Hexaedru tetrakis

Descriere
Hexaedru tetrakis

(animație și model 3D)
Tip	Poliedru Catalan
Fețe	24 triunghiuri isoscele
Laturi (muchii)	36
Vârfuri	14
χ	2
Configurația feței	V.4.6.6 (triunghiuri isoscele)
Simbol Conway	kC
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	O_h, B₃, [4,3], (*432)
Grup de rotație	O, [4,3]⁺, (432)
Arie	≈ 8,660 a² (a = latura mare)
Volum	= 1,500 a³ (a = latura mare)
Unghi diedru	143° 07′ 48″ = arccos(−4/5)
Poliedru dual	Octaedru trunchiat
Proprietăți	Poliedru convex, tranzitiv pe fețe
Desfășurată

În geometrie un hexaedru tetrakis este un poliedru Catalan cu 24 de fețe. Fiecare poliedru Catalan este dualul unui poliedru arhimedic. Dualul hexaedrului tetrakis este octaedrul trunchiat. Este tranzitiv pe fețe.

Poate fi considerat un cub cu piramide pătrate lipite pe fețele cubului, ca urmare este un Kleetop.

Ca dual al unui tetraedru omnitrunchiat poate fi considerat un hexaedru disdiakis sau tetraedru hexakis.

Coordonate carteziene și dimensiuni[modificare | modificare sursă]

Coordonatele carteziene ale celor 14 vârfuri ale unui hexaedru tetrakis centrat în origine, sunt punctele (±3/2, 0, 0), (0, ±3/2, 0), (0, 0, ±3/2) și (±1, ±1, ±1).

Lungimea laturilor scurte ale hexaedrului tetrakis este egală cu 3/2, iar cea a laturilor lungi este egală cu 2. Fețele sunt triunghiuri isoscele ascuțite. Unghiul mai mare din acestea este egal cu $\arccos(1/9)\approx 83,620\,629\,791\,56^{\circ }$ iar cele două mai mici sunt egale cu $\arccos(2/3)\approx 48,189\,685\,104\,22^{\circ }$ .

Dacă se notează lungimea laturii cubului de bază cu a, înălțimea apexului unei piramide de pe o față a cubului este a/4. Înclinarea fețelor triunghiulare ale piramidei față de de fața cubului este arctg(1/2), aproximativ 26,565°^[1]. Baza triunghiului isoscel are lungimea a, iar celelalte două laturi au lungimea de 3a/4, care se obține din teorema lui Pitagora aplicată înălțimii și semidiagonalei piramidei. Asta duce la o înălțime a triunghiului unei fețe de √5a/4.^[2] Aria triunghiului este √5a²/8, iar inghiurile interne sunt arccos(2/3) (aproximativ 48,19°) iar unghiul complementar 180° − 2 arccos(2/3) (aproximativ 83,62°).

Aria totală a hexaedrului triakis este suma ariilor fețelor, adică 3√5a².

Volumul unei piramide este a³/12; ca urmare volumul total al celor 6 piramide și a cubului central este 3a³/2.

Proiecții ortogonale[modificare | modificare sursă]

Hexaedrul tetrakis, dualul octaedrului trunchiat are 3 poziții de simetrie, două situate la vârfuri și una la mijlocul laturilor.

Proiecții ortogonale
Simetrie proiectivă	[2]	[4]	[6]
Hexaedru tetrakis
Octaedru trunchiat

Simetrie[modificare | modificare sursă]

Cu simetrie tetraedrică T_d, [3,3] (*332), fețele triunghiulare reprezintă cele 24 de domenii fundamentale ale acestei simetrii. Acest poliedru poate fi construit din 6 cercuri mari pe o sferă. Poate fi considerat și un cub cu fețele pătrate triangulate prin vârfuri și centrele fețelor și un tetraedru cu fețele divizate de vârfuri, mijloacele laturilor și un punct central.


Octaedru trunchiat	Hexaedru disdiakis	Dodecaedru rombic	Hexaedru rombic	Tetraedru

Poliedru sferic

(animație)	Propiecții ortogonale după axele cu 2, 3 și 4 poziții

Laturile hexaedrului tetrakis sferic sunt situate pe șase cercuri mari, care corespund planurilor de oglindire din simetria tetraedrică. Ele pot fi grupate în trei perechi de cercuri ortogonale (care se intersectează pe câte o axă de coordonate). În imaginile de mai jos, aceste hosoedre pătrate sunt colorate cu roșu, verde și albastru.

Proiecții stereografice
	cu 2 poziții	cu 3 poziții	cu 4 poziții

Piramidă cubică[modificare | modificare sursă]

Este foarte asemănător cu desfășurata tridimensională a piramidei cubice cvadridimensionale, așa cum desfășurata unei piramide pătrate este un pătrat cu triunghiuri atașate pe fiecare latură a sa, desfășurata unei piramide cubice este un cub cu piramide pătrate atașate pe fiecare față a sa.

Poliedre și pavări înrudite[modificare | modificare sursă]

Poliedre octaedrice uniforme v • d • m
Simetrie: [4,3], (*432)							[4,3]⁺ (432)	[1⁺,4,3] = [3,3] (*332)		[3⁺,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{3^1,1}	t{3,4} t{3^1,1}	{3,4} {3^1,1}	rr{4,3} s₂{3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h₂{4,3} t{3,3}	s{3,4} s{3^1,1}

		=	=	=				= sau	= sau	=

Dualele celor de mai sus
V4³	V3.8²	V(3.4)²	V4.6²	V3⁴	V3.4³	V4.6.8	V3⁴.4	V3³	V3.6²	V3⁵

Variante de simetrii *n32 ale pavărilor trunchiate: n.6.6
Sim. *n42 [n,3]	Sferică				Euclid.	Compactă		Paracomp.	Hiperbolică necompactă
Sim. *n42 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]
Figuri trunchiate
Config.	2.6.6	3.6.6	4.6.6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6	∞.6.6	12i.6.6	9i.6.6	6i.6.6
Figuri n-kis
Config.	V2.6.6	V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6	V8.6.6	V∞.6.6	V12i.6.6	V9i.6.6	V6i.6.6

Acest poliedru face parte dintr-o secvență definită de configurația feței V4.6.2n. Acest grup este particular pentru că toți membrii săi au un număr par de laturi la vârf și formează plane care divid poliedrele și dreptele infinite din plan și continuând în planul hiperbolic pentru orice n ≥ 7.

Cu un număr par de fețe la fiecare vârf, aceste poliedre și pavări pot fi colorate alternativ cu numai două culori, astfel încât toate fețele adiacente să aibă culori diferite.

Fiecare față corespunde domeniul fundamental al unui grup de simetrie cu ordinul 2,3,n la fiecare vârf al feței triunghiulare.

Variante de pavări omnitrunchiate cu simetrie n32: 4.6.2n*
Simetrie *n32 [n,3]	Sferice				Euclid.	Hiperb. compacte		Paraco.	Hiperbolice necompacte
Simetrie *n32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]	[3i,3]
Imagini
Config.	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12	4.6.14	4.6.16	4.6.∞	4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
Duale
Config.	V4.6.4	V4.6.6	V4.6.8	V4.6.10	V4.6.12	V4.6.14	V4.6.16	V4.6.∞	V4.6.24i	V4.6.18i	V4.6.12i	V4.6.6i

Note[modificare | modificare sursă]

^ Șirul A073000 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
^ Șirul A204188 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

en Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
en Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208 (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 14, Tetrakishexahedron)
en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss (2008), The Symmetries of Things, ISBN: 978-1-56881-220-5 [1] (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 284, Tetrakis hexahedron)

Legături externe[modificare | modificare sursă]

en Eric W. Weisstein, Tetrakis hexahedron la MathWorld.
en Eric W. Weisstein, Catalan solid la MathWorld.
en Virtual Reality Polyhedra www.georgehart.com: The Encyclopedia of Polyhedra
en Model VRML
en Conway Notation for Polyhedra Chei: "dtO" sau "kC"
en Tetrakis Hexahedron – Interactive Polyhedron model
en The Uniform Polyhedra

Portal Matematică

[1] Șirul A073000 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)

[2] Șirul A204188 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)

[1]

[2]