Poliedru Johnson

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Girobicupola pătrată alungită, (J37), este un poliedru Johnson
Octaedrul stelat nu este un poliedru Johnson deoarece nu este convex
Acest poliedru cu 24 de fețe pătrate nu este un poliedru Johnson deoarece nu este strict convex
(are unghiuri diedre de 180°)

În geometrie, un poliedru Johnson este un poliedru strict convex ale cărui fețe sunt poligoane regulate. Nu există condiția ca toate fețele să fie același poligon sau că aceleași poligoane să se întâlnească în jurul fiecărui vârf. Un exemplu de poliedru Johnson este piramida pătrată echilaterală, J1, care are o față pătrată și 4 fețe triunghiulare. Unii autori cer ca poliedrul să nu fie uniform, adică să nu fie poliedru platonic, poliedru arhimedic, prismă uniformă sau antiprismă uniformă, pe care nu le consideră „poliedre Johnson”.

Ca la orice poliedru strict convex, cel puțin trei fețe se întâlnesc în fiecare vârf, iar suma unghiurilor lor din dreptul unui vârf este mai mică de 360°. Deoarece un poligon regulat are unghiuri de cel puțin 60 de grade, rezultă că cel mult cinci fețe se întâlnesc în orice vârf. Piramida pentagonală (J2) este un exemplu care are un vârf de gradul 5.

Deși nu există nicio restricție evidentă că un anumit poligon regulat nu ar putea fi o față a unui poliedru Johnson, se pare că fețele poliedrelor Johnson care nu sunt uniforme (adică nu sunt un poliedru platonic, arhimedic, prismă sau antiprismă uniforme) au întotdeauna 3, 4, 5, 6, 8 sau 10 laturi.

În 1966, Norman Johnson a publicat o listă care include toate cele 92 de poliedre Johnson (excluzând cele 5 poliedre platonice, cele 13 poliedre arhimedice și infinit de multele prisme și antiprisme uniforme) și le-a dat numele și numerele lor. El nu a demonstrat că există doar 92, dar a conjecturat că nu există altele. În 1967 Victor Zalgaller a demonstrat că lista lui Johnson era completă.[1]

Dintre poliedrele Johnson, girobicupola pătrată alungită (J 37 ), numită și pseudorombicuboctaedru,[2] este unică prin faptul că este uniformă local la nivel de vârf: în fiecare vârf se întâlnesc 4 fețe, iar dispunerea lor este întotdeauna aceeași: 3 pătrate și 1 triunghi. Totuși, ea nu este tranzitivă pe vârfuri, deoarece are izometrie diferită în vârfuri diferite, făcându-l mai degrabă un poliedru Johnson decât un poliedru arhimedic.

Denumiri[modificare | modificare sursă]

Denumirile poliedrelor Johnson se formează pe baza unei formule descriptive flexibile și precise, astfel încât multe poliedre pot fi denumite în moduri diferite fără a compromite acuratețea lor ca descriere. Majoritatea poliedrelor Johnson pot fi construite din primele câteva piramide, cupole și rotonde, împreună cu poliedrele platonice și arhimedice, prisme și antiprisme. În limba română începutul numelui unui anumit poliedru va conține aceste noțiuni. De acolo, o serie de prefixe și sufixe sunt atașate cuvântului pentru a indica adăugiri, rotații și transformări:

  • Bi- indică că două copii ale poliedrului respectiv sunt lipite bază la bază. Pentru cupole și rotonde, cele două poliedre pot fi lipite astfel încât fețele lor să corespundă (orto-), sau nu (giro- = rotite). Folosind această nomenclatură, un octaedru poate fi descris ca o bipiramidă pătrată, un cuboctaedru ca o girobicupolă triunghiulară iar un icosidodecaedru ca o girobirotondă pentagonală.
  • Alungită indică că o prismă este lipită la baza poliedrului respectiv sau între baze în cazul bi-poliedrelor. Un rombicuboctaedru poate fi astfel descris ca o ortobicupolă pătrată alungită.
  • Giroalungită indică că o antiprismă este lipită la baza poliedrului respectiv sau între baze în cazul bi-poliedrelor. Un icosaedru poate fi astfel descris ca o bipiramidă pentagonală giroalungită.
  • Augmentată indică că un alt poliedru, și anume o piramidă sau cupolă, este lipită la una sau mai multe fețe ale poliedrului respectiv.
  • Diminuată indică eliminarea unei piramide sau cupole de pe una sau mai multe fețe ale poliedrului respectiv.
  • Girată indică că o cupolă montată pe sau existentă în poliedrul respectiv este rotită astfel încât diferite margini să se potrivească, ca în diferența dintre orto și girobicupole.

Ultimele trei operații — augmentare, diminuare și girare — pot fi efectuate de mai multe ori la anumite poliedre mari. Bi- și Tri- indică o operație dublă, respectiv triplă. De exemplu, un poliedru bigirat are două cupole rotite, iar un poliedru tridiminuat are trei piramide sau cupole îndepărtate.

La anumite poliedre mari se face distincția între poliedrele la care fețele modificate sunt paralele și poliedrele în care fețele modificate sunt oblice. Para- indică primul caz, că poliedrul respectiv are fețele paralele modificate, iar Meta- indică al doilea caz, că poliedrul respectiv are fețele oblice modificate. De exemplu, un poliedru parabiaugmentat a avut două fețe paralele augmentate, iar un poliedru metabigirat a avut două fețe oblice rotite.

Ultimele câteva poliedre Johnson au nume bazate pe anumite complexe poligonale din care sunt asamblate. Aceste nume sunt definite de Johnson[3] în modul următor:

  • O lună este un complex de două triunghiuri atașate la laturile opuse ale unui pătrat.
  • Sfeno- indică un complex format din două lune adiacente în lung la nivelul triunghurilor. Bisfeno- indică două astfel de complexe.
  • Hebesfeno- indică un complex de trei lune alăturate.
  • Coroană este un complex asemănător unei coroane, din opt triunghiuri.
  • Megacoroană este un complex mai mare asemănător unei coroane, din 12 triunghiuri.
  • Sufixul -cingulum indică o centură de 12 triunghiuri.

Enumerare[modificare | modificare sursă]

Piramide, cupole și rotonde[modificare | modificare sursă]

Primele 6 poliedre Johnson sunt piramide, cupole sau rotonde cu cel mult 5 fețe laterale. Piramidele și cupolele cu 6 sau mai multe fețe laterale sunt coplanare și, prin urmare, nu sunt poliedre Johnson.

Piramide[modificare | modificare sursă]

Primele două poliedre Johnson, J1 și J2, sunt piramide. Piramida triunghiulară este tetraedrul regulat, deci nu este un poliedru Johnson. J1 și J2 reprezintă părți ale poliedrelor regulate.

Regulat J1 J2
Piramidă triunghiulară
(Tetraedru)
Piramidă pătrată Piramidă pentagonală
Tetrahedron.png Square pyramid.png Pentagonal pyramid.png
Tetrahedron flat.svg Johnson solid 1 net.png Johnson solid 2 net.png
Poliedre regulate conexe
Tetraedru Octaedru Icosaedru
Tetrahedron.png Octahedron.png Icosahedron.png

Cupole și rotonde[modificare | modificare sursă]

Următoarele patru poliedre Johnson sunt trei cupole și o rotondă. Ele sunt părți ale poliedrelor uniforme.

Cupolă Rotondă
Uniforme J3 J4 J5 J6
Fastigium
(Cupolă digonală)
(Prismă triunghiulară)
Cupolă triunghiulară Cupolă pătrată Cupolă pentagonală Rotondă pentagonală
Triangular prism wedge.png Triangular cupola.png Square cupola.png Pentagonal cupola.png Pentagonal rotunda.png
Johnson solid 3 net.png Johnson solid 4 net.png Johnson solid 5 net.png Johnson solid 6 net.png
Poliedre uniforme conexe
Cuboctaedru Rombicuboctaedru Rombicosidodecaedru Icosidodecaedru
Cuboctahedron.png Small rhombicuboctahedron.png Small rhombicosidodecahedron.png Icosidodecahedron.png

Piramide modificate[modificare | modificare sursă]

Poliedrele Johnson 7–17 sunt derivate din piramide.

Piramide alungite și giroalungite[modificare | modificare sursă]

În piramida triunghiulară giroalungită, trei perechi de triunghiuri adiacente sunt coplanare și formează câte un romb nepătrat, deci nu este un poliedru Johnson.

Piramide alungite Piramide giroalungite
J7 J8 J9 Coplanar J10 J11
Piramidă triunghiulară alungită Piramidă pătrată alungită Piramidă pentagonală alungită Piramidă triunghiulară giroalungită
(trapezoedru trigonal diminuat)
Piramidă pătrată giroalungită Piramidă pentagonală giroalungită
Elongated triangular pyramid.png Elongated square pyramid.png Elongated pentagonal pyramid.png Augmented octahedron.png Gyroelongated square pyramid.png Gyroelongated pentagonal pyramid.png
Johnson solid 7 net.png Johnson solid 8 net.png Johnson solid 9 net.png Augmented octahedgon net.png Johnson solid 10 net.png Johnson solid 11 net.png
Augmentate de la poliedrele
tetraedru
prismă triunghiulară
piramidă pătrată
cub
piramidă pentagonală
prismă pentagonală
tetraedru
octaedru
piramidă pătrată
antiprismă pătrată
piramidă pentagonală
antiprismă pentagonală
Tetrahedron.png Triangular prism.png Square pyramid.png Hexahedron.png Pentagonal pyramid.png Pentagonal prism.png Tetrahedron.png Octahedron.png Square pyramid.png Square antiprism.png Pentagonal pyramid.png Pentagonal antiprism.png

Bipiramide[modificare | modificare sursă]

Bipiramida pătrată este octaedrul regulat, în timp ce bipiramida pentagonală giroalungită este icosaedrul regulat, deci nu sunt solide Johnson. În bipiramida triunghiulară giroalungită șase perechi de triunghiuri adiacente sunt coplanare și formează romburi nepătrate, deci, de asemenea, nu este un solid Johnson.

Bipiramide Bipiramide alungite Bipiramide giroalungite
J12 Regulat J13 J14 J15 J16 Coplanar J17 Regulat
Bipiramidă triunghiulară Bipiramidă pătrată
(octaedru)
Bipiramidă pentagonală Bipiramidă triunghiulară alungită Bipiramidă pătrată alungită Bipiramidă pentagonală alungită Bipiramidă triunghiulară giroalungită
(trapezoedru trigonal)
Bipiramidă pătrată giroalungită Bipiramidă pentagonală giroalungită
(icosaedru)
Triangular dipyramid.png Octahedron.png Pentagonal dipyramid.png Elongated triangular dipyramid.png Elongated square dipyramid.png Elongated pentagonal dipyramid.png Gyroelongated triangular bipyramid.png Gyroelongated square dipyramid.png Pentagonal gyroelongated bipyramid.png
Johnson solid 12 net.png Octahedron flat.svg Johnson solid 13 net.png Johnson solid 14 net.png Johnson solid 15 net.png Johnson solid 16 net.png Johnson solid 17 net.png Icosahedron flat.svg
Augmentate de la poliedrele
tetraedru piramidă pătrată piramidă pentagonală tetraedru
prismă triunghiulară
piramidă pătrată
cub
piramidă pentagonală
prismă pentagonală
tetraedru
octaedru
piramidă pătrată
antiprismă pătrată
piramidă pentagonală
antiprismă pentagonală
Tetrahedron.png Square pyramid.png Pentagonal pyramid.png Tetrahedron.png Triangular prism.png Square pyramid.png Hexahedron.png Pentagonal pyramid.png Pentagonal prism.png Tetrahedron.png Octahedron.png Square pyramid.png Square antiprism.png Pentagonal pyramid.png Pentagonal antiprism.png

Cupole și rotonde modificate[modificare | modificare sursă]

Poliedrele Johnson 18–48 derivă din cupole și rotonde.

Cupole și rotonde alungite și giroalungite[modificare | modificare sursă]

Cupole alungite Rotondă alungită Cupole giroalungite Rotondă giroalungită
Coplanar J18 J19 J20 J21 Concav J22 J23 J24 J25
Fastigium alungit Cupolă triunghiulară alungită Cupolă pătrată alungită Cupolă pentagonală alungită Rotondă pentagonală alungită Fastigium giroalungit Cupolă triunghiulară giroalungită Cupolă pătrată giroalungită Cupolă pentagonală giroalungită Rotondă pentagonală giroalungită
Elongated digonal cupola.png Elongated triangular cupola.png Elongated square cupola.png Elongated pentagonal cupola.svg Elongated pentagonal rotunda.png Gyroelongated digonal cupola.png Gyroelongated triangular cupola.png Gyroelongated square cupola.png Gyroelongated pentagonal cupola.png Gyroelongated pentagonal rotunda.png
Johnson solid 18 net.png Johnson solid 19 net.png Johnson solid 20 net.png Johnson solid 21 net.png Johnson solid 22 net.png Johnson solid 23 net.png Johnson solid 24 net.png Johnson solid 25 net.png
Augmentate de la poliedrele
Prismă pătrată
Prismă triunghiulară
Prismă hexagonală
Cupolă triunghiulară
Prismă octogonală
Cupolă pătrată
Prismă decagonală
Cupolă pentagonală
Prismă decagonală
Rotondă pentagonală
Antiprismă pătrată
Prismă triunghiulară
Antiprismă hexagonală
Cupolă triunghiulară
Antiprismă octogonală
Cupolă pătrată
Antiprismă decagonală
Cupolă pentagonală
Antiprismă decagonală
Rotondă pentagonală
Tetragonal prism.png Triangular prism.png Hexagonal prism.png Triangular cupola.png Octagonal prism.png Square cupola.png Decagonal prism.png Pentagonal cupola.png Decagonal prism.png Pentagonal rotunda.png Square antiprism.png Triangular prism.png Hexagonal antiprism.png Triangular cupola.png Octagonal antiprism.png Square cupola.png Decagonal antiprism.png Pentagonal cupola.png Decagonal antiprism.png Pentagonal rotunda.png

Bicupole[modificare | modificare sursă]

Girobicupola triunghiulară este un poliedru arhimedic (în acest caz cuboctaedrul), deci nu este un poliedru Johnson.

Ortobicupole Girobicupole
Coplanar J27 J28 J30 J26 Semiregulat J29 J31
Ortobifastigium Ortobicupolă triunghiulară Ortobicupolă pătrată Ortobicupolă pentagonală Girobifastigium Girobicupolă triunghiulară
(cuboctaedru)
Girobicupolă pătrată Girobicupolă pentagonală
Digonal orthobicupola.png Triangular orthobicupola.png Square orthobicupola.png Pentagonal orthobicupola.png Gyrobifastigium.png Cuboctahedron.png Square gyrobicupola.png Pentagonal gyrobicupola.png
Johnson solid 27 net.png Johnson solid 28 net.png Johnson solid 30 net.png Johnson solid 26 net.png Cuboctahedron flat.svg Johnson solid 29 net.png Johnson solid 31 net.png
Augmentate de la poliedrele
Prismă triunghiulară Cupolă triunghiulară Cupolă pătrată Cupolă pentagonală Prismă triunghiulară Cupolă triunghiulară Cupolă pătrată Cupolă pentagonală
Triangular prism.png Triangular cupola.png Square cupola.png Pentagonal cupola.png Triangular prism.png Triangular cupola.png Square cupola.png Pentagonal cupola.png

Cupole-rotonde și birotonde[modificare | modificare sursă]

Girobirotonda pentagonală este un poliedru arhimedic (în acest caz icosidodecaedrul), deci nu este un poliedru Johnson.

Cupole-rotonde Birotonde
J32 J33 J34 Semiregulat
Ortocupolărotondă pentagonală Girocupolărotondă pentagonală Ortobirotondă pentagonală Girobirotondă pentagonală
(icosidodecaedru)
Pentagonal orthocupolarotunda.png Pentagonal gyrocupolarotunda.png Pentagonal orthobirotunda.png Icosidodecahedron.png
Johnson solid 32 net.png Johnson solid 33 net.png Johnson solid 34 net.png Icosidodecahedron flat.svg
Augmentate de la poliedrele
Cupole pentagonale
Rotonde pentagonale
Rotonde pentagonale
Pentagonal cupola.png Pentagonal rotunda.png Pentagonal rotunda.png

Bicupole alungite[modificare | modificare sursă]

Ortobicupola pătrată alungită este un poliedru arhimedic (în acest caz rombicuboctaedrul), deci nu este un poliedru Johnson.

Ortobicupole alungite Girobicupole alungite
Coplanar J35 Semiregulat J38 Coplanar J36 J37 J39
Ortobifastigium Ortobicupolă triunghiulară alungită Ortobicupola pătrată alungită
(rombicuboctaedru)
Ortobicupolă pentagonală alungită Girobifastigium alungit Girobicupolă triunghiulară alungită Girobicupolă pătrată alungită Girobicupolă pentagonală alungită
Elongated digonal orthobicupola.png Elongated triangular orthobicupola.png Small rhombicuboctahedron.png Elongated pentagonal orthobicupola.png Elongated digonal gyrobicupola.png Elongated triangular gyrobicupola.png Elongated square gyrobicupola.png Elongated pentagonal gyrobicupola.png
Johnson solid 35 net.png Rhombicuboctahedron flat.png Johnson solid 38 net.png Johnson solid 36 net.png Johnson solid 37 net.png Johnson solid 39 net.png
Augmentate de la poliedrele
Prismă pătrată
Prismă triunghiulară
Prismă hexagonală
Cupolă triunghiulară
Prismă octogonală
Cupolă pătrată
Prismă decagonală
Cupolă pentagonală
Prismă pătrată
Prismă triunghiulară
Prismă hexagonală
Cupolă triunghiulară
Prismă octogonală
Cupolă pătrată
Prismă decagonală
Cupolă pentagonală
Tetragonal prism.png Triangular prism.png Hexagonal prism.png Triangular cupola.png Octagonal prism.png Square cupola.png Decagonal prism.png Pentagonal cupola.png Tetragonal prism.png Triangular prism.png Hexagonal prism.png Triangular cupola.png Octagonal prism.png Square cupola.png Decagonal prism.png Pentagonal cupola.png

Cupole-rotonde și birotonde alungite[modificare | modificare sursă]

Cupole-rotonde alungite Birotonde alungite
J40 J41 J42 J43
Ortocupolărotondă pentagonală alungită Girocupolărotondă pentagonală alungită Ortobirotondă pentagonală alungită Girobirotondă pentagonală alungită
Elongated pentagonal orthocupolarotunda.png Elongated pentagonal gyrocupolarotunda.png Elongated pentagonal orthobirotunda.png Elongated pentagonal gyrobirotunda.png
Johnson solid 40 net.png Johnson solid 41 net.png Johnson solid 42 net.png Johnson solid 43 net.png
Augmentate de la poliedrele
Prisme decagonale
Cupole pentagonală
Rotondă pentagonală
Prismă decagonală
Rotondă pentagonală
Decagonal prism.png Pentagonal cupola.png Pentagonal rotunda.png Decagonal prism.png Pentagonal rotunda.png

Bicupole giroalungite, cupole-rotonde și birotonde[modificare | modificare sursă]

Aceste poliedre Johnson au două forme chirale.

Bicupole giroalungite Cupolă-rotondă giroalungită Birotondă giroalungită
Concav J44 J45 J46 J47 J48
Bifastigium giroalungit Bicupolă triunghiulară giroalungită Bicupolă pătrată giroalungită Bicupolă pentagonală giroalungită Cupolărotondă pentagonală giroalungită Birotondă pentagonală giroalungită
Gyroelongated digonal bicupola.png Gyroelongated triangular bicupola.png Gyroelongated square bicupola.png Gyroelongated pentagonal bicupola.png Gyroelongated pentagonal cupolarotunda.png Gyroelongated pentagonal birotunda.png
Johnson solid 44 net.png Johnson solid 45 net.png Johnson solid 46 net.png Johnson solid 47 net.png Johnson solid 48 net.png
Augmentate de la poliedrele
Prismă triunghiulară
Antiprismă pătrată
Cupolă triunghiulară
Antiprismă hexagonală
Cupolă pătrată
Antiprismă octogonală
Cupolă pentagonală
Antiprismă decagonală
Cupolă pentagonală
Rotondă pentagonală
Antiprismă decagonală
Rotondă pentagonală
Antiprismă decagonală
Triangular prism.png Square antiprism.png Triangular cupola.png Hexagonal antiprism.png Square cupola.png Octagonal antiprism.png Pentagonal cupola.png Decagonal antiprism.png Pentagonal cupola.png Pentagonal rotunda.png Decagonal antiprism.png Pentagonal rotunda.png Decagonal antiprism.png

Prisme augmentate[modificare | modificare sursă]

Poliedrele Johnson 49–57 sunt construite prin augmentarea fețelor laterale ale prismelor cu piramide pătrate.

Prisme triunghiulare augmentate Prisme pentagonale augmentate Prisme hexagonale augmentate
J49 J50 J51 J52 J53 J54 J55 J56 J57
Prismă triunghiulară augmentată Prismă triunghiulară biaugmentată Prismă triunghiulară triaugmentată Prismă pentagonală augmentată Prismă pentagonală biaugmentată Prismă hexagonală augmentată Prismă hexagonală parabiaugmentată Prismă hexagonală metabiaugmentată Prismă hexagonală triaugmentată
Augmented triangular prism.png Biaugmented triangular prism.png Triaugmented triangular prism.png Augmented pentagonal prism.png Biaugmented pentagonal prism.png Augmented hexagonal prism.png Parabiaugmented hexagonal prism.png Metabiaugmented hexagonal prism.png Triaugmented hexagonal prism.png
Johnson solid 49 net.png Johnson solid 50 net.png Johnson solid 51 net.png Johnson solid 52 net.png Johnson solid 53 net.png Johnson solid 54 net.png Johnson solid 55 net.png Johnson solid 56 net.png Johnson solid 57 net.png
Augmentate de la poliedrele
Prisme triunghiulare
Piramide pătrate
Prisme pentagonale
Piramide pătrate
Prisme hexagonale
Piramide pătrate
Triangular prism.png Square pyramid.png Pentagonal prism.png Square pyramid.png Hexagonal prism.png Square pyramid.png

Poliedre platonice modificate[modificare | modificare sursă]

Poliedrele Johnson 58–64 sunt construite prin augmentarea sau diminuarea poliedrelor platonice.

Dodecaedre augmentate[modificare | modificare sursă]

J58 J59 J60 J61
Dodecaedru augmentat Dodecaedru parabiaugmentat Dodecaedru metabiaugmentat Dodecaedru triaugmentat
Augmented dodecahedron.png Parabiaugmented dodecahedron.png Metabiaugmented dodecahedron.png Triaugmented dodecahedron.png
Johnson solid 58 net.png Johnson solid 59 net.png Johnson solid 60 net.png Johnson solid 61 net.png
Augmentate de la poliedrele
Dodecaedru și piramidă pentagonală
Dodecahedron.png Pentagonal pyramid.png

Icosaedre diminuate și diminuate–augmentate[modificare | modificare sursă]

Icosaedre diminuate Icosaedru tridiminuat augmentat
J11
(Repetat)
Uniform J62 J63 J64
Icosaedru diminuat
(Piramidă pentagonală giroalungită)
Icosaedru parabidiminuat
(Antiprismă pentagonală)
Icosaedru metabidiminuat Icosaedru tridiminuat Icosaedru tridiminuat augmentat
Gyroelongated pentagonal pyramid.png Pentagonal antiprism.png Metabidiminished icosahedron.png Tridiminished icosahedron.png Augmented tridiminished icosahedron.png
Johnson solid 11 net.png Johnson solid 62 net.png Johnson solid 63 net.png Johnson solid 64 net.png

Poliedre arhimedice modificate[modificare | modificare sursă]

Poliedrele Johnson 65–83 sunt construite prin augmentarea, diminuarea sau girarea poliedrelor arhimedice.

Poliedre arhimedice augmentate[modificare | modificare sursă]

Tetraedru trunchiat augmentat Cuburi trunchiate augmentate Dodecaedre trunchiate augmentate
J65 J66 J67 J68 J69 J70 J71
Tetraedru trunchiat augmentat Cub trunchiat augmentat Cub trunchiat biaugmentat Dodecaedru trunchiat augmentat Dodecaedru trunchiat parabiaugmentat Dodecaedru trunchiat metabiaugmentat Dodecaedru trunchiat triaugmentat
Augmented truncated tetrahedron.png Augmented truncated cube.png Biaugmented truncated cube.png Augmented truncated dodecahedron.png Parabiaugmented truncated dodecahedron.png Metabiaugmented truncated dodecahedron.png Triaugmented truncated dodecahedron.png
Johnson solid 65 net.png Johnson solid 66 net.png Johnson solid 67 net.png Johnson solid 68 net.png Johnson solid 69 net.png Johnson solid 70 net.png Johnson solid 71 net.png
Augmentate de la poliedrele
tetraedru trunchiat
cupolă triunghiulară
cub trunchiat
cupolă pătrată
dodecaedru trunchiat
cupolă pentagonală
Truncated tetrahedron.png Triangular cupola.png Truncated hexahedron.png Square cupola.png Truncated dodecahedron.png Pentagonal cupola.png

Rombicosidodecaedre diminuate girate[modificare | modificare sursă]

Rombicosidodecaedre girate
J72 J73 J74 J75
Rombicosidodecaedru girat Rombicosidodecaedru parabigirat Rombicosidodecaedru metabigirat Rombicosidodecaedru trigirat
Gyrate rhombicosidodecahedron.png Parabigyrate rhombicosidodecahedron.png Metabigyrate rhombicosidodecahedron.png Trigyrate rhombicosidodecahedron.png
Johnson solid 72 net.png Johnson solid 73 net.png Johnson solid 74 net.png Johnson solid 75 net.png
Rombicosidodecaedre diminuate
J76 J80 J81 J83
Rombicosidodecaedru diminuat Rombicosidodecaedru parabidiminuat Rombicosidodecaedru metabidiminuat Rombicosidodecaedru tridiminuat
Diminished rhombicosidodecahedron.png Parabidiminished rhombicosidodecahedron.png Metabidiminished rhombicosidodecahedron.png Tridiminished rhombicosidodecahedron.png
Johnson solid 76 net.png Johnson solid 80 net.png Johnson solid 81 net.png Johnson solid 83 net.png
Rombicosidodecaedre diminuate girate
J77 J78 J79 J82
Rombicosidodecaedru diminuat paragirat Rombicosidodecaedru diminuat metagirat Rombicosidodecaedru diminuat bigirat Rombicosidodecaedru bidiminuat girat
Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron.png Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron.png Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron.png Gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron.png
Johnson solid 77 net.png Johnson solid 78 net.png Johnson solid 79 net.png Johnson solid 82 net.png

J37 ar apărea și aici ca duplicat (este un rombicuboctaedru girat).

Alte poliedre arhimedice diminuate și girate[modificare | modificare sursă]

Alte poliedre arhimedice pot fi girate și diminuate, dar toate au ca rezultat poliedrele enumerate anterior.

J27 J3 J34 J6 J37 J19 Uniform
Cuboctaedru girat
(ortobicupolă triunghiulară)
Cuboctaedru diminuat
(cupolă triunghiulară)
Icosidodecaedru girat
(ortobirotondă pentagonală)
Icosidodecaedru diminuat
(rotondă pentagonală)
Rombicuboctaedru girat
(girobicupolă pătrată alungită)
Rombicuboctaedru diminuat
(cupolă pătrată alungită)
Rombicuboctaedru bidiminuat
(prismă octogonală)
Triangular orthobicupola.png Triangular cupola.png Pentagonal orthobirotunda.png Pentagonal rotunda.png Elongated square gyrobicupola.png Elongated square cupola.png Octagonal prism.png
Johnson solid 27 net.png Johnson solid 3 net.png Johnson solid 34 net.png Johnson solid 6 net.png Johnson solid 37 net.png Johnson solid 19 net.png
Girate sau diminuate de la poliedrele
Cuboctaedru Icosidodecaedru Rombicuboctaedru
Cuboctahedron.png Icosidodecahedron.png Small rhombicuboctahedron.png

Poliedre elementare[modificare | modificare sursă]

Poliedrele Johnson 84–92 nu sunt derivate din manipulările „tăiat și lipit” ale poliedrelor uniforme.

Antiprisme snub[modificare | modificare sursă]

Antiprismele snub pot fi construite prin alternarea antiprismelor trunchiate. Girobianticupolele sunt o altă construcție pentru antiprismele snub. Doar antiprismele snub cu cel mult 4 fețe pot fi construite din poligoane regulate. Antiprisma triunghiulară snub este icosaedrul regulat, deci nu este un poliedru Johnson.

J84 Regulat J85
Bisfenoid snub
ss{2,4}
Icosaedru
ss{2,6}
Antiprismă pătrată snub
ss{2,8}
Girobianticupolă digonală Girobianticupolă triunghiulară Girobianticupolă pătrată
Snub digonal antiprism.png Snub triangular antiprism.png Snub square antiprism colored.png
Snub disphenoid net snubcoloring.png Snub triangular antiprism net.png Snub square antiprism net snubcoloring.png

Altele[modificare | modificare sursă]

J86 J87 J88
Sfenocoroană Sfenocoroană augmentată Sfenomegacoroană
Sphenocorona.png Augmented sphenocorona.png Sphenomegacorona.png
Johnson solid 86 net.png Johnson solid 87 net.png Johnson solid 88 net.png
J89 J90 J91 J92
Hebesfenomegacoroană Bisfenocingulum Bilunăbirotondă Hebesfenorotondă triunghiulară
Hebesphenomegacorona.png Disphenocingulum.png Bilunabirotunda.png Triangular hebesphenorotunda.png
Johnson solid 89 net.png Johnson solid 90 net.png Johnson solid 91 net.png Johnson solid 92 net.png

Clasificarea după tipul fețelor[modificare | modificare sursă]

Poliedre Johnson cu fețe triunghiulare[modificare | modificare sursă]

Cinci poliedre Johnson sunt deltaedre, având toate fețele triunghiuri echilaterale:

J12 Triangular dipyramid.png Bipiramidă triunghiulară
J13 Pentagonal dipyramid.png Bipiramidă pentagonală
J17 Gyroelongated square dipyramid.png Bipiramidă pătrată giroalungită
J51 Triaugmented triangular prism.png Prismă triunghiulară triaugmentată
J84 Snub disphenoid.png Bisfenoid snub

Poliedre Johnson cu fețe triunghiulare și pătrate[modificare | modificare sursă]

Douăzeci și patru de poliedre Johnson au doar fețe triunghiulare și pătrate:

J1   Square pyramid.png Piramidă pătrată
J7   Elongated triangular pyramid.png Piramidă triunghiulară alungită
J8   Elongated square pyramid.png Piramidă pătrată alungită
J10 Gyroelongated square pyramid.png Piramidă pătrată giroalungită
J14 Elongated triangular dipyramid.png Bipiramidă triunghiulară alungită
J15 Elongated square dipyramid.png Bipiramidă pătrată alungită
J16 Elongated pentagonal dipyramid.png Bipiramidă pentagonală alungită
J26 Gyrobifastigium.png Girobifastigium
J27 Triangular orthobicupola.png Ortobicupolă triunghiulară
J28 Square orthobicupola.png Ortobicupolă pătrată
J29 Square gyrobicupola.png Girobicupolă pătrată
J35 Elongated triangular orthobicupola.png Ortobicupolă triunghiulară alungită
J36 Elongated triangular gyrobicupola.png Girobicupolă triunghiulară alungită
J37 Elongated square gyrobicupola.png Girobicupolă pătrată alungită
J44 Gyroelongated triangular bicupola.png Bicupolă triunghiulară giroalungită
J45 Gyroelongated square bicupola.png Bicupolă pătrată giroalungită
J49 Augmented triangular prism.png Prismă triunghiulară augmentată
J50 Biaugmented triangular prism.png Prismă triunghiulară biaugmentată
J85 Snub square antiprism.png Antiprismă pătrată snub
J86 Sphenocorona.png Sfenocoroană
J87 Augmented sphenocorona.png Sfenocoroană augmentată
J88 Sphenomegacorona.png Sfenomegacoroană
J89 Hebesphenomegacorona.png Hebesfenomegacoroană
J90 Disphenocingulum.png Bisfenocingulum

Poliedre Johnson cu fețe triunghiulare și pentagonale[modificare | modificare sursă]

Unsprezece poliedre Johnson au doar fețe triunghiulare și pentagonale:

J2   Pentagonal pyramid.png Piramidă pentagonală
J11 Gyroelongated pentagonal pyramid.png Piramidă pentagonală giroalungită
J34 Pentagonal orthobirotunda.png Ortobirotondă pentagonală
J48 Gyroelongated pentagonal birotunda.png Birotondă pentagonală giroalungită
J58 Augmented dodecahedron.png Dodecaedru augmentat
J59 Parabiaugmented dodecahedron.png Dodecaedru parabiaugmentat
J60 Metabiaugmented dodecahedron.png Dodecaedru metabiaugmentat
J61 Triaugmented dodecahedron.png Dodecaedru triaugmentat
J62 Metabidiminished icosahedron.png Icosaedru metabidiminuat
J63 Tridiminished icosahedron.png Icosaedru tridiminuat
J64 Augmented tridiminished icosahedron.png Icosaedru tridiminuat augmentat

Poliedre Johnson cu fețe triunghiulare, pătrate și pentagonale[modificare | modificare sursă]

Douăzeci de poliedre Johnson au doar fețe triunghiulare, pătrate și pentagonale:

J9   Elongated pentagonal pyramid.png Piramidă pătrată giroalungită
J30 Pentagonal orthobicupola.png Ortobicupolă pentagonală
J31 Pentagonal gyrobicupola.png Girobicupolă pentagonală
J32 Pentagonal orthocupolarotunda.png Ortocupolărotondă pentagonală
J33 Pentagonal gyrocupolarotunda.png Girocupolărotondă pentagonală
J38 Elongated pentagonal orthobicupola.png Ortobicupolă pentagonală alungită
J39 Elongated pentagonal gyrobicupola.png Girobicupolă pentagonală alungită
J40 Elongated pentagonal orthocupolarotunda.png Ortocupolărotondă pentagonală alungită
J41 Elongated pentagonal gyrocupolarotunda.png Girocupolărotondă pentagonală alungită
J42 Elongated pentagonal orthobirotunda.png Ortobirotondă pentagonală alungită
J43 Elongated pentagonal gyrobirotunda.png Girobirotondă pentagonală alungită
J46 Gyroelongated pentagonal bicupola.png Bicupolă pentagonală giroalungită
J47 Gyroelongated pentagonal cupolarotunda.png Cupolărotondă pentagonală giroalungită
J52 Augmented pentagonal prism.png Prismă pentagonală augmentată
J53 Biaugmented pentagonal prism.png Prismă pentagonală biaugmentată
J72 Gyrate rhombicosidodecahedron.png Rombicosidodecaedru girat
J73 Parabigyrate rhombicosidodecahedron.png Rombicosidodecaedru parabigirat
J74 Metabigyrate rhombicosidodecahedron.png Rombicosidodecaedru metabigirat
J75 Trigyrate rhombicosidodecahedron.png Rombicosidodecaedru trigirat
J91 Bilunabirotunda.png Bilunăbirotondă

Poliedre Johnson cu fețe triunghiulare, pătrate și hexagonale[modificare | modificare sursă]

Opt poliedre Johnson au doar fețe triunghiulare, pătrate și hexagonale:

J3   Triangular cupola.png Cupolă triunghiulară
J18 Elongated triangular cupola.png Cupolă triunghiulară alungită
J22 Gyroelongated triangular cupola.png Cupolă triunghiulară giroalungită
J54 Augmented hexagonal prism.png Prismă hexagonală augmentată
J55 Parabiaugmented hexagonal prism.png Prismă hexagonală parabiaugmentată
J56 Metabiaugmented hexagonal prism.png Prismă hexagonală metabiaugmentată
J57 Triaugmented hexagonal prism.png Prismă hexagonală triaugmentată
J65 Augmented truncated tetrahedron.png Tetraedru trunchiat augmentat

Poliedre Johnson cu fețe triunghiulare, pătrate și octogonale[modificare | modificare sursă]

Cinci poliedre Johnson au doar fețe triunghiulare, pătrate și octogonale:

J4   Square cupola.png Cupolă pătrată
J19 Elongated square cupola.png Cupolă pătrată alungită
J23 Gyroelongated square cupola.png Cupolă pătrată giroalungită
J66 Augmented truncated cube.png Cub trunchiat augmentat
J67 Biaugmented truncated cube.png Cub trunchiat biaugmentat

Poliedre Johnson cu fețe triunghiulare, pentagonale și decagonale[modificare | modificare sursă]

Două poliedre Johnson au doar fețe triunghiulare, pătrate și decagonale:

J6   Pentagonal rotunda.png Rotondă pentagonală
J25 Gyroelongated pentagonal rotunda.png Rotondă pentagonală giroalungită

Poliedre Johnson cu fețe triunghiulare, pătrate, pentagonale și hexagonale[modificare | modificare sursă]

Un singur poliedru Johnson are fețe triunghiulare, pătrate pentagonale și hexagonale:

J92 Triangular hebesphenorotunda.png Hebesfenorotondă triunghiulară

Poliedre Johnson cu fețe triunghiulare, pătrate, pentagonale și decagonale[modificare | modificare sursă]

Șaisprezece poliedre Johnson au doar fețe triunghiulare, pătrate pentagonale și decagonale:

J5   Pentagonal cupola.png Cupolă pentagonală
J20 Elongated pentagonal cupola.png Cupolă pentagonală alungită
J21 Elongated pentagonal rotunda.png Rotondă pentagonală alungită
J24 Gyroelongated pentagonal cupola.png Cupolă pentagonală giroalungită
J68 Augmented truncated dodecahedron.png Dodecaedru trunchiat augmentat
J69 Parabiaugmented truncated dodecahedron.png Dodecaedru trunchiat parabiaugmentat
J70 Metabiaugmented truncated dodecahedron.png Dodecaedru trunchiat metabiaugmentat
J71 Triaugmented truncated dodecahedron.png Triaugmented truncated dodecaedru
J76 Diminished rhombicosidodecahedron.png Rombicosidodecaedru diminuat
J77 Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron.png Rombicosidodecaedru diminuat paragirat
J78 Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron.png Rombicosidodecaedru diminuat metagirat
J79 Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron.png Rombicosidodecaedru diminuat bigirat
J80 Parabidiminished rhombicosidodecahedron.png Rombicosidodecaedru parabidiminuat
J81 Metabidiminished rhombicosidodecahedron.png Rombicosidodecaedru metabidiminuat
J82 Gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron.png Rombicosidodecaedru bidiminuat girat
J83 Tridiminished rhombicosidodecahedron.png Rombicosidodecaedru tridiminuat

Poliedre Johnson inscriptibile[modificare | modificare sursă]

25 de poliedre Johnson au vârfurile pe suprafața unei sfere: 1–6,11,19,27,34,37,62,63,72–83. Toate acestea provin din câte un poliedru regulat sau uniform prin girare, diminuare sau disecție.[4]

Octaedru Cuboctaedre Rombicuboctaedre
J1
Square pyramid.png
J3
Triangular cupola.png
J27
Triangular orthobicupola.png
J4
Square cupola.png
J19
Elongated square cupola.png
J37
Elongated square gyrobicupola.png
Icosaedre Icosidodecaedre
J2
Pentagonal pyramid.png
J11
Gyroelongated pentagonal pyramid.png
J62
Metabidiminished icosahedron.png
J63
Tridiminished icosahedron.png
J6
Pentagonal rotunda.png
J34
Pentagonal orthobirotunda.png
Rombicosidodecaedre
J5
Pentagonal cupola.png
J72
Gyrate rhombicosidodecahedron.png
J73
Parabigyrate rhombicosidodecahedron.png
J74
Metabigyrate rhombicosidodecahedron.png
J75
Trigyrate rhombicosidodecahedron.png
J76
Diminished rhombicosidodecahedron.png
J77
Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron.png
J78
Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron.png
J79
Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron.png
J80
Parabidiminished rhombicosidodecahedron.png
J81
Metabidiminished rhombicosidodecahedron.png
J82
Gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron.png
J83
Tridiminished rhombicosidodecahedron.png

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ ru Zalgaller, Victor A. (). „Выпуклые многогранники с правильными гранями”. Zap. Nauchn. Semin. Leningr. Otd. Mat. Inst. Steklova. 2: 1–221. ISSN 0373-2703. Zbl 0165.56302.  Prima demonstrație că există doar 92 de poliedre Johnson. Traduce în engleză: en Zalgaller, Victor A. (). „Convex Polyhedra with Regular Faces”. Seminars in Mathematics, V. A. Steklov Math. Inst., Leningrad. Consultants Bureau. 2. ISSN 0080-8873. Zbl 0177.24802. 
  2. ^ en GWH. „Pseudo Rhombicuboctahedra”. www.georgehart.com. Accesat în . 
  3. ^ en George Hart (quoting Johnson) (). „Johnson Solids”. Virtual Polyhedra. Accesat în . 
  4. ^ en Klitzing, Dr. Richard. „Johnson solids et al”. bendwavy.org. Accesat în . 

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]