Rombicuboctaedru

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare
Rombicuboctaedru
Rhombicuboctahedron.jpg
(animație și model 3D)
Descriere
TipPoliedru arhimedic
Fețe26 (8 triunghiuri, 6 pătrate, 12 dreptunghiulare)
Laturi (muchii)48
Vârfuri24
χ2
Configurația vârfului3.4.4.4
Simbol Wythoff3 4 | 2
Simbol Schläflirr{4,3} sau
t0,2{4,3}
Simbol ConwayeC sau aaC
aaaT
Diagramă CoxeterCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Grup de simetrieOh, B3, [4,3], (*432), ordin 48
Grup de rotațieO, [4,3]+, (432), ordin 24
Arie≈ 21,464 a2   (a = latura)
Volum≈   8,714 a3   (a = latura)
Unghi diedru3-4: 144° 44′ 08″ (144,74°)
4-4: 135°
Poliedru dualIcositetraedru romboidal
ProprietățiPoliedru cvasiregulat, convex cu fețe poligoane regulate, tranzitiv pe vârfuri și laturi
Figura vârfului
Polyhedron small rhombi 6-8 vertfig.svg
Desfășurată
Polyhedron small rhombi 6-8 net.svg

În geometrie rombicuboctaedrul sau micul rombicuboctaedru este un poliedru arhimedic. Are 26 de fețe regulate (8 triunghiulare și 6 pătrate și 12 dreptunghiulare), 48 de laturi (muchii) identice. Există 24 de vârfuri identice, cu un triunghi, un pătrat și două dreptunghiuri care se întâlnesc la fiecare. (De observat că această formă poate avea pătratele ca fețe dreptunghiulare, dar pentru a fi un poliedru arhimedic ele trebuie să fie pătrate.) Poliedrul are simetrie octaedrică, ca și cubul și octaedrul. Dualul său este icositetraedrul romboidal sau icositetraedrul trapezoidal, deși fețele acestuia nu sunt trapeze adevărate.

Are indicele de poliedru uniform U10,[1] indicele Coxeter C22 și indicele Wenninger W13.

Nume[modificare | modificare sursă]

Johannes Kepler în Harmonices Mundi (1618) a numit acest poliedru rombicuboctaedru, fiind prescurtarea de la romb cuboctaedric trunchiat, unde romb cuboctaedric era numele dat de el dodecaedrului rombic.[2] Există diferite trunchieri ale unui dodecaedru rombic într-un rombicuboctaedru topologic: în mod evident rectificarea (la stânga), cea care creează un poliedru uniform (în centru) și rectificarea dualului cuboctaedrului (la dreapta), care este nucleul compusului dual.

Poate fi numit și un cub sau octaedru expandat sau cantelat, din operațiunile de trunchiere pe oricare poliedru uniform.

Dual: Icositetraedru romboidal

Coordonate carteziene[modificare | modificare sursă]

Coordonatele carteziene ale vârfurilor unui rombicuboctaedru centrat în origine, cu lungimea laturii de 2, sunt toate permutările

(±1, ±1, ±(1 + 2)).

Dacă rombicuboctaedrul are lungimea laturii 1, dualul său, icositetraedrul romboidal are lungimea laturii

și

Arie și volum[modificare | modificare sursă]

Aria A și volumul V ale unui rombicuboctaedru cu lungimea laturii a sunt:

Relații geometrice[modificare | modificare sursă]

Rombicuboctaedrul poate fi considerat fie un cub expandat (fețele albastre), fie un octaedru expandat (fețele roșii)

Există variante distorsionate ale rombicuboctaedrului, care, deși unele dintre fețe nu sunt poligoane regulate, sunt totuși uniforme pe vârfuri. Unele dintre acestea pot fi realizate prin tăierea laturilor unui cub sau unui octaedru, apoi tăierea colțurilor, astfel încât poliedrul rezultat să aibă șase fețe pătrate și douăsprezece dreptunghiulare. Acestea au simetrie octaedrică și formează o serie continuă între cub și octaedru, analogă cu distorsionările rombicosidodecaedrului sau distorsionărilor tetraedrice ale cuboctaedrului. Totuși, rombicuboctaedrul are și un al doilea set de distorsionări, cu șase fețe dreptunghiulare și șaisprezece trapezoidale, care nu au simetrie octaedrică ci simetrie Th, deci sunt invariante sub aceleași rotații ca și tetraedrul, însă cu reflexii diferite.

Rombicuboctaedrul este folosit în trei teselări uniforme ale spațiului: fagurele cubic cantelat, fagurele cubic runcitrunchiat și fagurele cubic alternat runcinat.

Exploded rhombicuboctahedron.png Small rhombicuboctahedron.png
Rombicuboctaedru
Pseudorhombicuboctahedron.png
Pseudoroombicuboctaedru

Divizare[modificare | modificare sursă]

Există trei perechi de plane paralele, intersecțiile lor cu un rombicuboctaedru fiind octogoane regulate. Rombicuboctaedrul poate fi divizat de oricare pereche pentru a obține o prismă octogonală centrală cu fețe regulate și două cupole pătrate, care sunt poliedre Johnson; este deci o ortobicupolă pătrată alungită. Aceste poliedre pot fi reasamblate după rotirea unei cupole cu 45° pentru a da un nou poliedru, numit girobicupolă pătrată alungită sau pseudorombicuboctaedru, cu simetria unei antiprisme pătrate. În acesta, toate vârfurile sunt la fel cu cele ale unui rombicuboctaedru, cu figura vârfului 3.4.4.4, adică în fiecare vârf se întâlnesc un triunghi și trei pătrate, dar nu sunt toate identice față de întregul poliedru, deoarece unele sunt mai aproape de axa de simetrie decât altele.

Proiecții ortogonale[modificare | modificare sursă]

Rombicuboctaedrul are șase proiecții ortogonale particulare, centrate pe un vârf, pe două tipuri de laturi și pe trei tipuri de fețe: una triunghiulară și două pătrate. Ultimele două corespund cu planele Coxeter B2 și A2.

Proiecții ortogonale
Centrată pe Vârf Latura 3-4 Latura 4-4 Fața
pătrată 1
Fața
pătrată 2
Fața
triunghi
Imagine Polyhedron small rhombi 6-8 from blue max.png Polyhedron small rhombi 6-8 from red max.png Polyhedron small rhombi 6-8 from yellow max.png
Cadru de sârmă Cube t02 v.png Cube t02 e34.png Cube t02 e44.png Cube t02 f4b.png 3-cube t02 B2.svg 3-cube t02.svg
Simetrie
proiectivă
[2] [2] [2] [2] [4] [6]
Dual Dual cube t02 v.png Dual cube t02 e34.png Dual cube t02 e44.png Dual cube t02 f4b.png Dual cube t02 B2.png Dual cube t02.png

Pavare sferică[modificare | modificare sursă]

Rombicuboctaedrul poate fi reprezentat și ca o pavare sferică și proiectat în plan printr-o proiecție stereografică. Această proiecție este conformă, păstrând unghiurile, dar nu ariile sau lungimile. Liniile drepte pe sferă sunt proiectate în plan ca arce de cerc.

Uniform tiling 432-t02.png Rhombicuboctahedron stereographic projection square.png
(6) centrată pe pătrat
Rhombicuboctahedron stereographic projection square2.png
(6) centrată pe pătrat
Rhombicuboctahedron stereographic projection triangle.png
(8) centrată pe triunghi
Proiecție ortogonală Proiecții stereografice

Simetrie piritoedrică[modificare | modificare sursă]

O formă cu jumătate din simetria rombicuboctaedrului, CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.png, există cu simetrie piritoedrică, [4,3+], (3*2), cu diagrama Coxeter CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node 1.png, simbolul Schläfli s2{3,4} și poate fi numit octaedru snub cantic. Această formă poate fi vizualizată prin colorarea alternativă a marginilor celor 6 pătrate. Aceste pătrate pot fi apoi distorsionate în dreptunghiuri, în timp ce cele 8 triunghiuri rămân echilaterale. Cele 12 fețe pătrate diagonale vor deveni trapeze isoscele. La limită, dreptunghiurile pot fi reduse la laturi, trapezele devin triunghiuri, iar un icosaedru se formează, printr-o construcție octaedru snub, CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.png, s{3,4}. (Compusul de două icosaedre este construit din cele două poziții alternate.)

Poliedre înrudite[modificare | modificare sursă]

Rombicuboctaedrul face parte dintr-o familie de poliedre uniforme legate de cubul și octaedrul regulat.

Poliedre octaedrice uniforme    
Simetrie: [4,3], (*432) [4,3]+
(432)
[1+,4,3] = [3,3]
(*332)
[3+,4]
(3*2)
{4,3} t{4,3} r{4,3}
r{31,1}
t{3,4}
t{31,1}
{3,4}
{31,1}
rr{4,3}
s2{3,4}
tr{4,3} sr{4,3} h{4,3}
{3,3}
h2{4,3}
t{3,3}
s{3,4}
s{31,1}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node.png
CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png =
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png sau CDel nodes 01rd.pngCDel split2.pngCDel node.png
CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png =
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.png sau CDel nodes 01rd.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h0.png =
CDel node h.pngCDel split1.pngCDel nodes hh.png
Uniform polyhedron-43-t0.svg Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg
Uniform polyhedron-33-t02.png
Uniform polyhedron-43-t12.svg
Uniform polyhedron-33-t012.png
Uniform polyhedron-43-t2.svg
Uniform polyhedron-33-t1.png
Uniform polyhedron-43-t02.png
Rhombicuboctahedron uniform edge coloring.png
Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform polyhedron-43-s012.png Uniform polyhedron-33-t0.pngUniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-33-t01.pngUniform polyhedron-33-t12.png Uniform polyhedron-43-h01.svg
Uniform polyhedron-33-s012.svg
Dualele celor de mai sus
V43 V3.82 V(3.4)2 V4.62 V34 V3.43 V4.6.8 V34.4 V33 V3.62 V35
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Octahedron.svg Triakisoctahedron.jpg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Hexahedron.svg Deltoidalicositetrahedron.jpg Disdyakisdodecahedron.jpg Pentagonalicositetrahedronccw.jpg Tetrahedron.svg Triakistetrahedron.jpg Dodecahedron.svg


Variante de simetrie[modificare | modificare sursă]

Acest poliedru este înrudit din punct de vedere topologic ca parte a secvenței de poliedre cantelate cu figura vârfului (3.4.n.4) și continuă ca pavări ale planului hiperbolic. Aceste figuri tranzitive pe vârfuri au simetria (*n32) în notația orbifold.

Variante de pavări expandate cu simetrie *n32: 3.4.n.4
Simetrie
*n32
[n,3]
Sferice Euclid. Hiperb. compacte Paracomp.
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
Imagine Spherical triangular prism.png Uniform tiling 332-t02.png Uniform tiling 432-t02.png Uniform tiling 532-t02.png Uniform polyhedron-63-t02.png Rhombitriheptagonal tiling.svg H2-8-3-cantellated.svg H2 tiling 23i-5.png
Vârf 3.4.2.4 3.4.3.4 3.4.4.4 3.4.5.4 3.4.6.4 3.4.7.4 3.4.8.4 3.4.∞.4
Variante de pavări expandate cu simetrii orbifold *n42: n.4.4.4
Simetrie
*n42
[n,4]
Sferică Euclidiană Hiperbolice compacte Paracomp.
*342
[3,4]
*442
[4,4]
*542
[5,4]
*642
[6,4]
*742
[7,4]
*842
[8,4]
*∞42
[∞,4]
Figuri
expandate
Uniform tiling 432-t02.png Uniform tiling 44-t02.png H2-5-4-cantellated.svg Uniform tiling 64-t02.png Uniform tiling 74-t02.png Uniform tiling 84-t02.png H2 tiling 24i-5.png
Config. 3.4.4.4 4.4.4.4 5.4.4.4 6.4.4.4 7.4.4.4 8.4.4.4 ∞.4.4.4
Figuri
rombice
config.
Spherical deltoidal icositetrahedron.png
V3.4.4.4
Uniform tiling 44-t0.svg
V4.4.4.4
H2-5-4-deltoidal.svg
V5.4.4.4
Deltoidal tetrahexagonal til.png
V6.4.4.4
Deltoidal tetraheptagonal til.png
V7.4.4.4
Deltoidal tetraoctagonal til.png
V8.4.4.4
Deltoidal tetraapeirogonal tiling.png
V∞.4.4.4

Aranjamentul vârfurilor[modificare | modificare sursă]

Are același aranjament al vârfurilor cu trei poliedre uniforme neconvexe: hexaedrul trunchiat stelat, micul rombihexaedru (având în comun fețele triunghiulare și șase fețe pătrate) și micul cubicuboctaedru (având în comun douăsprezece fețe pătrate).

Small rhombicuboctahedron.png
Rombicuboctaedrul
Small cubicuboctahedron.png
Micul cubicuboctaedru
Small rhombihexahedron.png
Micul rombihexaedru
Stellated truncated hexahedron.png
Hexaedrul trunchiat stelat

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ en Eric W. Weisstein, Uniform Polyhedron la MathWorld.
  2. ^ en Harmonies Of The World by Johannes Kepler, Translated into English with an introduction and notes by E. J. Aiton, A. M. Duncan, J. V. Field, 1997, ISBN: 0-87169-209-0, p. 119)

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • en Williams, Robert (). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
  • en Cromwell, P. (). Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. pp. 79–86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2. 
  • en Coxeter, H.S.M.; Longuet-Higgins, M.S.; Miller, J.C.P. (). „Uniform Polyhedra”. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 246 (916): 401–450. Bibcode:1954RSPTA.246..401C. doi:10.1098/rsta.1954.0003. 

Legături externe[modificare | modificare sursă]