Număr real

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Mulţimea numerelor reale este alcătuită din mulţimea fracţiilor zecimale, pozitive şi negative, cu o infinitate de zecimale. Numerele reale sunt definite intuitiv ca fiind acele numere care sunt în corespondenţă unu-la-unu cu punctele de pe o dreaptă infinită: axa numerelor. Termenul de "număr real" a fost inventat după apariţia noţiunii de "număr imaginar"^{[necesită citare]}. Numerele reale pot fi raţionale sau iraţionale, algebrice sau transcendente, pozitive sau negative.

Simbolul mulţimii numerelor reale este R (sau alternativ, ).

[modifică] Abordarea axiomatică

Fie R mulţimea numerelor reale. Atunci:

• Mulţimea R, împreună cu operaţiile de adunare şi înmulţire formează un corp .
• Corpul R este ordonat, adică există o relaţie de ordine totală ≥ pe R astfel încât, pentru orice x,y şi z din R, avem:
  • dacă x ≥ y atunci x + z ≥ y + z;
  • dacă x ≥ 0 şi y ≥ 0 atunci xy ≥ 0.
• Ordinea este Dedekind-completă, adică, orice submulţime nevidă S a lui R care are margine superioară în R are o cea mai mică margine superioară (numită supremum) în R.

Ultima proprietate diferenţiază mulţimea numerelor reale de cea a numerelor raţionale^[1]. De exemplu, submulţimea numerelor raţionale cu pătratul mai mic decât 2 are o margine superioară raţională (de ex. 1,5), dar nu are o cea mai mică margine superioară raţională, pentru că rădacina pătrată a lui 2 nu este număr raţional.

Se poate demonstra că numerele reale sunt definite exact de proprietăţile de mai sus. Mai exact, date fiind două corpuri ordonate Dedekind-complet R1 şi R2, există un unic izomorfism de corpuri între R1 şi R2, ceea ce ne permite să privim cele două corpuri ca pe acelaşi obiect matematic.

[modifică] Referinţe

1. ^ Coppel, p. 23

[modifică] Bibliografie

• Richard Dedekind, Essays on the Theory of Numbers, Courier Dover Publications, 1963, ISBN 0-486-21010-3
• William Andrew Coppel, Number Theory: An Introduction to Mathematics, Springer, 2006, ISBN 0-387-30529-7

	Matematică  – Teoria numerelor --- Matematică discretă (categorie)
	Matematicieni specializaţi în Teoria numerelor (categorie)  • •  • •  • •  • •  • •  • •  • • •  • • •