Poliedru regulat

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare

Un poliedru regulat este un poliedru al cărui grup de simetrie acționează tranzitiv pe steagurilor sale. Un poliedru regulat este extrem de simetric, fiind tranzitiv atât la nivel de vârfuri, cât și la nivel de muchii și fețe. În contextele clasice, sunt utilizate multe definiții echivalente diferite; una comună este că fețele sunt poligoane regulate congruente care sunt asamblate în același mod în jurul fiecărui vârf.

Un poliedru regulat este identificat prin simbolul Schläfli al formei {n,m}, unde n este numărul de laturi ale fiecărei fețe. iar m numărul fețelor care se întâlnesc în fiecare vârf. Există 5 poliedre regulate convexe finite (poliedrele platonice) și patru poliedre stelate (poliedrele Kepler–Poinsot), în total nouă poliedre regulate. În plus, există cinci compuși regulați ai poliedrelor regulate.

Poliedrele regulate[modificare | modificare sursă]

Există cinci poliedre regulate convexe, cunoscute sub numele de poliedre platonice, patru poliedre stelate regulate, poliedrele Kepler–Poinsot și cinci compuși regulați ai poliedrelor regulate.

Poliedrele platonice[modificare | modificare sursă]

Cele cinci poliedre platonice sunt cunoscute încă din antichitate.

Tetrahedron.jpg Hexahedron.jpg Octahedron.jpg Dodecahedron.jpg Icosahedron.jpg
tetraedrul
{3, 3}
(Animație)
cubul
{4, 3}
(Animație)
octaedrul
{3, 4}
(Animație)
dodecaedrul
{5, 3}
(Animație)
icosaedrul
{3, 5}
(Animație)
χ = 2 χ = 2 χ = 2 χ = 2 χ = 2

Poliedrele Kepler–Poinsot[modificare | modificare sursă]

Cele patru poliedre stelate regulate sunt cunoscute sub numele de poliedre Kepler–Poinsot.

GreatDodecahedron.jpg SmallStellatedDodecahedron.jpg GreatStellatedDodecahedron.jpg GreatIcosahedron.jpg
micul dodecaedru stelat
{5/2, 5}
(Animație)
marele dodecaedru stelat
{5/2, 3}
(Animație)
marele dodecaedru
{5, 5/2}
(Animație)
marele icosaedru
{3, 5/2}
(Animație)
χ = −6 χ = 2 χ = −6 χ = 2

Compușii regulați[modificare | modificare sursă]

Compound of two tetrahedra.png CompoundOfFiveTetrahedra.png Compound of ten tetrahedra.png Compound of five cubes.png Compound of five octahedra.png
două tetraedre
2 {3, 3}
cinci tetraedre
5 {3, 3}
(Animație)
zece tetraedre
10 {3, 3}
cinci cuburi
5 {4, 3}
(Animație)
cinci octaedre
5 {3, 4}
χ = 4 χ = 10

Caracteristici[modificare | modificare sursă]

Proprietăți echivalente[modificare | modificare sursă]

Proprietatea de a avea un aranjament similar al fețelor în jurul fiecărui vârf poate fi înlocuită în definiții cu oricare dintre următoarele condiții echivalente:

Sfere concentrice[modificare | modificare sursă]

Un poliedru regulat are toate cele trei sfere asociate care au același centru. La alte poliedre lipsește cel puțin una:

Simetrie[modificare | modificare sursă]

Poliedrele regulate sunt cele mai simetrice dintre toate poliedrele. Ele se află în doar trei grupuri de simetrie, care poartă numele poliedrelor platonice:

  • tetraedric;
  • octaedric (sau cubic);
  • icosaedric (sau dodecaedric).

Orice forme cu simetrie octaedrică sau icosaedrică vor conține și simetria tetraedrică.

Caracteristica Euler[modificare | modificare sursă]

Caracteristica Euler este dată de relația:

unde V este numărul vârfurilor, M este numărul muchiilor, iar F este numărul fețelor.

Cele cinci poliedre platonice au o caracteristică Euler de 2. Acest lucru reflectă faptul că suprafața lor este o 2-sferă topologică, iar acest fapt este valabil și pentru orice poliedru stelat.

Puncte interioare[modificare | modificare sursă]

Suma distanțelor de la orice punct din interiorul unui poliedru regulat la muchii este independentă de poziția punctului (aceasta este o extensie a teoremei lui Viviani.) Cu toate acestea, afirmația inversă nu este valabilă nici măcar pentru tetraedre.[2]

Dualitatea poliedrelor regulate[modificare | modificare sursă]

Într-o pereche duală de poliedre vârfurile unui poliedru corespund fețelor celuilalt și invers.

Poliedrele regulate prezintă această dualitate după cum urmează:

  • tetraedrul este autodual;
  • cubul și octaedrul sunt unul dualul celuilalt;
  • icosaedrul și dodecaedrul sunt unul dualul celuilalt;
  • micul dodecaedru stelat și marele dodecaedru sunt unul dualul celuilalt;
  • marele dodecaedru stelat și marele icosaedru sunt unul dualul celuilalt.

Diverse generalizări[modificare | modificare sursă]

În secolul al XX-lea au apărut o serie de generalizări ale ideii de poliedru regulat, ducând la câteva clase noi.

Poliedre regulate în spațiul neeuclidian și în alte spații[modificare | modificare sursă]

Studii despre spațiul neeuclidian (hiperbolic și eliptic) și alte spații precum spații complexe, descoperite în secolul precedent, a dus la descoperirea unor poliedre noi, cum ar fi poliedrele complexe, care ar putea lua forma geometrică regulată doar în acele spații.

Poliedre regulate în spațiul hiperbolic[modificare | modificare sursă]

Fagurele pavat hexagonal, {6,3,3}, are pavare hexagonală, {6,3}, fațete cu vârfuri în horosferă; o asemenea fațetă este prezentată în modelul discului Poincaré

În spațiul hiperbolic H3, fagurii paracompacți regulați sunt pavați cu fațete euclidiene și au figuri ale vârfului ca la poliedrele finite. Astfel de pavări au un deficit unghiular care poate fi închis prin îndoire într-un sens sau altul. Dacă pavarea este dimensionată corespunzător, ea se va „închide” asimptotic la un singur punct ideal. Aceste pavări euclidiene sunt înscrise într-o horosferă⁠(d) la fel cum poliedrele sunt înscrise într-o sferă (care conține zero puncte ideale). Secvența se extinde atunci când pavările hiperbolice sunt ele însele utilizate ca fațete ale teselărilor hiperbolice necompacte, ca în fagurele pavat heptagonal {7,3,3}; ele sunt înscrise într-o suprafață echidistantă (un 2-hiperciclu), care are două puncte ideale.

Pavări regulate în planul proiectiv real[modificare | modificare sursă]

Un alt grup de poliedre regulate cuprinde pavările planului proiectiv real. Acestea includ hemicubul, hemioctaedrul, hemidodecaedrul și hemiicosaedrul. Ele sunt (la nivel global) poliedre proiective și sunt contrapartidele proiective ale poliedrelor platonice. Tetraedrul nu are un omolog proiectiv, deoarece nu are perechi de fețe paralele care pot fi contopite, așa cum au și celelalte patru poliedre platonice.

Hemicube.svg
hemicub
{4, 3}
Hemioctahedron.png
hemioctaedru
{3, 4}
Hemi-dodecahedron2.png
hemidodecaedru
{3, 5}
Hemi-icosahedron.png
hemiicosaedru
{5, 3}

Acestea apar ca perechi duale în același mod ca și poliedrele platonice. Caracteristicile lor Euler sunt toate 1.

Poliedre abstracte regulate[modificare | modificare sursă]

Până acum poliedrele erau ferm înțelese ca exemple tridimensionale de politopuri, mai generale, în orice număr de dimensiuni. A doua jumătate a secolului a cunoscut dezvoltarea unor idei algebrice abstracte precum combinatorica poliedrică, culminând cu ideea unui politop abstract ca mulțime parțial ordonată de elemente. Elementele unui poliedru abstract sunt corpul său (elementul maxim), fețele, muchiile, vârfurile și politopul nul (mulțimea vidă). Aceste elemente abstracte pot fi plasate în spațiul obișnuit sau realizate ca figuri geometrice. Unele poliedre abstracte au realizări bune, altele nu. Un steag este o mulțime conectată de elemente, câte una din fiecare dimensiune — pentru un poliedru care este corpul, o față, o latură a feței (muchie), un capăt al laturii (vârf) și politopul nul. Se spune că un politop abstract este regulat dacă simetriile sale combinatorii sunt tranzitive pe steagurile sale, adică orice steag poate fi translatat pe oricare altul conform simetriei poliedrului. Politopurile regulate abstracte rămân o zonă activă de cercetare.

Cinci astfel de poliedre regulate care nu pot fi realizate corect au fost identificate de Coxeter în cartea sa Regular Polytopes (1977) și din nou de J.M. Wills în articolul său "The combinatorially regular polyhedra of index 2" (1987). Toate cinci au simetrie C2×S5, dar pot fi realizate doar cu jumătate din simetrii, adică C2×A5 sau simetrie icosaedrică.[3][4][5] Toate sunt echivalente topologic cu toroizii. Construcția lor, prin aranjarea a n fețe în jurul fiecărui vârf, poate fi repetată la nesfârșit ca pavare a planului hiperbolic.

Poliedru DU36 medial rhombic triacontahedron.png
triacontaedru rombic median
Dodecadodecahedron.png
dodecadodecaedru
DU41 medial triambic icosahedron.png
icosaedru triambic median
Ditrigonal dodecadodecahedron.png
dodecadodecaedru ditrigonal
Excavated dodecahedron.png
dodecaedru excavat
Tip dual {5,4}6 {5,4}6 dual de {5,6}4 {5,6}4 {6,6}6
(v,m,f) (24,60,30) (30,60,24) (24,60,20) (20,60,24) (20,60,20)
Figura vârfului {5}, {5/2}
Regular polygon 5.svgPentagram green.svg
(5.5/2)2
Dodecadodecahedron vertfig.png
{5}, {5/2}
Regular polygon 5.svgPentagram green.svg
(5.5/3)3
Ditrigonal dodecadodecahedron vertfig.png
Medial triambic icosahedron face.png
Fețe 30 romburi
Rhombus definition2.svg
12 pentagoane
12 pentagrame
Regular polygon 5.svgPentagram green.svg
20 hexagoane
Medial triambic icosahedron face.png
12 pentagoane
12 pentagrame
Regular polygon 5.svgPentagram green.svg
20 hexagrame
Star hexagon face.png
Pavaje Uniform tiling 45-t0.png
{4, 5}
Uniform tiling 552-t1.png
{5, 4}
Uniform tiling 65-t0.png
{6, 5}
Uniform tiling 553-t1.png
{5, 6}
Uniform tiling 66-t2.png
{6, 6}
χ −6 −6 −16 −16 −20

Dualuri Petrie[modificare | modificare sursă]

Dualul Petrie al unui poliedru regulat este o hartă regulată ale cărei vârfuri și muchii corespund vârfurilor și muchiilor poliedrului și ale cărui fețe sunt mulțimea poligoanelor strâmbe Petrie.[6]

Petrie regulate
Nume tetraedru Petrie cub Petrie octaedru Petrie dodecaedru Petrie icosaedru Petrie
Simbol Schläfli {3, 3}π {4, 3}π {3, 4}π {5, 3}π {3, 5}π
(v,m,f), χ (4,6,3), χ = 1 (8,12,4), χ = 0 (6,12,4), χ = −2 (20,30,6), χ = −4 (12,30,6), χ = −12
Fețe 3 pătrate strâmbe
Face of petrial tetrahedron.gif
4 hexagoane strâmbe 6 decagoane strâmbe
Face of petrial cube.gif Face of petrial octahedron.gif Face of petrial dodecahedron.gif Face of petrial icosahedron.gif
Imagine Tetrahedron 3 petrie polygons.png Cube 4 petrie polygons.png Octahedron 4 petrie polygons.png Petrial dodecahedron.png Petrial icosahedron.png
Animație Petrial tetrahedron.gif Petrial cube.gif Petrial octahedron.gif Petrial dodecahedron.gif Petrial icosahedron.gif
Figuri
asociate
Hemicube.svg
{4, 3}3 = {4, 3}/2 = {4, 3}(2,0)
Regular map 6-3 2-0.png
{6, 3}3 = {6, 3}(2,0)
Regular map 6 4-3 pattern.png
{6, 4}3 = {6, 4}(4,0)
{10, 3}5 {10, 5}3

Poliedre sferice[modificare | modificare sursă]

Cele nouă poliedre regulate pot fi, de asemenea, reprezentate ca pavări sferice:

Uniform tiling 332-t0-1-.png
tetraedru
{3, 3}
Uniform tiling 432-t0.png
cub
{4, 3}
Uniform tiling 432-t2.png
octaedru
{3, 4}
Uniform tiling 532-t0.png
dodecaedru
{5, 3}
Uniform tiling 532-t2.png
icosaedru
{3, 5}
Small stellated dodecahedron tiling.png
micul dodecaedru stelat
{5/2, 5}
Great dodecahedron tiling.png
marele dodecaedru
{5, 5/2}
Great stellated dodecahedron tiling.png
marele dodecaedru stelat
{5/2, 3}
Great icosahedron tiling.png
marele icosaedru
{3, 5/2}

Poliedre regulate care pot exista doar ca poliedre sferice[modificare | modificare sursă]

Pentru un poliedru regulat al cărui simbol Schläfli este {mn}, numărul fețelor poligonale poate fi dat de:

Poliedrele platonice sunt singurele soluții întregi pentru m ≥ 3 și n ≥ 3. Restricția m ≥ 3 impune ca fețele poligonale trebuie să aibă cel puțin trei laturi.

Atunci când se consideră pavările sferice drept poliedre, această restricție poate fi relaxată, deoarece digonurile (2-gon) pot fi reprezentate ca fusuri sferice, având aria diferită de zero. Permiterea m = 2 admite o nouă clasă infinită de poliedre regulate, care sunt hosoedrele. Pe o suprafață sferică, poliedrul regulat {2, n} este reprezentat ca n fusuri adiacente, cu unghiuri interioare de 2π/n. Toate aceste fusuri se întâlnesc în două vârfuri comune.[7]

Un diedru, {n, 2}[7] (2-edru) în spațiul euclidian tridimensional poate fi considerat o prismă degenerată constând din două n-poligoane plane conectate „spate în spate”, astfel încât obiectul rezultat nu are grosime, analog modului în care un digon poate fi construit din două segmente alipite. Însă în pavările sferice un diedru poate exista sub formă nedegenerată, cu două fețe cu n laturi care acoperă sfera, fiecare față fiind o emisferă cu vârfuri în jurul unui cerc mare. Este regulat dacă vârfurile sunt egal distanțate.

Digonal dihedron.png
diedru digonal
{2, 2}
Trigonal dihedron.png
diedru trigonal
{3, 2}
Tetragonal dihedron.png
diedru tetragonal
{4, 2}
Pentagonal dihedron.png
diedru pentagonal
{5, 2}
Hexagonal dihedron.png
diedru hexagonal
{6, 2}
... {n, 2}
Digonal dihedron.png
hosoedru digonal
{2, 2}
Trigonal hosohedron.png
hosoedru trigonal
{2, 3}
Spherical square hosohedron.png
hosoedru tetragonal
{2, 4}
Spherical pentagonal hosohedron.png
hosoedru pentagonal
{2, 5}
Hexagonal hosohedron.png
hosoedru hexagonal
{2, 6}
... {2, n}

Hosoedrul {2, n} este dualul diedrului {n, 2}. De notat că dacă n = 2, se obține poliedrul {2, 2}, care este simultan un hosoedru și un diedru. Toate acestea au caracteristica Euler 2.

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ en Cromwell, Peter R. (). Polyhedra. Cambridge University Press. p. 77. ISBN 0-521-66405-5. 
  2. ^ en Chen, Zhibo, and Liang, Tian. "The converse of Viviani's theorem", The College Mathematics Journal 37(5), 2006, pp. 390–391.
  3. ^ en David A. Richter The Regular Polyhedra (of index two)
  4. ^ en Anthony M. Cutler, Egon Schulte, Regular Polyhedra of Index Two, I, 2010
  5. ^ en Regular Polyhedra of Index Two, II, Beitrage zur Algebra und Geometrie, 52(2):357–387, November 2010, Table 3, p. 27
  6. ^ en McMullen, Peter; Schulte, Egon (), Abstract Regular Polytopes, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 92, Cambridge University Press, p. 192, ISBN 9780521814966 
  7. ^ a b Coxeter, Regular Polytopes, p. 12

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • fr Joseph Louis François Bertrand (1858). Note sur la théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 46, pp. 79–82.
  • de Haeckel, E. (1904). Kunstformen der Natur. Available as Haeckel, E. Art forms in nature, Prestel USA (1998), ISBN: 3-7913-1990-6, (online)
  • en Smith, J. V. (1982). Geometrical And Structural Crystallography. John Wiley and Sons.
  • en Duncan MacLaren Young Sommerville (1930). An Introduction to the Geometry of n Dimensions E. P. Dutton, New York. (Dover Publications edition, 1958). Chapter X: The Regular Polytopes.
  • en H.S.M. Coxeter; Regular Polytopes (third edition). Dover Publications Inc. ISBN: 0-486-61480-8

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]