Grup finit

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
grupul de patru al lui Klein

În matematică, un grup finit este un grup a cărui mulțime conține un număr finit de elemente.

Noțiunea de grup finit a apărut în matematică la începutul secolului al XIX-lea din necesitatea de a exprima conjugarea între soluțiile (în număr finit) ale unei ecuații algebrice.

Spre exemplu, pentru ecuația x.x.x.x + 1 = x.x există un unic cel mai mic corp de numere, suficient de bogat, astfel încât să conțină toate cele patru rădăcini ale ecuației. În ciuda aspectului foarte simetric al ecuației, cele patru rădăcini sunt conjugate între ele două câte două, iar relațiile de conjugare sunt descrise de către un grup de permutări, numit grupul lui Galois.

Grupuri de permutări[modificare | modificare sursă]

Grupurile de permutări sunt descrise prin doi parametri :

  • gradul, reprezentând numărul de obiecte permutate
  • ordinul, reprezentând numărul de permutări care au proprietățile binecunoscute (închidere, asociativitate, identitate, elemente inverse)

Exemplu[modificare | modificare sursă]

Cele patru permutări a patru simboli sunt următoarele, în cazul grupului lui Klein.

  • ( ) - identitatea, toți simbolii rămân pe loc
  • ( a b )( c d )
  • ( a c )( b d )
  • ( a d )( b c ) - și trei produse a câte două transpoziții.

Grupuri abstracte[modificare | modificare sursă]

Respectând ordinea istorică, se poate spune că grup abstract este un grup de permutări exact tranzitiv.

În expunerile moderne definiția grupului abstract este dată prin axiomele de grup, iar compatibilitatea înapoi cu grupurile de permutări este asigurată de către Teorema lui Cayley.

Aceată definire a grupurilor finite a dobândit un avantaj enorm în fața altor definiții deoarece a deschis calea către Teoremele lui Sylow și mai departe, către clasificarea grupurilor simple finite.

Exemplu[modificare | modificare sursă]

Un grup de patru al lui Klein poate fi riguros prezentat astfel :

G = { aaa, bba, cca, dda, abb, acc, add, bab, cac, dad, bcd, cbd, bdc, dbc, cdb, dcb }

Atunci mulțimea suport a grupului este M = { a, b, c, d }, având |M| = 4

Rolul elementului neutru este jucat de către simbolul a, a = 1.

Cele 16 triplete pot fi organizate în forma numui tabel, numit tabla lui Cayley.

Grupuri combinatorice[modificare | modificare sursă]

Fiind alese oricare două vârfuri A și B (din cele șase), există o unică transformare bijectivă (din șase posibile) care transportă pe A în B

Definiție[modificare | modificare sursă]

Un grup combinatoric este o primitivă a unei specii de structură Lin.

Exemplu[modificare | modificare sursă]

Prisma triunghiulară dreaptă din imagine dispune de șase moduri de a fi rotită în spațiu, astfel ca cele șase vârfuri să ajungă tot în vârfuri (Identitatea este considerată tot o rotație).

Dacă a fost însă precizată poziția unui vârf, toate celelalte cinci vârfuri sunt determinate la rândul lor, fără echivoc. Fixarea unui vârf (or, echivalent, etichetarea lui) este descrisă prin operația de derivare combinatorică. Astfel putem scrie identitatea combinatorică :

Symétrique6' = Lin5

Alt exemplu[modificare | modificare sursă]

Grupul lui Klein poate fi văzut ca o colecție de patru moduri echivalente de a reeticheta un obiect.

A B C D
B A D C
C D A B
D C B A

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

John H. Conway, Alexander Hulpke and John McKay, On Transitive Permutation Groups, London Mathematical Society ISSN 1461–1570, 1998

Legături externe[modificare | modificare sursă]