Dodecaedru pentakis

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare
Dodecaedru pentakis
Pentakisdodecahedron.jpg
(animație și model 3D)
Descriere
TipPoliedru Catalan
Fețe60 triunghiuri isoscele
Laturi (muchii)90
Vârfuri32
χ2
Configurația fețeiV5.6.6
Simbol ConwaykD
Diagramă CoxeterCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node.png
Grup de simetrieIh, H3, [5,3], (*532)
Grup de rotațieI, [5,3]+, (532)
Unghi diedru156° 43′ 07″ =
= arccos(−80 + 95/109)
Poliedru dualIcosaedru trunchiat
ProprietățiPoliedru convex, tranzitiv pe fețe
Desfășurată
Pentakisdodecahedron net.png
Dual: Icosaedru trunchiat

În geometrie un dodecaedru pentakis este un poliedru Catalan cu 60 de fețe. Fiecare poliedru Catalan este dualul unui poliedru arhimedic. Dualul dodecaedrului pentakis este icosaedrul trunchiat. Este tranzitiv pe fețe.

Coordonate carteziene și dimensiuni[modificare | modificare sursă]

Fie secțiunea de aur. Cele 12 puncte date de și permutările ciclice ale acestor coordonate sunt vârfurile unui icosaedru regulat. Dualul său, dodecaedrul regulat, ale cărui laturi intersectează pe cele ale icosaedrului în unghi drept, are ca vârfuri punctele împreună cu punctele și permutările ciclice ale acestor coordonate. Înmulțind toate coordonatele acestui icosaedru cu factorul se obține un icosaedru ceva mai mic. Cele 12 vârfuri ale acestui icosaedru, împreună cu vârfurile dodecaedrului, sunt vârfurile unui dodecaedru pentakis centrat în origine. Lungimea laturilor sale lungi este de . Fețele sale sunt triunghiuri isoscele ascuțite cu unghiul apexului de și cele două de la bază de . Raportul lungimilor laturilor lungi și scurte ale acestor triunghiuri este .

Proiecții ortogonale[modificare | modificare sursă]

Dodecaedrul pentakis are trei proiecții ortogonale particulare: una pe mijlocul laturilor și două pe vârfuri.

Proiecții ortogonale sub formă de cadre de sârmă
Simetrie
proiectivă
[2] [6] [10]
Imagini Dual dodecahedron t01 e66.png Dual dodecahedron t01 A2.png Dual dodecahedron t01 H3.png
Imagini
duale
Dodecahedron t12 e66.png Icosahedron t01 A2.png Icosahedron t01 H3.png
Polyhedron truncated 20 dual big.png Concave pentakis dodecahedron.png
Un dodecaedru pentakis (stânga) cu piramide inversate (dreapta) are aceeași suprafață

Dodecaedrul pentakis concav[modificare | modificare sursă]

Un dodecaedru pentakis concav are piramide inversate pe fețele pentagonale ale dodecaedrului.

Poliedre înrudite[modificare | modificare sursă]

Dodecaedru pentakis sferic
Familia de poliedre icosaedrice uniforme
Simetrie: [5,3], (*532) [5,3]+, (532)
Uniform polyhedron-53-t0.svg Uniform polyhedron-53-t01.svg Uniform polyhedron-53-t1.svg Uniform polyhedron-53-t12.svg Uniform polyhedron-53-t2.svg Uniform polyhedron-53-t02.png Uniform polyhedron-53-t012.png Uniform polyhedron-53-s012.png
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
{5,3} t{5,3} r{5,3} t{3,5} {3,5} rr{5,3} tr{5,3} sr{5,3}
Duale ale poliedrelor uniforme
Icosahedron.jpg Triakisicosahedron.jpg Rhombictriacontahedron.jpg Pentakisdodecahedron.jpg Dodecahedron.jpg Deltoidalhexecontahedron.jpg Disdyakistriacontahedron.jpg Pentagonalhexecontahedronccw.jpg
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5
Variante de simetrii *n32 ale pavărilor trunchiate: n.6.6
Sim.
*n42
[n,3]
Sferică Euclid. Compactă Paracomp. Hiperbolică necompactă
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
[12i,3] [9i,3] [6i,3]
Figuri
trunchiate
Hexagonal dihedron.svg Uniform tiling 332-t12.png Uniform tiling 432-t12.png Uniform tiling 532-t12.png Uniform tiling 63-t12.svg Truncated order-7 triangular tiling.svg H2-8-3-trunc-primal.svg H2 tiling 23i-6.png H2 tiling 23j12-6.png H2 tiling 23j9-6.png H2 tiling 23j-6.png
Config. 2.6.6 3.6.6 4.6.6 5.6.6 6.6.6 7.6.6 8.6.6 ∞.6.6 12i.6.6 9i.6.6 6i.6.6
Figuri
n-kis
Hexagonal Hosohedron.svg Spherical triakis tetrahedron.png Spherical tetrakis hexahedron.png Spherical pentakis dodecahedron.png Uniform tiling 63-t2.svg Heptakis heptagonal tiling.svg H2-8-3-kis-dual.svg H2checkers 33i.png
Config. V2.6.6 V3.6.6 V4.6.6 V5.6.6 V6.6.6 V7.6.6 V8.6.6 V∞.6.6 V12i.6.6 V9i.6.6 V6i.6.6

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • en Williams, Robert (). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
  • en Wenninger, Magnus (). Dual Models. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54325-5. MR 0730208.  (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 18, Pentakisdodecahedron)
  • en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss (2008), The Symmetries of Things, ISBN: 978-1-56881-220-5 [1] (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 284, Triakis icosahedron)

Legături externe[modificare | modificare sursă]