Număr real

Acest articol se referă la Număr real. Pentru alte sensuri, vezi Real (dezambiguizare).

Mulțimea numerelor reale este alcătuită din mulțimea fracțiilor zecimale, pozitive și negative, cu o infinitate de zecimale. Numerele reale sunt definite intuitiv ca fiind acele numere care sunt în corespondență unu-la-unu cu punctele de pe o dreaptă infinită: axa numerelor. Termenul de "număr real" a fost inventat după apariția noțiunii de "număr imaginar". Numerele reale pot fi raționale sau iraționale, algebrice sau transcendente, pozitive sau negative.

Simbolul mulțimii numerelor reale este R (sau alternativ, $\Bbb{R}$).

Abordarea axiomatică

Fie R mulțimea numerelor reale. Atunci:

• Mulțimea R, împreună cu operațiile de adunare și înmulțire formează un corp .
• Corpul R este ordonat, adică există o relație de ordine totală ≥ pe R astfel încât, pentru orice x,y și z din R, avem:
  • dacă x ≥ y atunci x + z ≥ y + z;
  • dacă x ≥ 0 și y ≥ 0 atunci xy ≥ 0.
• Ordinea este Dedekind-completă, adică, orice submulțime nevidă S a lui R care are margine superioară în R are o cea mai mică margine superioară (numită supremum) în R.

Ultima proprietate diferențiază mulțimea numerelor reale de cea a numerelor raționale. De exemplu, submulțimea numerelor raționale cu pătratul mai mic decât 2 are o margine superioară rațională (de ex. 1,5), dar nu are o cea mai mică margine superioară rațională, pentru că rădăcina pătrată a lui 2 nu este număr rațional.

Se poate demonstra că numerele reale sunt definite exact de proprietățile de mai sus. Mai exact, date fiind două corpuri ordonate Dedekind-complet R1 și R2, există un unic izomorfism de corpuri între R1 și R2, ceea ce ne permite să privim cele două corpuri ca pe același obiect matematic.

Bibliografie

• Richard Dedekind, Essays on the Theory of Numbers, Courier Dover Publications, 1963, ISBN 0-486-21010-3
• William Andrew Coppel, Number Theory: An Introduction to Mathematics, Springer, 2006, ISBN 0-387-30529-7