Dimensiune Hausdorff

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Salt la: Navigare, căutare

În cadrul topologiei, dimensiunea Hausdorff este un număr real pozitiv, asociat unui spaţiu metric şi extinde noţiunea de dimensiune a unui spaţiu vectorial real. A fost introdusă în 1918 de către Felix Hausdorff şi dezvoltată ulterior de către Abram Samoilovici Bezicovici, de unde şi denumirea de dimensiune Hausdorff-Bezicovici.

Cuprins

[modifică] Definiţie

Triunghiul lui Sierpinski, un spaţiu având dimensiunea fractală ln 3/ln 2, ori log23, care este circa 1,58.

Dimensiunea Hausdorff ne oferă un mijloc uzual de calculare a dimensiunii unui spaţiu metric.

H^s_{\delta}(E) = \inf \left\{ \sum_{i=1}^{\infty} diam(A_i)^s \right\}
H^s(E) = \lim_{\delta \rightarrow 0}H^s_{\delta}(E)
\dim_H(E) = \inf \left\{s, H^s(E) = 0 \right\} = \sup \left\{s, H^s(E) = \infty\right\}

[modifică] Exemplu

Determinarea dimensiunii Hausdorff pentru intervalul X = [0, 1] \subset \mathbb{R}  :

  • Pentru s > 1 \,
Pentru \varepsilon > 0 \, , fie numărul natural N_{\varepsilon} astfel ales încât \frac{1}{N_{\varepsilon}} < \varepsilon .
Cu acoperirea specială
A_i = \big[ \frac{i-1}{N_{\varepsilon}} , \frac{i}{N_{\varepsilon}}\big]   pentru 1 \le i \le N_{\epsilon} , A_i = 1 pentru i \ge N_{\varepsilon} .
Urmează
H^s_\varepsilon(X) \le N_{\varepsilon} \cdot \big( \frac{1}{N_{\varepsilon}} \big)^s = \big( \frac{1}{N_{\varepsilon}} \big)^{s-1} < \varepsilon^{s-1} .


  • Pentru s < 1 \,
Deoarece d(A_i) < \varepsilon , avem:
\sum d(A_i)^s = \sum \frac{d(A_i)}{d(A_i)^{1-s}} > \sum \frac{d(A_i)}{\varepsilon^{1-s}} .
Cum însă A_i \, intervalul X \, acoperă, suma tuturor diametrelor va fi cel puţin 1:
\ge \frac{1}{\varepsilon^{1-s}} .
Rezultă:
H^s_\varepsilon(X) \ge \frac{1} {\varepsilon^{1-s}} .
Deci:
H^s(X) = \infty \, .
  • Pentru s = 1 \, :
Considerând cele două cazuri anterioare, obţinem:
H^1(X) = 1 \, .
Aşadar:
\dim X = 1 \,.

[modifică] Cazuri concrete

  • Cercul are dimensiune Hausdorff 1.
  • Dimensiunea Hausdorff a reprezentării triadice Cantor este   \frac{\ln 2}{\ln 3} .
  • Dimensiunea Hausdorff a triunghiului lui Sierpinski este   \frac{\ln 3}{\ln 2} .


[modifică] Bibliografie

  • Besicovitch, A.S. - On Linear Sets of Points of Fractional Dimensions, Mathematische Annalen 101 (1929)
  • Mandelbrot, Benoît - The Fractal Geometry of Nature, Lecture notes in mathematics, W. H. Freeman, 1982. ISBN 0716711869.


[modifică] Vezi şi

[modifică] Legături externe

Adus de la http://ro.wikipedia.org/wiki/Dimensiune_Hausdorff
Unelte personale