Logaritm

Logaritmul unui număr real pozitiv este exponentul puterii la care trebuie ridicat un alt număr fix (numit bază) pentru a se obține numărul dat.

Logaritmii au fost introduși de John Napier la începutul secolului al XVII-lea cu scopul de a simplifica modul de lucru în calculele matematice. Au fost repede adoptați de către navigatori, oameni de știință, ingineri și alți specialiști interesați în a face calcule matematice mai ușor cu ajutorul tabelelor de logaritmi și a riglelor de calcul. Astfel, operațiile lungi și obositoare de înmulțire a numerelor cu multe zecimale puteau fi înlocuite cu căutarea în tabelele de logaritmi și o simplă adunare (datorită proprietății fundamentale a logaritmilor: logaritmul unui produs este egal cu suma logaritmilor factorilor acelui produs).

Invenția lui John Napier a fost promovată îndeosebi de Henry Briggs și Johannes Kepler.

Noțiunea de logaritm a fost fundamentată mai riguros și extinsă de către Leonhard Euler, în secolul al XVII-lea, care a legat-o de funcția exponențială.

Definiție

Fie numărul real $\ x>0$. Logaritmul lui $\ x$ în baza $\ b>0$ , $b\ne 1$ , notat $\ {log}_{b} x$, este numărul $\ z$, astfel încât $\ b^z = x$ .

Proprietatea fundamentală a logaritmilor:

$\ {log}_{b} (xy) = \log _b x + \log _b y$ , unde $\ x,y >0$ ,$\ b>0$ , $b\ne 1$.

Exemple: $\ {log}_{2} 8 = 3$ ; $\ {log}_{b} 1 = 0$ , $\ {log}_{b} b = 1$ , $\ {log}_{2} {2^{100}} = 100$ .

Proprietăți de bază

Graficul funcţiei logaritmice cu baza 2.

Pentru $\ a,b>0$, $\ c>0$ , $\ c\ne 1$:

1. $\!\, \log_c (a b) = \log_c (a) + \log_c (b)$

2. $\!\, \log_c (a / b) = \log_c (a) - \log_c (b)$

3. $\!\, \log_c (a ^ b) = b \log_c (a)$

4. $\!\, \log_c (\sqrt[b]{a}) = \frac{\log_c (a)}{b}$

5. $\!\, \log_c(c)=1$

6. $\!\, \log_c1=0$

Logaritmii în baza b = 10 sunt numiți logaritmi zecimali și au numeroase aplicații în științele exacte și în tehnică (inginerie). Logaritmii naturali sunt logaritmii în baza e (≈ 2.718); ei sunt utilizați în special în matematică. Logaritmii binari sunt logaritmii în baza b = 2 și sunt folosiți în informatică.

Trecerea de la un sistem de logaritmi la altul se face cu ajutorul formulei: $\!\, \log_a (b) = \frac{log_c (b)}{log_c (a)}$

În mod uzual, logaritmii zecimali (în baza 10) se notează cu lg, iar logaritmii naturali (în baza e) se notează cu ln. În particular, pentru trecerea de la logaritmii zecimali la logaritmii naturali și invers, se utilizează formulele:

lg b = M ln b și ln b = lg b / M

unde constanta M = lg e ≈ 0,43429

Motivația definirii logaritmului ca o integrală

Logaritmul este un exemplu de concept matematic care poate fi definit prin diferite metode.

Când se dorește definirea unui concept, se începe de la proprietățile dorite care să fie înglobate în ea. În urma inspecției proprietăților se propune o formulă sau un proces care poate servi drept definiție, în urma căreia toate proprietățile pot fi deduse.

Una din proprietățile care sunt de dorit la definirea logaritmului este ca suma logaritmilor a două argumente să fie egală cu logaritmul produsului acestor argumente. Dacă logaritmul este considerat ca o funcție, atunci se poate scrie: $\ f(xy) = f(x) + f(y)$ (1), unde x și y aparțin unui domeniu. Astfel de formulare se numește ecuație funcțională.

Deducerea restricțiilor funcției f

Una dintre soluțiile ecuației poate fi zero pe toată axa numerelor reale. Dacă $\ y=0$ atunci $\ f(x)=0$, pentru orice x din domeniu, de aici reiese că 0 nu face parte din domeniul de definire a funcției. Dacă 1 aparține domeniului de definire a funcției atunci $\ x=y=1$ $\ f(1) = f(1) + f(1) = 2f(1)$, ceea ce implică $\ f(1) = 0$.

Dacă ambele 1 și -1 fac parte din domeniul de definiție, putem arăta că $\ f(1)=2f(-1)$ punând x=-1 și y=-1. Acum dacă x, -x,1 și -1 fac parte din domeniul de definiție, se poate pune y=-1 ceea ce implică $\ f(-x)=f(-1)+f(x)$ și $\ f(-1)=0$ ca rezultat $\ f(-x)=f(x)$.

Presupunând că f este derivabilă în toate punctele, în afară de zero $x \ne 0$, se consideră y fixat și se derivează în variabila x:
$\ yf'(xy) = f'(x)$
Când x=1,$\ yf'(y) = f'(1)$ sau
$f'(y) = \frac{{f'(1)}} {y};y \ne 0$
Aplicând a doua teorema fundamentală a analizei matematice:
$\ f(x) - f(c) = \int\limits_c^x {f'(t)dt = f'(1)\int\limits_c^x {\frac{1}{t}dt} }$

Deoarece f(1)=0, se alege c=1
$f(x) = f'(1)\int\limits_1^x {\frac{1}{t}dt}$ dacă x>0

Dacă x este negativ atunci -x este pozitiv și luând în considerație că f(x)=f(-x) se obține:
$f(x) = f'(1)\int\limits_1^{ - x} {\frac{1}{t}dt}$ dacă x<0

Aceste două formule pot fi combinate în una singură pentru orice $x$ pozitiv sau negativ:
$f(x) = f'(1)\int\limits_1^{|x|} {\frac{1}{t}dt}$, dacă $x \ne 0$
sau
$g(x) = \int\limits_1^{|x|} {\frac{1}{t}dt}$, dacă $x \ne 0$ (2) unde $g(x) =\frac{{f(x)}}{{f'(1)}}$.

Mai sus s-a arătat că dacă există o soluție a ecuației funcționale (1), care are derivată în orice punct $\ x \ne 0$ aceasta este (2).

Definirea logaritmului

Definiție – Fie x un număr pozitiv real, logaritmul natural a lui x , notat temporal L(x) este integrala:
$L(x) = \int\limits_1^x {\frac{1}{t}dt}$

Teoremă – funcția logaritm are următoarele proprietăți:
(a) $\ L(1)=0$
(b) $L'(x) = \frac{1}{x}$ pentru orice $\ x>0$
(c) $\ L(ab)=L(a)+L(b)$ pentru orice $\ a>0$, $\ b>0$

Demonstrație:- Proprietățile (a) și (b) sunt consecințe a definiției. Proprietatea (c) se bazează pe caracteristica aditivă a integralei:
$L(ab) = \int\limits_1^{ab} {\frac{{dt}} {t}} = \int\limits_1^a {\frac{{dt}} {t}} + \int\limits_a^{ab} {\frac{{dt}} {t}} = L(a) + \int\limits_a^{ab} {\frac{{dt}} {t}}$
În ultima integrală facem următoarea substituție $u = \frac{t}{a},du = \frac{{dt}}{a}$ care reduce integrala la $\ L(b)$.

Teoremă – Pentru orice număr real b, există și este unic, un număr real pozitiv care satisface egalitatea $\ L(a)=b$. Demonstrație:

Scurt istoric

• Giovanni Pastore - română
• Giovanni Pastore - Antikythera e i regoli calcolatori - Roma 2006
• The Antikythera Calculator (Italian and English versions)
• logaritmi la mathworld

Legături externe

• Explaining Logarithms
• Log Calculator for all bases.
• Logarithm la MathWorld
• Jost Burgi, Swiss Inventor of Logarithms
• Logarithm calculators and word problems with work shown, for school students
• Translation of Napier's work on logarithms
• Logarithms - from The Little Handbook of Statistical Practice
• Algorithm for determining Log values for any base