16 faces. Acta Crystallogr. (2005) A61, 358-362

[11] A space-filling polyhedron with 13 faces, science.unitn.it, accesat 2015-06-30 (arhivă)

[12] Linus Pauling, The Nature of the Chemical Bond, Cornell University Press, 1960

[13] Inchbald, Guy (iulie 1997), „The Archimedean honeycomb duals”, The Mathematical Gazette, 81 (491): 213–219, doi:10.2307/3619198, JSTOR 3619198

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]