Număr real
Mulțimea numerelor reale este alcătuită din mulțimea fracțiilor zecimale, pozitive și negative, cu o infinitate de zecimale. Numerele reale sunt definite intuitiv ca fiind acele numere care sunt în corespondență unu-la-unu cu punctele de pe o dreaptă infinită: axa numerelor. Termenul de "număr real" a fost inventat după apariția noțiunii de "număr imaginar"[necesită citare]. Numerele reale pot fi raționale sau iraționale, algebrice sau transcendente, pozitive sau negative.
Simbolul mulțimii numerelor reale este R (sau alternativ,
).
Abordarea axiomatică [modificare]
Fie R mulțimea numerelor reale. Atunci:
- Mulțimea R, împreună cu operațiile de adunare și înmulțire formează un corp .
- Corpul R este ordonat, adică există o relație de ordine totală ≥ pe R astfel încât, pentru orice x,y și z din R, avem:
- dacă x ≥ y atunci x + z ≥ y + z;
- dacă x ≥ 0 și y ≥ 0 atunci xy ≥ 0.
- Ordinea este Dedekind-completă, adică, orice submulțime nevidă S a lui R care are margine superioară în R are o cea mai mică margine superioară (numită supremum) în R.
Ultima proprietate diferențiază mulțimea numerelor reale de cea a numerelor raționale[1]. De exemplu, submulțimea numerelor raționale cu pătratul mai mic decât 2 are o margine superioară rațională (de ex. 1,5), dar nu are o cea mai mică margine superioară rațională, pentru că rădăcina pătrată a lui 2 nu este număr rațional.
Se poate demonstra că numerele reale sunt definite exact de proprietățile de mai sus. Mai exact, date fiind două corpuri ordonate Dedekind-complet R1 și R2, există un unic izomorfism de corpuri între R1 și R2, ceea ce ne permite să privim cele două corpuri ca pe același obiect matematic.
Referințe [modificare]
- ^ Coppel, p. 23
Bibliografie [modificare]
- Richard Dedekind, Essays on the Theory of Numbers, Courier Dover Publications, 1963, ISBN 0-486-21010-3
- William Andrew Coppel, Number Theory: An Introduction to Mathematics, Springer, 2006, ISBN 0-387-30529-7





