Pavare apeirogonală de ordinul 4

Descriere
Pavare apeirogonală de ordinul 4

Pe modelul discului Poincaré al planului hiperbolic
Tip	pavare uniformă hiperbolică
Configurația vârfului	∞⁴
Simbol Wythoff	4 \| ∞ 2 2 \| ∞ ∞ ∞ ∞ \| ∞
Simbol Schläfli	{∞,4} r{∞,∞} t(∞,∞,∞) t_0,1,2,3(∞,∞,∞,∞)
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	[∞,4], (∞42) [∞,∞], (∞∞2) [(∞,∞,∞)], (∞∞∞) (∞∞∞∞)
Grup de rotație	[∞,4]⁺, (∞42) [∞,∞]⁺, (∞∞2) [(∞,∞,∞)]⁺, (∞∞∞) (∞∞∞∞)
Poliedru dual	pavare pătrată de ordin infinit
Proprietăți	tranzitivă pe vârfuri, laturi și fețe

În geometrie pavarea apeirogonală de ordinul 4 este o pavare regulată a planului hiperbolic. Este reprezentată de simbolul Schläfli {∞,4}, având patru apeirogoane în jurul fiecărui vârf. Fiecare apeirogon este înscris într-un oriciclu.

Simetrie[modificare | modificare sursă]

Pavarea din imaginea din stânga reprezintă liniile de oglindire ale simetriei *2^∞. Duala acesteia reprezintă domeniile fundamentale ale simetriei cu notației orbifold *∞∞∞∞, un domeniu pătrat cu patru vârfuri ideale.

Colorări uniforme[modificare | modificare sursă]

La fel ca la pavările planului euclidian, există 9 colorări uniforme ale pavării apeirogonale de ordinul 4, cu trei colorări uniforme generate de domeniile de reflexie ale grupului triunghiului^⁠(d). O a patra poate fi construită dintr-o simetrie pătrată infinită (*∞∞∞∞) cu 4 culori în jurul unui vârf. Colorarea de tip tablă de șah, r{∞,∞}, definește domeniile fundamentale ale simetriei [(∞,4,4)], (*∞44), de obicei prezentate ca domenii alb-negru ale orientărilor reflectate.

culoarea 1	culoarea 2	culorile 3 și 2		culorile 4, 3 și 2
[∞,4], (*∞42)	[∞,∞], (*∞∞2)	[(∞,∞,∞)], (*∞∞∞)		(*∞∞∞∞)
{∞,4}	r{∞,∞} = {∞,4}¹⁄₂	t_0,2(∞,∞,∞) = r{∞,∞}¹⁄₂		t_0,1,2,3(∞,∞,∞,∞) = r{∞,∞}¹⁄₄ = {∞,4}¹⁄₈
(1111)	(1212)	(1213)	(1112)	(1234)	(1123)	(1122)
	=	= =		= =

Poliedre și pavări înrudite[modificare | modificare sursă]

Această pavare este legată topologic ca parte a secvenței de poliedre regulate și pavări cu patru fețe pe vârf, pornind de la octaedru, cu simbolul Schläfli {n,4} și diagrama Coxeter , cu $n$ mergând până la infinit.

Variante de pavări regulate cu simetria *n42: {n,4}
Sferice		Euclidiană	Pavări hiperbolice

2⁴	3⁴	4⁴	5⁴	6⁴	7⁴	8⁴	...∞⁴

Pavări uniforme paracompacte din familia [∞,4]


{∞,4}	t{∞,4}	r{∞,4}	2t{∞,4}=t{4,∞}	2r{∞,4}={4,∞}	rr{∞,4}	tr{∞,4}
Figuri duale


V∞⁴	V4.∞.∞	V(4.∞)²	V8.8.∞	V4^∞	V4³.∞	V4.8.∞
Alternări
[1⁺,∞,4] (*44∞)	[∞⁺,4] (∞*2)	[∞,1⁺,4] (*2∞2∞)	[∞,4⁺] (4*∞)	[∞,4,1⁺] (*∞∞2)	[(∞,4,2⁺)] (2*2∞)	[∞,4]⁺ (∞42)
=				=
h{∞,4}	s{∞,4}	hr{∞,4}	s{4,∞}	h{4,∞}	hrr{∞,4}	s{∞,4}

Duale alternate


V(∞.4)⁴	V3.(3.∞)²	V(4.∞.4)²	V3.∞.(3.4)²	V∞^∞	V∞.4⁴	V3.3.4.3.∞

Pavări uniforme paracompacte din familia [∞,∞]
= =	= =	= =	= =	= =	=	=

{∞,∞}	t{∞,∞}	r{∞,∞}	2t{∞,∞}=t{∞,∞}	2r{∞,∞}={∞,∞}	rr{∞,∞}	tr{∞,∞}
Pavări duale


V∞^∞	V∞.∞.∞	V(∞.∞)²	V∞.∞.∞	V∞^∞	V4.∞.4.∞	V4.4.∞
Alternări
[1⁺,∞,∞] (*∞∞2)	[∞⁺,∞] (∞*∞)	[∞,1⁺,∞] (*∞∞∞∞)	[∞,∞⁺] (∞*∞)	[∞,∞,1⁺] (*∞∞2)	[(∞,∞,2⁺)] (2*∞∞)	[∞,∞]⁺ (2∞∞)


h{∞,∞}	s{∞,∞}	hr{∞,∞}	s{∞,∞}	h₂{∞,∞}	hrr{∞,∞}	sr{∞,∞}
Duale alternate


V(∞.∞)^∞	V(3.∞)³	V(∞.4)⁴	V(3.∞)³	V∞^∞	V(4.∞.4)²	V3.3.∞.3.∞

Pavări uniforme paracompacte din familia [∞,∞,∞]



(∞,∞,∞) h{∞,∞}	r(∞,∞,∞) h₂{∞,∞}	(∞,∞,∞) h{∞,∞}	r(∞,∞,∞) h₂{∞,∞}	(∞,∞,∞) h{∞,∞}	r(∞,∞,∞) r{∞,∞}	t(∞,∞,∞) t{∞,∞}
Pavări duale

V∞^∞	V∞.∞.∞.∞	V∞^∞	V∞.∞.∞.∞	V∞^∞	V∞.∞.∞.∞	V∞.∞.∞
Alternări
[(1⁺,∞,∞,∞)] (*∞∞∞∞)	[∞⁺,∞,∞)] (∞*∞)	[∞,1⁺,∞,∞)] (*∞∞∞∞)	[∞,∞⁺,∞)] (∞*∞)	[(∞,∞,∞,1⁺)] (*∞∞∞∞)	[(∞,∞,∞⁺)] (∞*∞)	[∞,∞,∞)]⁺ (∞∞∞)


Duale alternate

V(∞.∞)^∞	V(∞.4)⁴	V(∞.∞)^∞	V(∞.4)⁴	V(∞.∞)^∞	V(∞.4)⁴	V3.∞.3.∞.3.∞

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
en „Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space”. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.