Sari la conținut

Hexacontaedru pentagonal

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Hexacontaedru pentagonal
Cele două forme chirale, cw și ccw
(animații cw și ccw, și model 3D)
Descriere
TipPoliedru Catalan
Fețe60
Laturi (muchii)150
Vârfuri92
χ2
Configurația fețeiV3.3.3.3.5 (pentagoane neregulate)
Simbol ConwaygD
Diagramă Coxeter
Grup de simetrieI, 1/2H3, [5,3]+, 532
Grup de rotațieI, [5,3]+, (532)
Arie≈ 162,699 a2   (a = latura mică)
Volum≈ 189,790 a3   (a = latura mică)
Unghi diedru153° 10′ 43″
Poliedru dualDodecaedru snub
ProprietățiPoliedru convex, tranzitiv pe fețe, chiral
Desfășurată
Duale: Dodecaedre snub, pe stânga și pe dreapta

În geometrie un hexacontaedru pentagonal este un poliedru Catalan cu 60 de fețe. Are 92 de vârfuri, fiind poliedrul Catalan cu cel mai mare număr de vârfuri. Este al doilea ca mărime dintre poliedrele Catalan, după icosidodecaedrul trunchiat, care are 120 de vârfuri.

Fiecare poliedru Catalan este dualul unui poliedru arhimedic. Dualul icosaedrului pentagonal este dodecaedrul snub. Este tranzitiv pe fețe.

Are două forme chirale („enantiomorfe”).

Hexacontaedrul pentagonal poate fi construit dintr-un dodecaedru snub. Pe cele 12 fețe pentagonale ale dodecaedrului snub se adaugă piramide pentagonale, iar pe cele 20 de fețe triunghiulare care nu au o muchie comună cu un pentagon se adaugă piramide triunghiulare. Înălțimile piramidelor sunt alese astfel încât să fie coplanare cu celelalte 60 de fețe triunghiulare ale dodecaedrului snub. Rezultatul este hexacontaedrul pentagonal.

Fețele sunt pentagoane neregulate cu două laturi lungi și trei scurte. Fie rădăcina reală a polinomului , unde este secțiunea de aur. Atunci raportul l dintre lungimile laturilor este

.

Fețele au patru unghiuri obtuze egale și un unghi ascuțit (între cele două laturi lungi). Unghiurile obtuze au , iar cel asuțit . Unghiul diedru are .

De observat că centrele fețelor dodecaedrului snub nu pot servi direct ca vârfuri ale hexacontaedrului pentagonal: cele patru centre ale triunghiurilor se află într-un singur plan, dar centrul pentagonului nu; trebuie să fie deplasat radial în afară pentru a-l face coplanar cu centrele triunghiului. În consecință, vârfurile hexacontaedrului pentagonal nu se află toate pe aceeași sferă, deci, prin definiție, nu este un zonoedru.

Pentru volumul și aria unui hexacontaedru pentagonal se notează latura mai scurtă a uneia dintre fețele pentagonale cu a, iar constanta t este[1]

Aria va fi

iar volumul

Cu acestea se poate calcula sfericitatea hexacontaedrului pentagonal

Variații izoedrice cu fețe pentagonale având 3 lungimi de muchii.

Variația prezentată poate fi construită prin adăugarea de piramide pe 12 fețe pentagonale și pe 20 de fețe triunghiulare ale unui dodecaedru snub astfel încât noile fețe sunt formate din câte 3 triunghiuri coplanare fuzionate în fețe pentagonale identice.


Dodecaedru snub augmentat cu piramide și cu fețele compuse coplanare

Variația din exemplu

Desfășurată

Proiecții ortogonale

[modificare | modificare sursă]

Hexacontaedrul pentagonal are trei proiecții ortogonale particulare, două centrate pe vârfuri și una centrată pe mijlocul laturilor.

Proiecții ortogonale sub formă de cadre de sârmă
Simetrie
proiectivă
[3] [5]+ [2]
Imagini
Imagini
duale

Poliedre și pavări înrudite

[modificare | modificare sursă]
Hexacontaedru pentagonal sferic
Familia de poliedre icosaedrice uniforme
Simetrie: [5,3], (*532) [5,3]+, (532)
{5,3} t{5,3} r{5,3} t{3,5} {3,5} rr{5,3} tr{5,3} sr{5,3}
Duale ale poliedrelor uniforme
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5

Acest poliedru este înrudit topologic ca parte a secvenței de poliedre și pavări snub cu configurațiile feței (V3.3.3.3.n). Aceste figuri există în planul hiperbolic pentru orice n. Aceste figuri tranzitive pe fețe au simetrie de rotație (n32) în notația orbifold, existând în planul euclidian pentru orice n.

Variante de pavări snub cu simetrie n32: 3.3.3.3.n
Simetrie
n32
Sferice Euclidiană Hiperbolice compacte Paracomp.
232 332 432 532 632 732 832 ∞32
Imagini
snub
Config. 3.3.3.3.2 3.3.3.3.3 3.3.3.3.4 3.3.3.3.5 3.3.3.3.6 3.3.3.3.7 3.3.3.3.8 3.3.3.3.∞
Imagini
giro
Config. V3.3.3.3.2 V3.3.3.3.3 V3.3.3.3.4 V3.3.3.3.5 V3.3.3.3.6 V3.3.3.3.7 V3.3.3.3.8 V3.3.3.3.∞
  1. ^ en „Pentagonal Hexecontahedron - Geometry Calculator”. rechneronline.de. Accesat în . 

Legături externe

[modificare | modificare sursă]