Cub snub

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare
Cub snub
Snubhexahedroncw.jpg Snubhexahedronccw.jpg
Cele două forme chirale, cw și ccw
(animații cw și ccw, și model 3D)
Descriere
TipPoliedru arhimedic
Fețe38 (8+24 triunghiuri, 6 pătrate)
Laturi (muchii)60
Vârfuri24
χ2
Configurația vârfului3.3.3.3.4
Simbol Wythoff| 2 3 4
Simbol Schläflisr{4,3} sau
ht0,1,2{4,3}
Simbol ConwaysC
Diagramă CoxeterCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Grup de simetrieOh, 1/2B3, [4,3]+, (*432), ordin 24
Grup de rotațieO, [4,3]+, (432), ordin 24
Arie≈ 19,856 a2   (a = latura)
Volum≈   7,889 a3   (a = latura)
Unghi diedru3-3: 153° 14′ 04″ (153,23°)
3-4: 142° 59′ 00″ (142,98°)
Poliedru dualIcositetraedru pentagonal
ProprietățiPoliedru semiregulat, convex, chiral
Figura vârfului
Polyhedron snub 6-8 left vertfig.svg
Desfășurată
Polyhedron snub 6-8 left net.svg
Duale: Icositetraedre pentagonale, pe stânga și pe dreapta
O construcție geometrică a constantei tribonacci (AC), cu rigla și compasul, după metoda descrisă de Xerardo Neira

În geometrie cubul snub este un poliedru arhimedic. Are 38 de fețe, din care 8+24 triunghiulare și 6 pătrate, 24 de vârfuri și 60 de laturi.

Este un poliedru chiral, adică are două forme distincte, care sunt imagini în oglindă (sau „enantiomorfe”) una a celeilalte. Reuniunea ambelor forme dă compusul de două cuburi snub, iar anvelopa convexă al ambelor seturi de vârfuri este un cuboctaedru trunchiat.

Are indicele de poliedru uniform U12,[1] indicele Coxeter C24 și indicele Wenninger W17.

Johannes Kepler l-a denumit inițial în latină cubus simus în lucrarea sa Harmonices Mundi din 1619. H.S.M. Coxeter a remarcat că ar putea fi derivat în mod egal din octaedru, ca și cubul, numit „cuboctaedru snub”, cu simbolul Schläfli extins vertical , și reprezentând o alternare a unui cuboctaedru trunchiat, care are simbolul Schläfli .

Dimensiuni[modificare | modificare sursă]

Pentru un cub snub cu lungimea laturii 1, aria și volumul acestuia sunt:

unde t este constanta tribonacci

Dacă cubul snub inițial are lungimea laturii 1, dualul său, icositetraedrul pentagonal are lungimea laturii

și .

Volumul unui cub snub cu lungimea laturii poate fi calculat cu relația:[2]

,

unde t este constanta tribonacci de mai sus.

Coordonate carteziene[modificare | modificare sursă]

Coordonatele carteziene ale vârfurilor unui cub snub centrat în origine sunt permutările pare ale

(±1, ±1/t, ±t)

cu un număr par de semne plus, împreună cu toate permutările impare cu un număr impar de semne plus, unde t ≈ 1,83929 este constanta tribonacci. Permutările pare cu un număr impar de semne plus și permutările impare cu un număr par de semne plus, dau un cub snub diferit, imaginea în oglindă a precedentului. Ambele împreună formează compusul de două cuburi snub.

Cu aceste coordonate lungimea laturilor cubului snub este , un număr care este o soluție a ecuației

și care poate fi scrisă ca

Pentru a obține un cub snub cu lungimea laturii 1, se împart toate coordonatele de mai sus cu valoarea α de mai sus.

Proiecții ortogonale[modificare | modificare sursă]

Cubul snub nu are simetrie față de centru, ca urmare vârful din față nu corespunde unui vârf opus din spate

Cubul snub are două proiecții ortogonale particulare, centrate pe două tipuri de fețe: triunghiuri și pătrate, care corespund cu planele Coxeter A2 și B2 și una centrată pe mijlocul laturilor.

Proiecții ortogonale
Centrată
pe
Fața
triunghi
Fața
pătrat
Latură
Corp Polyhedron snub 6-8 left from yellow max.png Polyhedron snub 6-8 left from red max.png Polyhedron snub 6-8 left from blue max.png
Cadru de sârmă Snub cube A2.png Snub cube B2.png Snub cube e1.png
Simetrie
proiectivă
[3] [4]+ [2]
Dual Dual snub cube A2.png Dual snub cube B2.png Dual snub cube e1.png
Spherical snub cube.png Snub cube stereographic projection.png
centrată pe pătrat
Proiecție ortogonală Proiecție stereografică

Pavare sferică[modificare | modificare sursă]

Cubul snub poate fi reprezentat și ca o pavare sferică și proiectat pe plan printr-o proiecție stereografică. Această proiecție este conformă, păstrând unghiurile, dar nu ariile sau lungimile. Liniile drepte (geodezicele) de pe sferă sunt proiectate în plan ca arce de cerc.

Relații geometrice[modificare | modificare sursă]

Cub, rombicuboctaedru și cub snub
(animații cu expandări și răsuciri)
Alternări uniforme ale cuboctaedrului trunchiat

Cubul snub poate fi generat luând cele șase fețe ale cubului, deplasându-le spre exterior, apoi rotindu-le în jurul centrelor lor (toate în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers) până când spațiile dintre pot fi umplute cu triunghiuri echilaterale.

Cubul snub poate fi derivat și din cuboctaedrul trunchiat prin procesul de alternare. 24 de vârfuri ale cuboctaedrului trunchiat formează un poliedru echivalent topologic cu cubul snub, celelalte 24 formează imaginea în oglindă. Poliedrul rezultat este tranzitiv pe vârfuri dar nu este uniform.

Un cub snub „îmbunătățit”, cu o față pătrată puțin mai mică și fețe triunghiulare puțin mai mari în comparație cu cubul snub uniform (poliedrul arhimedic), este util la reprezentările pe sferă.[3]

Poliedre înrudite[modificare | modificare sursă]

Cubul snub face parte dintr-o familie de poliedre uniforme înrudite cu cubul și octaedrul regulat.

Poliedre octaedrice uniforme    
Simetrie: [4,3], (*432) [4,3]+
(432)
[1+,4,3] = [3,3]
(*332)
[3+,4]
(3*2)
{4,3} t{4,3} r{4,3}
r{31,1}
t{3,4}
t{31,1}
{3,4}
{31,1}
rr{4,3}
s2{3,4}
tr{4,3} sr{4,3} h{4,3}
{3,3}
h2{4,3}
t{3,3}
s{3,4}
s{31,1}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node.png
CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png =
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png sau CDel nodes 01rd.pngCDel split2.pngCDel node.png
CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png =
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.png sau CDel nodes 01rd.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h0.png =
CDel node h.pngCDel split1.pngCDel nodes hh.png
Uniform polyhedron-43-t0.svg Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg
Uniform polyhedron-33-t02.png
Uniform polyhedron-43-t12.svg
Uniform polyhedron-33-t012.png
Uniform polyhedron-43-t2.svg
Uniform polyhedron-33-t1.png
Uniform polyhedron-43-t02.png
Rhombicuboctahedron uniform edge coloring.png
Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform polyhedron-43-s012.png Uniform polyhedron-33-t0.pngUniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-33-t01.pngUniform polyhedron-33-t12.png Uniform polyhedron-43-h01.svg
Uniform polyhedron-33-s012.svg
Dualele celor de mai sus
V43 V3.82 V(3.4)2 V4.62 V34 V3.43 V4.6.8 V34.4 V33 V3.62 V35
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Octahedron.svg Triakisoctahedron.jpg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Hexahedron.svg Deltoidalicositetrahedron.jpg Disdyakisdodecahedron.jpg Pentagonalicositetrahedronccw.jpg Tetrahedron.svg Triakistetrahedron.jpg Dodecahedron.svg


Variante de simetrii[modificare | modificare sursă]

Acest poliedru este înrudit topologic ca parte a secvenței de poliedre și pavări snub cu configurațiile vârfului (3.3.3.3.n.) și diagrama Coxeter–Dynkin CDel node h.pngCDel n.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png. Aceste figuri și dualele lor au simetrie de rotație (n32) în notația orbifold, existând în planul euclidian pentru n = 6, iar în planul hiperbolic pentru orice n mai mare. Se poate considera că familia începe cu n = 2, care are fețele degenerate în digoane.

Variante de pavări snub cu simetrie n32: 3.3.3.3.n
Simetrie
n32
Sferice Euclidiană Hiperbolice compacte Paracomp.
232 332 432 532 632 732 832 ∞32
Imagini
snub
Spherical trigonal antiprism.png Spherical snub tetrahedron.png Spherical snub cube.png Spherical snub dodecahedron.png Uniform tiling 63-snub.svg Snub triheptagonal tiling.svg H2-8-3-snub.svg Uniform tiling i32-snub.png
Config. 3.3.3.3.2 3.3.3.3.3 3.3.3.3.4 3.3.3.3.5 3.3.3.3.6 3.3.3.3.7 3.3.3.3.8 3.3.3.3.∞
Imagini
giro
Uniform tiling 432-t0.png Uniform tiling 532-t0.png Spherical pentagonal icositetrahedron.png Spherical pentagonal hexecontahedron.png Tiling Dual Semiregular V3-3-3-3-6 Floret Pentagonal.svg 7-3 floret pentagonal tiling.svg H2-8-3-floret.svg Order-3-infinite floret pentagonal tiling.png
Config. V3.3.3.3.2 V3.3.3.3.3 V3.3.3.3.4 V3.3.3.3.5 V3.3.3.3.6 V3.3.3.3.7 V3.3.3.3.8 V3.3.3.3.∞

Cubul snub este al doilea din seria poliedrelor și pavărilor snub cu configurația vârfului 3.3.4.3.n.

Variante de pavări snub cu simetrie 4n2: 3.3.4.3.n
Simetrie
4n2
Sferică Euclidiană Hiperbolice compacte Paracomp.
242 342 442 542 642 742 842 ∞42
Figuri
snub
Spherical square antiprism.png Spherical snub cube.png Uniform tiling 44-snub.png H2-5-4-snub.svg Uniform tiling 64-snub.png Uniform tiling 74-snub.png Uniform tiling 84-snub.png Uniform tiling i42-snub.png
Config. 3.3.4.3.2 3.3.4.3.3 3.3.4.3.4 3.3.4.3.5 3.3.4.3.6 3.3.4.3.7 3.3.4.3.8 3.3.4.3.∞
Figuri
giro
Spherical tetragonal trapezohedron.png Spherical pentagonal icositetrahedron.png Tiling Dual Semiregular V3-3-4-3-4 Cairo Pentagonal.svg H2-5-4-floret.svg
Config. V3.3.4.3.2 V3.3.4.3.3 V3.3.4.3.4 V3.3.4.3.5 V3.3.4.3.6 V3.3.4.3.7 V3.3.4.3.8 V3.3.4.3.∞

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ en Eric W. Weisstein, Uniform Polyhedron la MathWorld.
  2. ^ en „Snub Cube - Geometry Calculator”. rechneronline.de. Accesat în . 
  3. ^ en / „Spherical Designs” de R.H. Hardin și N.J.A. Sloane

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • en Jayatilake, Udaya (martie 2005). „Calculations on face and vertex regular polyhedra”. Mathematical Gazette. 89 (514): 76–81. doi:10.1017/S0025557200176818. 
  • en Robert Williams (1979), The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications Inc., ISBN: 0-486-23729-X. (Section 3-9)
  • en Cromwell, P. (). Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. pp. 79–86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2. 

Legături externe[modificare | modificare sursă]