Trapezoedru

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare
Trapezoedru n-gonal
Pentagonal trapezohedron.svg
Exemplu de trapezoedru pentagonal (dual uniform)
Descriere
TipDual al unui poliedru uniform
în sens de dual al unui poliedru semiregulat
Fețe2n (V3.3.3.n)
Laturi (muchii)4n
Vârfuri2n + 2
χ2
Simbol Schläfli{ } ⨁ {n}[1]
Simbol ConwaydAn
Diagramă CoxeterCDel node fh.pngCDel 2x.pngCDel node fh.pngCDel 2x.pngCDel n.pngCDel node.png
CDel node fh.pngCDel 2x.pngCDel node fh.pngCDel n.pngCDel node fh.png
Grup de simetrieDnd, [2+,2n], (2*n), ordin 4n
Grup de rotațieDn, [2,n]+, (22n), ordin 2n
Poliedru dualantiprismă n-gonală uniformă convexă
Proprietățiconvex, cu fețe rombice, tranzitiv pe fețe[2]


În geometrie un trapezoedru n-gonal sau antibipiramidă n-gonală este dualul unei antiprisme n-gonale. Cele 2n fețe ale n-trapezoedrului sunt congruente și dispuse simetric. Pentru o simetrie înaltă, cele 2n fețe sunt romboizi.

Partea „n-gonal” din numele său nu se referă la numărul de fețe, ci la două aranjamente ale vârfurilor de pe axa de simetrie cu n poziții. Antiprisma duală n-gonală are două fețe reale n-gonale.

Un trapezoedru n-gonal poate fi divizat în două piramide n-gonale egale și o antiprismă n-gonală.

Simetrie[modificare | modificare sursă]

Grupul de simetrie al unui trapezoedru n-gonal este Dnd, de ordinul 4n, cu excepția cazului lui n = 3: un cub are grupul de simetrie mai mare Od de ordinul 48 = 4×(4×3), care are patru versiuni de D3d ca subgrupuri.

Grupul de rotație⁠(d) al unui n-trapezoedru este Dn, de ordinul 2n, cu excepția în cazul lui n = 3: un cub are grupul de rotație mai mare O de ordinul 24 = 4×(2×3), care are patru versiuni de D3 ca subgrupuri.

Un grad de libertate în cadrul simetriei de la Dnd (ordin 4n) la Dn (ordin 2n ) schimbă romboizii congruenți în patrulatere congruente cu laturi de trei lungimi, numiți romboizi răsuciți, iar n-trapezoedrul se numește trapezoedru răsucit. (La limită, o latură a fiecărui patrulater ajunge la lungimea zero, iar n-trapezoedrul devine o n-bipiramidă.)

Dacă romboizii care înconjoară cele două vârfuri nu sunt răsuciți, ci au două forme diferite, n-trapezoedrul poate avea doar simetrie Cnv (ciclică cu oglindiri verticale), ordinul 2n, și se numește trapezoedru inegal. Dualul său este o n-antiprismă inegală, cu bazele poligonale de sus și de jos cu raze diferite.

Dacă romboizii sunt răsuciți și au două forme diferite, n-trapezoedrul poate avea doar simetrie Cn (ciclică) de ordinul n și este numit trapezoedru răsucit inegal.

Exemple de variații cu trapezoedre hexagonale (n = 6)
Tipul
trapezoedrului
Trapezoedru
răsucit
Trapezoedru
inegal
Trapezoedru
răsucit inegal
Grup de
simetrie
D6, (662), [6,2]+ C6v, (*66), [6] C6, (66), [6]+
Imagine Twisted hexagonal trapezohedron.png Twisted hexagonal trapezohedron2.png Unequal hexagonal trapezohedron.png Unequal twisted hexagonal trapezohedron.png
Desfășurată Twisted hexagonal trapezohedron net.png Twisted hexagonal trapezohedron2 net.png Unequal hexagonal trapezohedron net.png Unequal twisted hexagonal trapezohedron net.png

Forme[modificare | modificare sursă]

Un n-trapezoedru are 2n fețe patrulatere și 2n+2 vârfuri, dintre care două sunt apexuri. Aceste apexuri definesc axa polară, iar celelalte vârfuri sunt situate pe două inele n-gonale regulate.

Familia trapezoedrelor n-gonale
Nume trapezoedru Trapezoedru
digonal
(tetraedru)
Trapezoedru
trigonal
Trapezoedru
tetragonal
Trapezoedru
pentagonal
Trapezoedru
hexagonal
Trapezoedru
heptagonal
Trapezoedru
octogonal
Trapezoedru
decagonal
Trapezoedru
dodecagonal
... Trapezoedru
apeirogonal
Imagine Digonal trapezohedron.png TrigonalTrapezohedron.svg Tetragonal trapezohedron.png Pentagonal trapezohedron.svg Hexagonal trapezohedron.png Heptagonal trapezohedron.png Octagonal trapezohedron.png Decagonal trapezohedron.png Dodecagonal trapezohedron.png ...
Pavare
sferică
Spherical digonal antiprism.png Spherical trigonal trapezohedron.png Spherical tetragonal trapezohedron.png Spherical pentagonal trapezohedron.png Spherical hexagonal trapezohedron.png Spherical heptagonal trapezohedron.png Spherical octagonal trapezohedron.png Spherical decagonal trapezohedron.png Spherical dodecagonal trapezohedron.png Pavare
plană
Apeirogonal trapezohedron.svg
Configurația
feței
V2.3.3.3 V3.3.3.3 V4.3.3.3 V5.3.3.3 V6.3.3.3 V7.3.3.3 V8.3.3.3 V10.3.3.3 V12.3.3.3 ... V∞.3.3.3

Cazuri particulare:

  • n = 2. O formă degenerată de trapezoedru: un tetraedru geometric cu 6 vârfuri, 8 laturi și 4 fețe romboidale degenerate în triunghiuri. Dualul său este o formă degenerată de antiprismă: tot un tetraedru.
Un romboedru la 60°, divizat într-un octaedru central regulat și două tetraedre regulate

Trapezoedre stelate[modificare | modificare sursă]

Un p/q-trapezoedru stelat este o figură tranzitivă pe fețe definită printr-un poligon strâmb în zigzag regulat. Baza sa este un poligon stelat 2p/q-gonal, are două apexuri simetrice fără grade de libertate, unul deasupra și celălalt dedesubtul bazei și fețele romboedre care conectează fiecare pereche de laturi adiacente de la bază la un apex.

Un astfel de p/q-trapezoedru stelat este o formă autointersectată, neconvexă. El există pentru orice 2p/q-gon strâmb în zigzag stelat regulat; dar dacă p/q < 3/2, atunci pq < q/2, deci antiprisma duală stelată (a trapezoedrului stelat) nu poate fi uniformă (adică nu poate avea laturile de lungime egală); iar dacă p/q = 3/2, atunci pq = q/2, deci antiprisma duală stelată pentru a fi uniformă trebuie să fie plată, adică degenerată.

Un p/q-trapezoedru dual stelat are diagrama Coxeter–Dynkin CDel node fh.pngCDel 2x.pngCDel node fh.pngCDel p.pngCDel rat.pngCDel q.pngCDel node fh.png.

Trapezoedre p/q stelate uniforme până la p = 12
5/2 5/3 7/2 7/3 7/4 8/3 8/5 9/2 9/4 9/5
5-2 deltohedron.png 5-3 deltohedron.png 7-2 deltohedron.png 7-3 deltohedron.png 7-4 deltohedron.png 8-3 deltohedron.png 8-5 deltohedron.png 9-2 deltohedron.png 9-4 deltohedron.png 9-5 deltohedron.png
CDel node fh.pngCDel 2x.pngCDel node fh.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 2x.pngCDel node fh.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel 3x.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 2x.pngCDel node fh.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 2x.pngCDel node fh.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel 3x.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 2x.pngCDel node fh.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel 4.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 2x.pngCDel node fh.pngCDel 8.pngCDel rat.pngCDel 3x.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 2x.pngCDel node fh.pngCDel 8.pngCDel rat.pngCDel 5.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 2x.pngCDel node fh.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 2x.pngCDel node fh.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel 4.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 2x.pngCDel node fh.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel 5.pngCDel node fh.png
10/3 11/2 11/3 11/4 11/5 11/6 11/7 12/5 12/7
10-3 deltohedron.png 11-2 deltohedron.png 11-3 deltohedron.png 11-4 deltohedron.png 11-5 deltohedron.png 11-6 deltohedron.png 11-7 deltohedron.png 12-5 deltohedron.png 12-7 deltohedron.png
CDel node fh.pngCDel 2x.pngCDel node fh.pngCDel 10.pngCDel rat.pngCDel 3x.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 2x.pngCDel node fh.pngCDel 11.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 2x.pngCDel node fh.pngCDel 11.pngCDel rat.pngCDel 3x.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 2x.pngCDel node fh.pngCDel 11.pngCDel rat.pngCDel 4.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 2x.pngCDel node fh.pngCDel 11.pngCDel rat.pngCDel 5.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 2x.pngCDel node fh.pngCDel 11.pngCDel rat.pngCDel 6.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 2x.pngCDel node fh.pngCDel 11.pngCDel rat.pngCDel 7.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 2x.pngCDel node fh.pngCDel 12.pngCDel rat.pngCDel 5.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 2x.pngCDel node fh.pngCDel 12.pngCDel rat.pngCDel 7.pngCDel node fh.png

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ en Norman Johnson, Geometries and Transformations, (2018) ISBN: 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.3 Pyramids, Prisms, and Antiprisms, Figure 11.3c
  2. ^ en „duality”. maths.ac-noumea.nc. Accesat în . 

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • en Anthony Pugh (). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.  Chapter 4: Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms
  • en Wikisource Spencer, Leonard James (). „Crystallography”. În Chisholm, Hugh. Encyclopædia Britannica. 07 (ed. 11). Cambridge University Press. pp. 569–591. 

Legături externe[modificare | modificare sursă]