Formula lui Stirling

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Raportul dintre (ln n!) şi (n ln n − n) se apropie de unitate când n creşte.

În analiza matematică, formula lui Stirling permite calculul aproximativ al factorialului:

 n! = \sqrt {2 \pi n} \cdot n^{n} \cdot e^{-n} + \frac {\theta_n}{12 n},

unde \theta_n \in (0, 1)  este un număr stabilit de James Stirling.

Această formulă este echivalentă cu:

 \lim_{n \to \infty} \frac {n!}{n^{(n + 1/2)} e^{-n} } = \sqrt {2 \pi}.

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Conform unei proprietăți a logaritmilor:

 \log {n !} = \log 1 + \log 2 + \cdots + \log n.

Deoarece funcția logaritm este crescătoare pe  (0, \infty),

 \int_{n-1}^{n} \log x \; dx  < \log n <  \int_{n}^{n+1} \log x \; dx,

pentru  n \ge 1.

Se scrie această dublă inegalitate pentru  n= 1, 2, \cdots , N și se adună membru cu membru. Rezultă:

 \int_{0}^{N} \log x \; dx < \log {(N!)} <  \int_{1}^{N+1} \log x \; dx

Prin derivare se obține:

 n \log n - n < \log {(n!)} < (n+1) \log {(n+1)} - n.

Fie:

 d_n = \log {(n!)} - \left ( n + \frac 12 \right ) \log n + n.

Se poate obține:

 d_n - d_{n+1} = \left ( n + \frac 12 \right ) \log {\frac {n+1}{n}} -1

și apoi:

 \frac {n+1}{n }= \frac {1+ \frac {1}{2n+1} }{1- \frac {1}{2n+1}}.

Utilizând dezvoltarea în serie Taylor, se obține:

 \frac 12 \log \left (  \frac {1+t}{1-t} \right ) = t + \frac 13 t^3 + \frac 15 t^5 + \cdots

Pentru  -1 < t < 1 se poate scrie:

  d_n - d_{n+1} = \frac 13 \frac {1}{(2n+1)^2} + \frac 15 \frac {1}{(2n+1)^4} + \cdots

Aceasta implică:

 0<  d_n - d_{n+1} <  \frac 13 \frac {1}{(2n+1)^2} + \frac 15 \frac {1}{(2n+1)^4} + \cdots

Luând în considerare proprietățile seriilor geometrice:

 0<  d_n - d_{n+1} <  \frac 13 \frac {1}{(2n+1)^2 -1} = \frac {1}{12} \left ( \frac 1n - \frac {1}{n+1}   \right ).

Deci șirul  \{  d_n \} este descrescător, iar șirul  \{  d_n - \frac {1}{12n} \} este descrescător. Rezultă că  \{  d_n \} este convergent către o limită C cu proprietatea:

 \lim_{n \to \infty} d_n = \lim_{n \to \infty} d_n  - \frac {1}{12n} =\mathbf C,

unde

 C>d_1 - \frac {1}{12}= 1 - \frac {1}{12} = \frac {11}{12}.

Utilizând funcția exponențială, se obține:

 \lim_{n \to infty} \frac {n!}{n^{n + 1/2} e^{-n}} = c^C.

Rămâne de demonstrat că    e^C = \sqrt {2 \pi}.

Se utilizează formula lui Wallis:

 \lim_{n \to \infty} \frac {2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot (2n) \cdot (2n) }{1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (2n-1) \cdot (2n-1) \cdot (2n +1)} = \frac {\pi}{2},

care poate fi scrisă:

 \frac {2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot (2n) }{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (2n-1) \cdot \sqrt {2 \pi}} \sim \sqrt {\frac {\pi}{2}},

adică:

 \frac {(2^n n!)^2}{(2n)!} \cdot \frac {1}{\sqrt {2n}} \sim \sqrt {\frac {\pi}{2}}.

Utilizând formula de mai sus:

 n! \sim n^{n+1/2} \cdot e^{-n} \cdot e^{C},

se obține:

 \frac {2^{2n} (n^{2n +1}\cdot  e^{-2n} \cdot e^{2C})}{(2n)^{2n + 1/2} \cdot e^{-2n} \cdot e^C } \frac {1}{\sqrt {2n}} \sim \sqrt { \frac{\pi}{2}}.

Rezultă:

 e^C \sim \sqrt {2 \pi},

adică:

 e^C = \sqrt {2 \pi},

ceea ce trebuia demonstrat.