Dimensiune Hausdorff

În cadrul topologiei, dimensiunea Hausdorff este un număr real pozitiv, asociat unui spațiu metric și extinde noțiunea de dimensiune a unui spațiu vectorial real. A fost introdusă în 1918 de către Felix Hausdorff și dezvoltată ulterior de către Abram Samoilovici Bezicovici, de unde și denumirea de dimensiune Hausdorff-Bezicovici.

Definiție

Triunghiul lui Sierpinski, un spaţiu având dimensiunea fractală ln 3/ln 2, ori log₂3, care este circa 1,58.

Dimensiunea Hausdorff ne oferă un mijloc uzual de calculare a dimensiunii unui spațiu metric.

$H^s_{\delta}(E) = \inf \left\{ \sum_{i=1}^{\infty} diam(A_i)^s \right\}$

$H^s(E) = \lim_{\delta \rightarrow 0}H^s_{\delta}(E)$

$\dim_H(E) = \inf \left\{s, H^s(E) = 0 \right\} = \sup \left\{s, H^s(E) = \infty\right\}$

Exemplu

Determinarea dimensiunii Hausdorff pentru intervalul $X = [0, 1] \subset \mathbb{R}$ :

• Pentru $s > 1 \,$

Pentru $\varepsilon > 0 \,$ , fie numărul natural $N_{\varepsilon}$ astfel ales încât $\frac{1}{N_{\varepsilon}} < \varepsilon$ .

Cu acoperirea specială

$A_i = \big[ \frac{i-1}{N_{\varepsilon}} , \frac{i}{N_{\varepsilon}}\big]$   pentru $1 \le i \le N_{\epsilon} , A_i = 1$ pentru $i \ge N_{\varepsilon}$.

Urmează

$H^s_\varepsilon(X) \le N_{\varepsilon} \cdot \big( \frac{1}{N_{\varepsilon}} \big)^s = \big( \frac{1}{N_{\varepsilon}} \big)^{s-1} < \varepsilon^{s-1}$.

• Pentru $s < 1 \,$

Deoarece $d(A_i) < \varepsilon$ , avem:

$\sum d(A_i)^s = \sum \frac{d(A_i)}{d(A_i)^{1-s}} > \sum \frac{d(A_i)}{\varepsilon^{1-s}}$ .

Cum însă $A_i \,$ intervalul $X \,$ acoperă, suma tuturor diametrelor va fi cel puțin 1:

$\ge \frac{1}{\varepsilon^{1-s}} .$

Rezultă:

$H^s_\varepsilon(X) \ge \frac{1} {\varepsilon^{1-s}}$ .

Deci:

$H^s(X) = \infty \,$ .

• Pentru $s = 1 \,$:

Considerând cele două cazuri anterioare, obținem:

$H^1(X) = 1 \,$ .

Așadar:

$\dim X = 1 \,$.

Cazuri concrete

• Cercul are dimensiune Hausdorff 1.

• Dimensiunea Hausdorff a reprezentării triadice Cantor este   $\frac{\ln 2}{\ln 3}$ .

• Dimensiunea Hausdorff a triunghiului lui Sierpinski este   $\frac{\ln 3}{\ln 2}$ .

• Dimensiunea Hausdorff a traiectoriei mișcării browniene tinde către 2.

Bibliografie

• Besicovitch, A.S. - On Linear Sets of Points of Fractional Dimensions, Mathematische Annalen 101 (1929)
• Mandelbrot, Benoît - The Fractal Geometry of Nature, Lecture notes in mathematics, W. H. Freeman, 1982. ISBN 0-7167-1186-9.

Vezi și

• Fractal

Legături externe

• en Despre dimensiunea Hausdorff