Romboedru

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare
Romboedru
Rhombohedron.svg
Descriere
Tipprismă
Fețe6 romburi
Laturi (muchii)12
Vârfuri8
χ2
Configurația fețeiV3.3.3.3
Grup de simetrieCi , [2+,2+], (×), ordin 2
Proprietățiconvex, zonoedru

În geometrie un romboedru[1] este un poliedru cu șase fețe care sunt romburi. Este un caz particular al unui paralelipiped în care toate laturile (muchiile) au aceeași lungime. Poate fi folosit pentru a defini sistemul cristalin hexagonal, un fagure cu celule romboedrice. Un cub este un caz particular al unui romboedru, având toate fețele pătrate.

În general, un romboedru poate avea până la trei tipuri de fețe rombice în perechi opuse congruente, simetrie Ci de ordinul 2.

Patru puncte care formează vârfuri neadiacente ale unui romboedru sunt în mod necesar cele patru vârfuri ale unui tetraedru ortocentric și toate tetraedrele ortocentrice pot fi formate în acest fel.[2]

Sistemul cristalin hexagonal[modificare | modificare sursă]

Rhombohedral.svg

Sistemul cristalin hexagonal are celule romboedrice, cu 6 fețe rombice congruente, formând un trapezoedru trigonal.

Cazuri particulare de simetrie[modificare | modificare sursă]

Cazuri particulare ale romboedrului
Formă Cub Trapezoedru trigonal Prismă rombică dreaptă Prismă rombică oblică
Condiții pt.
unghiuri
Simetrie Oh
ordin 48
D3d
ordin 12
D2h
ordin 8
C2h
ordin 4
Fețe 6 pătrate 6 romburi congruente 2 romburi, 4 pătrate 6 romburi


  • Cub: cu simetrie Oh de ordinul 48. Toate fețele sunt pătrate.
  • Trapezoedru trigonal (numit și romboedru izoedric):[3] cu simetrie D3d de ordinul 12. Toate unghiurile interne neobtuze ale fețelor sunt egale (toate fețele sunt romburi congruente). Acest lucru poate fi observat la scalarea unui cub în direcția unei diagonale lungi a sa. De exemplu, un octaedru regulat cu două tetraedre regulate atașate pe fețe opuse formează un trapezoedru trigonal” cu unghiuri de 60°.
  • Prismă rombică dreaptă: cu simetrie D2h de ordinul 8. Este format din două romburi și patru pătrate. Acest lucru poate fi observat la scalarea unui cub în direcția unei diagonale a unei fețe a sa. De exemplu, două prisme drepte cu baze triunghiulare regulate atașate împreună formează o prismă rombică dreaptă cu unghiuri de 60°.
  • Prismă rombică oblică: cu simetrie C2h de ordinul 4. Are un singur plan de simetrie, prin patru vârfuri, și șase fețe rombice.

Geometrie în spațiu[modificare | modificare sursă]

La un romboedru izoedric cu lungimea laturii 1,[3] cu unghiul ascuțit al romburilor , cu un vârf în origine (0, 0, 0) și cu o latură situată de-a lungul axei x, cei trei vectori generatori sunt

e1 :
e2 :
e3 :

Alte coordonate se obțin prin adunarea vectorilor [4] din cele trei direcții: e1 + e2 , e1 + e3 , e2 + e3 și e1 + e2 + e3 .

Volumul al unui romboedru izoedric cu latura de lungimea și unghiul ascuțit al romburilor se obține pe baza formulei pentru paralelipiped:

Altă relație:

Deoarece aria bazei (rombice) este dată de , iar înălțimea unui romboedru este dată de volumul său împărțit la aria bazei sale, înălțimea a unui romboedru izoedric cu lungimea laturii și unghiul ascuțit al romburilor este dată de:

Notă: 3 , unde 3 este a treia coordonată a e3 .

Diagonala corpului dintre vârfurile unde se întâlnesc unghiurile ascuțite ale fețelor este cea mai lungă. Prin simetrie de rotație în jurul acelei diagonale, celelalte trei diagonale ale corpului, dintre cele trei perechi de vârfuri opuse în care apar și câte două unghiuri obtuze, au toate aceeași lungime.

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ romboedru” la DEX online
  2. ^ en Court, Nathan Altshiller (octombrie 1934), „Notes on the orthocentric tetrahedron”, American Mathematical Monthly, 41 (8): 499–502, doi:10.2307/2300415, JSTOR 2300415 .
  3. ^ a b en Lines, L (). Solid geometry: with chapters on space-lattices, sphere-packs and crystals. Dover Publications. 
  4. ^ en „Vector Addition”. Wolfram. . Accesat în . 

Legături externe[modificare | modificare sursă]