Număr rațional

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În matematică, un număr rațional (sau în limbaj mai puțin riguros, o fracție) este un număr real care se poate exprima drept raportul a două numere întregi, de obicei scris sub formă de fracție ordinară: a/b, unde b este nenul. Numele "rațional" nu provine de la "rațiune"="gândire", ci de la "rație"="raport".

Orice număr rațional se poate scrie într-o infinitate de forme, de exemplu 3/6 = 2/4 = 1/2 = ... Forma cea mai simplă este cea în care a și b nu au divizori comuni; toate numerele raționale dispun de o asemenea formă.

Forma zecimală a unui număr rațional este într-un fel sau altul periodică (dacă expansiunea este finită, partea periodică o formează zerourile implicite de după ultima zecimală nenulă). Aceasta este adevărat pentru orice bază întreagă mai mare decât 1. Reciproc, dacă expansiunea unui număr într-o bază este periodică, atunci expansiunea sa în orice bază este periodică, și în plus numărul este rațional.

Mulțimea tuturor numerelor raționale se notează Q, sau, în varianta îngroșată, \mathbb{Q}. În notația analitică a mulțimilor, \mathbb{Q} se definește astfel:

\mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n} : m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z}, n \ne 0 \right\}

Mulțimea Q, deși conține un număr infinit de elemente, este numărabilă, adică are același cardinal (potență, putere) ca N și ca Z. Altfel spus, există funcții bijective între Q și N, precum și între Q si Z. Pentru informații despre cardinalitate - vezi articolul Mulțime.

Q, împreună cu adunarea și înmulțirea, formează un corp comutativ.

Orice șir convergent de numere raționale își are limita în R. În termeni de topologie: închiderea lui Q este R. Nu orice șir convergent de numere raționale are limita tot rațională (ea poate fi totuși irațională).

Prin contrast, un număr real care nu este rațional se numește număr irațional. Forma sa zecimală are un număr infinit (nesfârșit) de zecimale, care nu au voie să se repete (sunt neperiodice). Faptul că există numere reale care nu sunt raționale a fost pus în evidență încă din antichitate - astfel, nu s-a putut construi un pătrat a cărui diagonală să fie un multiplu rațional al laturii sale, și nu s-a putut găsi un cerc a cărui circumferință să fie un multiplu rațional al razei sale (problema cuadraturii cercului).

Egalitatea numerelor raționale

Două numere raționale notat cu m/n și a/b sunt egale dacă fracțiile m/n și a/b sunt fracții echivalente adică dacă m*b=n*a. Relația de egalitate în domeniul numerelor raționale are proprietățile : 1. reflexivitatea : a=a 2. simetria : a=b atunci b=a 3. tranzitivitatea : a=b și b=c atunci a=c 4. Relația de egalitate în domeniul numerelor raționale având proprietățile de reflexivitate, simetrie, tranzitivitate este o relație de echivalență.


Operații cu numere raționale


Adunarea

Suma a două numere raționale m/n și a/b este dată de fracția (mb+ma)/nb. Proprietăți: 1. comutativitatea : a+b=b+a 2. asociativitatea : (a+b)+c=a+(b+c) 3. element neutru : a+0=0+a=a 4. elementul opus : a+(-a)=(-a)+a=0

Diferența

Oricare ar fi numerele raționale a și b avem : a-b=a+(-b). Altfel, dacă dorim a scădea dintr-un număr rațional a un alt număr rațional b, adunam la numărul rațional a opusul numărului rațional (-b). Operația de scădere se poate efectua între orice numere raționale. Oricare ar fi a număr rațional avem : a-0=a respectiv 0-a=-a. Oricare ar fi a,b,c numere raționale dacă a=b avem : a-c=b-c. Oricare ar fi a,b,c,d numere raționale, dacă a=b și c=d avem : a-c=b-d.

Produsul

Prin produsul a doua numere raționale m/n și a/b se obține un al treilea număr rațional notat cu c astfel c=(m*a)/(n*b). Proprietăți: 1. comutativitate : a*b=b*a 2. asociativitate : (a*b)*c=a*(b*c) 3. distributivitate : a*(b+c)=a*b+a*c 4. element neutru : a*1=1*a=a 5. element invers : a*(1/a)=(1/a)*a=1 Oricare ar fi a rațional avem : a*(-1)=(-1)*a=-a Oricare ar fi a,b,c raționale : a=b atunci a*c=b*c Oricare ar fi a,b,c,d raționale : a=b, c=d atunci a*c=b*d


Împărțirea

Prin câtul a două numere raționale m/n și a/b cu a,b,n diferite de 0 se obține un al treilea număr rațional notat c astfel : c=(m/n)/(a/b)=(m/n)*(b/a) deci se înmulțește deîmpărțitul cu inversul împărțitorului. Proprietăți: 1. a:1=a/1=a 2. 1:a=1/a=a^(-1) 3. a:(-1)=a/(-1)=-a 4. (-1)/a=(-1)/a=-a^(-1) 5. 0:a=0/a=0 6. a=b atunci a:c=b:c sau a/c=b/c 7. a=b, c=d atunci a:c=b:d sau a/c=b/d Dacă a,b sunt două numere raționale pozitive prin media armonică înțelegem numărul m, obținut astfel: m=2/[(1/a)+(1/b)]=(2ab)/(a+b)




Ulam 1.png Matematică  – Teoria numerelor --- Matematică discretă (categorie)
Matematicieni specializați în Teoria numerelor (categorie)

 • • \mathbb{N}  • • \mathbb{Z}  • • \mathbb{Q}  • • \mathbb{I}  • • \mathbb{T}  • • \mathbb{R}  • • • \mathbb{C}  • • •