Pavare hexagonală

Pavare hexagonală
Descriere
Tip	pavare uniformă
Configurația vârfului	6.6.6 (sau 63)
Configurația feței	V3.3.3.3.3.3 (sau V36)
Simbol Wythoff	3 | 6 2 2 6 | 3 3 3 3 |
Simbol Schläfli	{6,3} t{3,6}
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	p6m, [6,3], (*632)
Grup de rotație	p4, [6,3]+, (632)
Poliedru dual	pavare triunghiulară
Proprietăți	tranzitivă pe fețe, pe laturi și pe vârfuri
Figura vârfului

Pavarea duală

În geometrie pavarea hexagonală sau teselarea hexagonală este o pavare regulată a planului euclidian, în care exact trei hexagoane se întâlnesc în fiecare vârf. Are simbolul Schläfli {6,3} sau t{3,6} (ca o pavare triunghiulară trunchiată).

Unghiul intern al hexagonului este de 120°, astfel încât trei hexagoane în jurul unui punct acoperă 360°. Este una dintre cele trei pavări regulate ale planului. Celelalte două sunt pavarea triunghiulară și pavarea pătrată.

Aplicații

Pavarea hexagonală este cea mai densă modalitate de a împacheta cercuri în spațiul bidimensional. Conjectura fagurelui afirmă că pavarea hexagonală este cea mai bună modalitate de a împărți o suprafață în regiuni de suprafață egală cu cel mai mic perimetru total. Structura tridimensională optimă pentru realizarea fagurilor (sau a bulelor de săpun) a fost investigată de Lord Kelvin, care credea că rețeaua cubică centrată intern este optimă. Totuși, structura Weaire–Phelan^⁠(d), mai puțin obișnuită, este puțin mai bună.

Această structură există în natură la grafit, unde fiecare foaie de grafen seamănă cu plasa rabiț, cu legături puternice de carbon covalent. Au fost sintetizate foi tubulare de grafen; acestea sunt cunoscute ca nanotuburi de carbon. Au multe aplicații potențiale, datorită rezistenței la rupere^⁠(d) și proprietăților electrice ridicate. Silicenul este similar.

Plasa rabiț este formată dintr-o rețea hexagonală (adesea neregulată) din sârmă.

• 

  Cea mai deasă împachetare a cercurilor este asemănătoare cu pavarea hexagonală

• 

  Gard din plasă rabiț

• 

  Grafen

• 

  Un nanotub de carbon poate fi considerat o pavare hexagonală a unei suprafețe cilindrice

Pavarea hexagonală apare în multe cristale. În spațiul tridimensional rețeaua cubică cu fețe centrate și împachetarea compactă a sferelor^⁠(d) sunt structuri cristaline comune. Sunt cele mai dense aranjări ale sferelor în tridimensional. Structural, ele sunt formate din straturi paralele de pavări hexagonale, similare cu structura grafitului. Ele diferă prin modul în care straturile sunt eșalonate unul față de celălalt, rețeaua cubică cu fețe centrate fiind cea mai regulată dintre cele două. Cuprul pur, printre alte materiale, formează o rețea cubică cu fețe centrate.

Colorare uniformă

Există trei colorări uniforme distincte ale unei pavări hexagonale, toate generate din simetria de reflexie a construcțiilor Wythoff. (h,k) reprezintă repetarea periodică a unei pavări colorate, numărând distanțele hexagonale ca h mai întâi și apoi k. Aceeași numărare este folosită în poliedrele Goldberg, cu notația {p+,3}_h,k, și poate fi aplicată la pavări hiperbolice pentru p > 6.

k-uniformă	1-uniformă			2-uniformă		3-uniformă
Simetrie	p6m, (*632)		p3m1, (*333)	p6m, (*632)		p6, (632)
Imagine
Culori	1	2	3	2	4	2	7
(h,k)	(1,0)	(1,1)		(2,0)		(2,1)
Schläfli	{6,3}	t{3,6}	t{3[3]}
Wythoff	3 | 6 2	2 6 | 3	3 3 3 |
Coxeter
Conway	H	tΔ		cH=t6daH		wH=t6dsH

Pavarea cu 3 culori este o teselare generată de permutoedre de ordinul 3.

Pavare hexagonală șanfrenată

La limită, pavarea hexagonală șanfrenată degenerează într-o pavare rombică

La o pavare hexagonală șanfrenată^⁠(d) („teșită”) se înlocuiesc laturile cu noi hexagoane, iar pavarea se transformă într-o altă pavare hexagonală. La limită, fețele originale dispar, noile hexagoane degenerează în romburi, iar pavarea devine o pavare rombică.

Hexagoane (H)	Hexagoane șanfrenate (cH)			Romburi (daH)

Pavări înrudite

Hexagoanele pot fi divizate în seturi de 6 triunghiuri. Acest proces duce la două pavări 2-uniforme și pavarea triunghiulară:

Pavare regulată	Divizare	Pavări 2-uniforme		Pavare regulată	Inserții	Pavare duală
Originala		divizare la 1/3	divizare la 2/3	divizare completă		E → IH → FH → H

Pavare rombică

Pavare hexagonală

Pavarea hexagonală poate fi considerată o pavare rombică alungită, unde fiecare vârf al pavării rombice este întins într-o nouă latură. Aceasta este similară cu relația dintre teselările tridimensionale fagurele dodecaedric rombic și dodecaedrul rombo-hexagonal.

De asemenea, este posibil să se divizeze dalele anumitor pavări hexagonale în două, trei, patru sau nouă pentagoane egale:

Pavări pentagonale

de tip 1, în care hexagoanele regulate sunt înlocuite de 2 pentagoane

de tip 3, în care hexagoanele regulate sunt înlocuite de 3 pentagoane

de tip 4, în care hexagoanele regulate sunt înlocuite de 4 pentagoane

de tip 3, în care hexagoanele regulate sunt înlocuite de 3 sau 9 pentagoane

Variante de simetrie

Această pavare este legată din punct de vedere topologic ca parte a secvenței de pavări regulate cu fețe hexagonale, începând cu pavarea hexagonală, cu simbolul Schläfli {6,n} și diagrama Coxeter , mergând la infinit.

Variante de pavări regulate cu simetria *n62: {6,n}
Sferică	Euclidiană	Pavări hiperbolice
{6,2}	{6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}	...	{6,∞}

Această pavare este legată din punct de vedere topologic cu poliedrele cu figura vârfului n³, ca parte a secvenței care continuă în planul hiperbolic.

Variante de pavări regulate cu simetria *n62: {6,n}
Sferică	Euclidiană	Pavări hiperbolice
{6,2}	{6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}	...	{6,∞}

Similar, este înrudită cu poliedrele uniforme trunchiate cu figura vârfului n.6.6.

Variante de simetrii *n32 ale pavărilor trunchiate: n.6.6
Sim. *n42 [n,3]	Sferică				Euclid.	Compactă		Paracomp.	Hiperbolică necompactă
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]
Figuri trunchiate
Config.	2.6.6	3.6.6	4.6.6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6	∞.6.6	12i.6.6	9i.6.6	6i.6.6
Figuri n-kis
Config.	V2.6.6	V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6	V8.6.6	V∞.6.6	V12i.6.6	V9i.6.6	V6i.6.6

Această pavare face parte și din secvența poliedrelor rombice trunchiate și a pavărilor cu simetrie Coxeter [n,3]. Cub poate fi considerat un hexaedru rombic la care romburile sunt pătrate. Formele trunchiate au n-goane regulate la vârfurile trunchiate și fețe hexagonale neregulate.

Variante de pavări cvasiregulate duale: V(3.n)2
*n32	Sferice			Euclidiană	Hiperbolice
	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Pavare
Conf.	V(3.3)2	V(3.4)2	V(3.5)2	V(3.6)2	V(3.7)2	V(3.8)2	V(3.∞)2

Construcții Wythoff din pavări hexagonale și triunghiulare

Ca și la poliedrele uniforme, există opt pavări uniforme care pot fi bazate pe pavarea hexagonală regulată (sau pe duala sa, pavarea triunghiulară).

Desenând dalele colorate cu roșu pe fețele originale, galbene în vârfurile originale și albastre de-a lungul laturilor originale, exisă 8 forme, dintre care 7 sunt topologic distincte. (Pavarea triunghiulară trunchiată este identică topologic cu pavarea hexagonală.)

Pavări hexagonale/triunghiulare uniforme
Domenii fundamentale	Simetrie: [6,3], (*632)							[6,3]+, (632)
	{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	t{3,6}	{3,6}	rr{6,3}	tr{6,3}	sr{6,3}
Config.	63	3.12.12	(6.3)2	6.6.6	36	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

Pavări echivalente topologic

Plasările hexagonale pot fi realizate cu topologia {6,3} identică cu cea regulată (3 hexagoane în jurul fiecărui vârf). Cu fețele izoedrice, există 13 variante. Simetria dată presupune că toate fețele sunt de aceeași culoare. Aici culorile reprezintă pozițiile rețelei. Rețelele monocolore (cu 1 tip de dală) sunt formate din hexagoane paralelogoane.

13 pavări hexagonale izoedrice

pg (××)		p2 (2222)	p3 (333)	pmg (22*)
pgg (22×)			p31m (3*3)	p2 (2222)	cmm (2*22)	p6m (*632)

Alte pavări izoedrice, topologic cu dale hexagonale, care sunt văzute ca patrulatere și pentagoane care nu sunt aliniate latură la latură, ci interpretate ca laturi adiacente coliniare:

Pavări izoedrice cu dreptunghiuri

pmg (22*)		pgg (22×)			cmm (2*22)	p2 (2222)
Paralelogram	Trapez	Paralelogram	Dreptunghi	Paralelogram	Dreptunghi	Dreptunghi

Pavări izoedrice cu pentagoane

p2 (2222)	pgg (22×)	p3 (333)

Teselările 2- și 3-uniforme au un grad de libertate de rotație care distorsionează 2/3 din hexagoane, inclusiv un caz coliniar care poate fi văzut și ca o pavare care nu este latură la latură cu hexagoane și triunghiuri mai mari.

De asemenea, ele pot fi distorsionate într-o schemă tridimensională chirală cu 4 culori, distorsionând unele hexagoane în paralelograme. Modelul cu fețe în 2 culori are simetrie 632 (p6). Un model ca simbolul Chevron are simetria pmg (22*), care este degradată la p1 (°) în cazul colorărilor cu 3 sau 4 culori.

Regulată	Girată	Regulată	Împletită	Chevron
p6m, (*632)	p6, (632)	p6m (*632)	p6 (632)	p1 (°)
p3m1, (*333)	p3, (333)	p6m (*632)	p2 (2222)	p1 (°)

Bibliografie

• en Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN: 0-486-61480-8 p. 296, Table II: Regular honeycombs
• en Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987). Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.  (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings, pp. 58–65)
• en Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. p. 35. ISBN 0-486-23729-X. 
• en John Horton Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5 [1]

Legături externe

• Materiale media legate de pavare hexagonală la Wikimedia Commons
• en Eric W. Weisstein, Hexagonal Grid la MathWorld.

• en Eric W. Weisstein, Regular tessellation la MathWorld.
• en Eric W. Weisstein, Uniform tessellation la MathWorld.

• en Klitzing, Richard. „2D Euclidean tilings o3o6x – hexat – O3”. 

Faguri convecși regulați și uniformi în dimensiunile 2–8
Spațiu	Familia	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\tilde {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / ${\tilde {F}}_{4}$ / ${\tilde {E}}_{n-1}$
E2	Pavare uniformă	{3[3]}	δ3	hδ3	qδ3	Hexagonală
E3	Fagure convex uniform	{3[4]}	δ4	hδ4	qδ4
E4	4-fagure uniform	{3[5]}	δ5	hδ5	qδ5	Fagure 24-celule
E5	5-fagure uniform	{3[6]}	δ6	hδ6	qδ6
E6	6-fagure uniform	{3[7]}	δ7	hδ7	qδ7	222
E7	7-fagure uniform	{3[8]}	δ8	hδ8	qδ8	133 • 331
E8	8-fagure uniform	{3[9]}	δ9	hδ9	qδ9	152 • 251 • 521
En-1	(n−1)-fagure uniform	{3[n]}	δn	hδn	qδn	1k2 • 2k1 • k21