Funcție continuă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În analiza matematică, o funcție se numește continuă într-un punct dacă o variație mică a argumentului în jurul punctului dat produce o variație mică a valorii funcției și, mai mult, putem limita oricât de mult variația valorii funcției prin limitarea variației argumentului. O funcție care este continuă în fiecare punct al domeniului de definiție se numește simplu funcție continuă.

Păstrând limbajul intuitiv, o funcție este continuă dacă graficul acesteia nu are întreruperi sau "rupturi". Dacă o modificare mică a argumentului poate produce un salt (o ruptură) în graficul funcției, sau dacă graficul funcției oscilează,se zice că funcția este discontinuă, sau că are una sau mai multe discontinuități.

Continuitate într-un spațiu metric[modificare | modificare sursă]

Dacă f:X\to Y, unde X și Y sunt submulțimi ale unor spații metrice (de exemplu, X=Y=\mathbb{R}), funcția f se numește continuă în punctul x_0\in X dacă pentru orice valoare \varepsilon\in(0,\infty) există un \delta_\varepsilon\in(0,\infty) astfel încât \forall x\in X\{x_0\}\,,\ d_X(x,x_0)<\delta_\varepsilon, să aibă loc d_Y(f(x),f(x_0))<\varepsilon, unde d_X reprezintă distanța din spațiul metric X, iar d_Y reprezintă distanța din spațiul metric Y.

Echivalent, f este continuă într-un punct de acumulare x_0 dacă \lim\limits_{x\to x_0} f(x)=f(x_0) (f este continuă într-un punct dacă limita sa în acel punct (de acumulare) există și este egală cu valoarea funcției în acel punct).

Nu putem vorbi de continuitatea unei funcții într-un punct în care funcția nu este definită; dar într-un punct din domeniul său de definiție ce nu este punct de acumulare al domeniului său de definiție (adică un punct izolat), orice funcție este continuă.

O funcție se numește discontinuă într-un punct dacă nu este continuă în acel punct. Un punct în care funcția nu este continuă se numește discontinuitate a funcției.

O discontinuitate poate exista fie pentru că funcția are un "salt" (limita funcției sau cel puțin una din limitele laterale există, dar este diferită de valoarea funcției) - o astfel de discontinuitate se numește de primă speță, fie pentru că funcția nu are limită în acel punct -- discontinuitate de speța a doua.

Exemple:

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\,,\ f(x)=\left\{\begin{array}{lll}0 &, & x\leq 0\\1 &, & x>0\end{array}\right.

este continuă în toate punctele cu excepția lui 0 unde are o discontinuitate de prima speță.

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\,,\ f(x)=\left\{\begin{array}{lll}0 &, & x=0\\\sin\frac{1}{x} &, & x\neq0\end{array}\right.

este continuă în toate punctele cu excepția lui 0 unde are o discontinuitate de speța a doua. De notat că această funcție este un exemplu de funcție Darboux care nu este continuă.

Continuitatea funcțiilor reale[modificare | modificare sursă]

Definiția 1. Fief o funcție definită pe  E \subseteq \mathbb R și  x_0 \in E. Se spune că funcția f este continuă în punctul  x_0 dacă pentru orice  \epsilon > 0, \; ( \exists ) \delta (\epsilon ) >0, astfel încât oricare ar fi  x \in E cu proprietatea  |x-x_0| < \delta (\epsilon) , se respectă relația:    |f(x) - f(x_0) | < \epsilon.

Definiția 2 Se spune că funcția  f: E \subseteq \mathbb R \to \mathbb R este continuă în punctul  x_0 \in E dacă pentru orice șir  \{ x_n \}_{n \in \mathbb N} convergent către  x_0, șirul valorilor funcției  \{ f(x) \}_{n \in \mathbb N} converge către  f(x_0).

Definiția 3. Spunem că funcția f definită pe o vecinătate a punctului  x_0 este continuă în  x_0 dacă f are limita în punctul  x_0 \in E și dacă această limită este egală cu  f(x_0).

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Gh. Sirețchi, Analiză matematică, Editura didactică și pedagogică.