Icosidodecaedru

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare
Icosidodecaedru
Icosidodecahedron.jpg
(animație și model 3D)
Descriere
TipPoliedru arhimedic
Fețe32 (20 triunghiuri, 12 pentagoane)
Laturi (muchii)60
Vârfuri30
χ2
Configurația vârfului3.5.3.5
Simbol Wythoff2 | 3 5
Simbol Schläflir{5,3}
t1{5,3}
Simbol ConwayaD
Diagramă CoxeterCDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Grup de simetrieIh, H3, [5,3], (*532), ordin 120
Grup de rotațieI, [5,3]+, (532), ordin 60
Arie≈ 29,306 a2   (a = latura)
Volum≈ 13,836 a3   (a = latura)
Unghi diedru142,62° =
=
Poliedru dualTriacontaedru rombic
ProprietățiPoliedru cvasiregulat, convex cu fețe poligoane regulate, tranzitiv pe vârfuri și laturi
Figura vârfului
Polyhedron 12-20 vertfig.svg
Desfășurată
Polyhedron 12-20 net.svg
Dual: Triacontaedru rombic

În geometrie icosidodecaedrul este un poliedru arhimedic. Are 32 de fețe regulate (20 triunghiulare și 12 pentagonale), 24 de laturi (muchii) identice, care fiecare sunt la limita dintre un triunghi și un pentagon. Are 30 de vârfuri, în fiecare întâlnindu-se două triunghiuri și două pentagoane, care alternează. Ca atare, este un poliedru cvasiregulat

Dualul său este triacontaedrul rombic.

Are indicele de poliedru uniform U24,[1] indicele Coxeter C28 și indicele Wenninger W12.

Proiectat într-o sferă, laturile unui icosidodecaedru definesc 6 cercuri mari. Buckminster Fuller a folosit aceste 6 cercuri mari, împreună cu alte 15 și alte 10 din alte două poliedre pentru a-și defini cele 31 de cercuri mari ale icosaedrului sferic.


Geometrie[modificare | modificare sursă]

Un icosidodecaedru are simetrie icosaedrică, iar prima sa stelare este compusul de dodecaedru și icosaedrul său dual, cu vârfurile icosidodecaedrului situate la mijlocul laturilor fiecăruia.

Dualul său este triacontaedrul rombic. Un icosidodecaedru poate fi împărțit de-a lungul oricăruia dintre cele șase plane ecuatoriale pentru a forma o pereche de rotonde pentagonale, care sunt poliedre Johnson.

Icosidodecaedrul poate fi considerat o girobirotondă pentagonală, ca o combinație a două rotonde pentagonale (a se compara cu ortobirotonda pentagonală, altul dintre poliedrele Johnson). În această formă simetria sa este D5d, [10,2+], (2*5), ordin 20.

Figura cadru de sârmă a icosidodecaedrului constă din șase decagoane regulate, care se întâlnesc câte două în fiecare dintre cele 30 de vârfuri.

Icosidodecaedrul are 6 decagoane centrale. Proiectate pe o sferă, ele definesc 6 cercuri mari. Buckminster Fuller a folosit aceste 6 cercuri mari, împreună cu alte 10 și alte 15 din alte două poliedre pentru a-și defini cele 31 de cercuri mari ale icosaedrului sferic.

Coordonate carteziene[modificare | modificare sursă]

Coordonatele carteziene ale vârfurilor unui icosidodecaedru centrat în origine cu lungimea laturii 1 sunt date de permutările pare ale:[2][3]

  • (0, 0, ±φ)
  • 1/2, ±φ/2, ±φ2/2)

unde φ este secțiunea de aur, 1 + 5/2.

Raza lungă (de la centru la vârf) a icosidodecaedrului este în raportul de aur cu lungimea laturii sale; astfel, raza sa este φ dacă lungimea laturii este 1, iar lungimea laturii este 1/φ dacă raza este 1. Doar câteva politopuri uniforme au această proprietate, cum ar fi 600-celule cvadridimensional, icosidodecaedrul tridimensional și decagonul bidimensional. (Icosidodecaedrul este secțiunea transversală ecuatorială a unui 600-celule, iar decagonul este secțiunea transversală ecuatorială a unui icosidodecaedru.) Aceste politopuri „de aur radiale” pot fi construite, cu razele lor, din triunghiuri de aur care se întâlnesc în centru, fiecare contribuind cu două raze și o latură.

Arie și volum[modificare | modificare sursă]

Aria A și volumul V ale unui icosidodecaedru cu lungimea laturii a sunt:

Proiecții ortogonale[modificare | modificare sursă]

Icosidodecaedrul are patru proiecții ortogonale, centrate pe un vârf, pe o latură și pe două tipuri de fețe: triunghiulare și pentagonale. Ultimele două corespund cu planele Coxeter A2 și H2.

Proiecții ortogonale
Centrată pe Vârf Latură Fața
triunghi
Fața
pentagon
Imagine Polyhedron 12-20 from blue max.png Polyhedron 12-20 from yellow max.png Polyhedron 12-20 from red max.png
Cadru de sârmă Dodecahedron t1 v.png Dodecahedron t1 e.png Dodecahedron t1 A2.png Dodecahedron t1 H3.png
Simetrie
proiectivă
[2] [2] [6] [10]
Dual Dual dodecahedron t1 v.png Dual dodecahedron t1 e.png Dual dodecahedron t1 A2.png Dual dodecahedron t1 H3.png

Pavări sferice[modificare | modificare sursă]

Cele 60 de laturi formează 6 decagoane corespunzând cercurilor mari din pavarea sferică.

Icosidodecaedrul poate fi reprezentat și ca o pavare sferică și proiectat pe plan printr-o proiecție stereografică. Această proiecție este conformă, păstrând unghiurile, dar nu ariile sau lungimile. Liniile drepte pe sferă sunt proiectate în plan ca arce de cerc.

Uniform tiling 532-t1.png
&nbsp
Icosidodecahedron stereographic projection pentagon.png
Centrată pe pentagon
Icosidodecahedron stereographic projection triangle.png
Centrată pe triunghi
Proiecție ortogonală Proiecții stereografice

Divizare[modificare | modificare sursă]

Dissected icosidodecahedron.png
(Divizare)
Icosidodecahedron.png
Icosidodecaedru
(girobirotondă pentagonală)
Pentagonal orthobirotunda solid.png
Ortobirotondă pentagonală
Pentagonal rotunda.png
Rotondă pentagonală

Icosidodecaedrul este asemănător cu poliedrul Johnson ortobirotondă pentagonală creat de două rotonde pentagonale conectate ca imagini în oglindă. Prin urmare, icosidodecaedrul poate fi numit girobirotondă pentagonală cu girația între jumătățile superioară și inferioară.

Icosidodecaedrul este un dodecaedru rectificat și, de asemenea, un icosaedru rectificat, fiind o trunchiere completă a laturilor între aceste poliedre regulate. Icosidodecaedrul conține 12 pentagoane care provin de la dodecaedru și 20 de triunghiuri de la icosaedru:

Familia de poliedre icosaedrice uniforme
Simetrie: [5,3], (*532) [5,3]+, (532)
Uniform polyhedron-53-t0.svg Uniform polyhedron-53-t01.svg Uniform polyhedron-53-t1.svg Uniform polyhedron-53-t12.svg Uniform polyhedron-53-t2.svg Uniform polyhedron-53-t02.png Uniform polyhedron-53-t012.png Uniform polyhedron-53-s012.png
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
{5,3} t{5,3} r{5,3} t{3,5} {3,5} rr{5,3} tr{5,3} sr{5,3}
Duale ale poliedrelor uniforme
Icosahedron.jpg Triakisicosahedron.jpg Rhombictriacontahedron.jpg Pentakisdodecahedron.jpg Dodecahedron.jpg Deltoidalhexecontahedron.jpg Disdyakistriacontahedron.jpg Pentagonalhexecontahedronccw.jpg
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5

Icosidodecaedrul există într-o succesiune de simetrii de poliedre și pavări cvasiregulate cu configurații ale vârfului (3.n)2, de la pavări sferice la planul euclidian și planul hiperbolic. Cu notația orbifold a simetriei *n32 toate aceste pavări sunt construcții Wythoff într-un domeniu fundamental de simetrie, cu puncte generatoare în unghiul drept al domeniului.[4][5]

Pavări cvasiregulate cu simetrii orbifold *n32: (3.n)2
Quasiregular fundamental domain.png
Construcție
Sferic Euclidian Hiperbolic
*332 *432 *532 *632 *732 *832... *∞32
Figuri
cvasiregulate
Uniform tiling 332-t1-1-.png Uniform tiling 432-t1.png Uniform tiling 532-t1.png Uniform tiling 63-t1.svg Triheptagonal tiling.svg H2-8-3-rectified.svg H2 tiling 23i-2.png
Vârf (3.3)2 (3.4)2 (3.5)2 (3.6)2 (3.7)2 (3.8)2 (3.∞)2
Variante de pavări cvasiregulate cu simetrii orbifold *5n32: (5.n)2
Simetrie
*5n2
[n,5]
Sferică Hiperbolice Paracomp. Necompactă
*352
[3,5]
*452
[4,5]
*552
[5,5]
*652
[6,5]
*752
[7,5]
*852
[8,5]...
*∞52
[∞,5]
 
[ni,5]
Imagini Uniform tiling 532-t1.png H2-5-4-rectified.svg H2 tiling 255-2.png H2 tiling 256-2.png H2 tiling 257-2.png H2 tiling 258-2.png H2 tiling 25i-2.png
Config. (5.3)2 (5.4)2 (5.5)2 (5.6)2 (5.7)2 (5.8)2 (5.∞)2 (5.ni)2
Figuri
rombice
Rhombictriacontahedron.jpg H2-5-4-rhombic.svg H2-5-4-primal.svg Order-6-5 quasiregular rhombic tiling.png
Config. V(5.3)2 V(5.4)2 V(5.5)2 V(5.6)2 V(5.7)2 V(5.8)2 V(5.∞)2 V(5.∞)2
Icosidodecaedru în cub trunchiat

Un cub trunchiat poate fi transformat într-un icosidodecaedru prin divizarea octogoanelor în două pentagoane și două triunghiuri. Are simetrie piritoedrică.

Opt poliedre stelate uniforme au același aranjament al vârfurilor. Dintre acestea, două au același aranjament al laturilor: micul icosihemidodecaedru (care are fețele triunghiulare în comun) și micul dodecahemidodecaedru (care are fețele pentagonale în comun). Aranjamentul vârfurilor este, de asemenea, la fel cu al compușilor de cinci octaedre și de cinci tetrahemihexaedre.

Icosidodecahedron.png
Icosidodecaedru
Small icosihemidodecahedron.png
Micul icosihemidodecaedru
Small dodecahemidodecahedron.png
Micul dodecahemidodecaedru
Great icosidodecahedron.png
Marele icosidodecaedru
Great dodecahemidodecahedron.png
Marele dodecahemidodecaedru
Great icosihemidodecahedron.png
Marele icosihemidodecaedru
Dodecadodecahedron.png
Dodecadodecaedru
Small dodecahemicosahedron.png
Micul dodecahemicosaedru
Great dodecahemicosahedron.png
Marele dodecahemicosaedru
Compound of five octahedra.png
Compus de cinci octaedre
UC18-5 tetrahemihexahedron.png
Compus de cinci tetrahemihexaedre

Politopuri înrudite[modificare | modificare sursă]

În geometria cvadridimensională icosidodecaedrul apare ca secțiune ecuatorială prin 600-celule, vizibilă în primul moment al trecerii acestui politop prin spațiul tridimensional. Cu alte cuvinte, cele 30 de vârfuri ale acelui 600-celule care se află la distanțe de arc de 90° pe hipersfera circumscrisă printr-o pereche de vârfuri opuse sunt vârfurile unui icosidodecaedru. Figura cadru de sârmă a 600-celule este formată din 72 de decagoane regulate plane. Șase dintre acestea sunt decagoane ecuatoriale printr-o pereche de vârfuri opuse. Ele sunt tocmai cele șase decagoane care formează figura cadru de sârmă a icosidodecaedrului.

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ en Eric W. Weisstein, Uniform Polyhedron la MathWorld.
  2. ^ Coxeter 1973, p. 52, §3.7 Coordinates for the vertices of the regular and quasi-regular solids.
  3. ^ en Eric W. Weisstein, Icosahedral group la MathWorld.
  4. ^ en Coxeter Regular Polytopes, Third edition, (1973), Dover edition, ISBN: 0-486-61480-8 (Chapter V: The Kaleidoscope, Section: 5.7 Wythoff's construction, pp.86–88)
  5. ^ en Two Dimensional symmetry Mutations by Daniel Huson

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • en Robert Williams (1979), The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications Inc., ISBN: 0-486-23729-X. (Section 3-9)
  • en Cromwell, P. (). „Archimedean solids”. Polyhedra: "One of the Most Charming Chapters of Geometry". Cambridge: Cambridge University Press. pp. 79–86. ISBN 0-521-55432-2. OCLC 180091468. 

Legături externe[modificare | modificare sursă]