Logaritm

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Salt la: Navigare, căutare

Logaritmul este o putere la care trebuie ridicat un număr (numit bază) pentru a obține un număr dat.

Cuprins

1 Definiția matematică
2 Motivația definirii logaritmului ca o integrală
3 Deducerea restricțiilor funcției f
4 Definirea logaritmului
5 Graficul funcției logaritmice
6 Proprietățile logaritmului
7 Calculul logaritmului
8 Scurt Istoric
9 Legături externe

[modificare] Definiția matematică

Fie $\ x>0$ . Logaritmul lui $\ x$ în baza $\ b>0$ , $b\ne 1$ , notat $\ {log}_{b} x$ , este numărul $\ z$ , astfel încât $\ b^z = x$ .

Proprietatea fundamentală:

$\ {log}_{b} (xy) = \log _b x + \log _b y$ , unde $\ x,y >0$ , $\ b>0$ , $b\ne 1$ .

Exemple: $\ {log}_{2} 8 = 3$ ; $\ {log}_{b} 1 = 0$ , $\ {log}_{b} b = 1$ , $\ {log}_{2} {2^{100}} = 100$ .

[modificare] Motivația definirii logaritmului ca o integrală

Logaritmul este un exemplu de concept matematic care poate fi definit prin diferite metode. Când se dorește definirea unui concept se începe de la proprietățile dorite care să fie înglobate în ea. În urma inspecției proprietăților se propune o formulă sau un proces care poate servi drept definiție, în urma căreia toate proprietățile pot fi deduse.

Una din proprietățile pe care noi le dorim la logaritm este ca suma logaritmilor a două argumente să fie egală cu logaritmul produsului acestor argumente. Dacă privim logaritmul ca pe o funcție, atunci putem scrie: $\ f(xy) = f(x) + f(y)$ (1), unde x și y aparțin unui domeniu. Astfel de formulare se numește ecuație funcțională.

[modificare] Deducerea restricțiilor funcției f

Una dintre soluțiile ecuației poate fi zero pe toată axa numerelor reale. Dacă $\ y=0$ atunci $\ f(x)=0$ , pentru orice x din domeniu, de aici reiese că 0 nu face parte din domeniul de definire a funcției. Dacă 1 aparține domeniului de definire a funcției atunci $\ x=y=1$ $\ f(1) = f(1) + f(1) = 2f(1)$ , ceea ce implică $\ f(1) = 0$ .

Dacă ambele 1 și -1 fac parte din domeniul de definiție, putem arăta că $\ f(1)=2f(-1)$ punând x=-1 și y=-1. Acum dacă x, -x,1 și -1 fac parte din domeniul de definiție, noi putem pune y=-1 ce implică $\ f(-x)=f(-1)+f(x)$ și $\ f(-1)=0$ ca rezultat $\ f(-x)=f(x)$ .

Presupunem acum că f are derivata în toate punctele, în afara de zero $x \ne 0$ , vom considera y fixat și derivăm în comparație cu x:
$\ yf'(xy) = f'(x)$
Când x=1, $\ yf'(y) = f'(1)$ sau
$f'(y) = \frac{{f'(1)}} {y};y \ne 0$
Aplicând a doua teorema fundamentală a analizei matematice:
$\ f(x) - f(c) = \int\limits_c^x {f'(t)dt = f'(1)\int\limits_c^x {\frac{1}{t}dt} }$

Deoarece f(1)=0, alegem c=1
$f(x) = f'(1)\int\limits_1^x {\frac{1}{t}dt}$ dacă x>0

Dacă x este negativ atunci -x este pozitiv și luând în considerație că f(x)=f(-x) primim:
$f(x) = f'(1)\int\limits_1^{ - x} {\frac{1}{t}dt}$ dacă x<0

Aceste două formule pot fi combinate în una singură pentru orice $x$ pozitiv sau negativ:
$f(x) = f'(1)\int\limits_1^{|x|} {\frac{1}{t}dt}$ , dacă $x \ne 0$
sau
$g(x) = \int\limits_1^{|x|} {\frac{1}{t}dt}$ , dacă $x \ne 0$ (2) unde $g(x) =\frac{{f(x)}}{{f'(1)}}$ .

Mai sus s-a arătat că dacă există o soluție a ecuației funcționale (1), care are derivată în orice punct $\ x \ne 0$ aceasta este (2).

[modificare] Definirea logaritmului

Definiție – Fie x un număr pozitiv real, logaritmul natural a lui x , notat temporal L(x) este integrala:
$L(x) = \int\limits_1^x {\frac{1}{t}dt}$

Teoremă – funcția logaritm are următoarele proprietăți:
(a) $\ L(1)=0$
(b) $L'(x) = \frac{1}{x}$ pentru orice $\ x>0$
(c) $\ L(ab)=L(a)+L(b)$ pentru orice $\ a>0$ , $\ b>0$

Demonstrație:- Proprietățile (a) și (b) sunt consecințe a definiției. Proprietatea (c) se bazează pe caracteristica aditivă a integralei:
$L(ab) = \int\limits_1^{ab} {\frac{{dt}} {t}} = \int\limits_1^a {\frac{{dt}} {t}} + \int\limits_a^{ab} {\frac{{dt}} {t}} = L(a) + \int\limits_a^{ab} {\frac{{dt}} {t}}$
În ultima integrală facem următoarea substituție $u = \frac{t}{a},du = \frac{{dt}}{a}$ care reduce integrala la $\ L(b)$ .