Dimensiune Hausdorff

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În cadrul topologiei, dimensiunea Hausdorff este un număr real pozitiv, asociat unui spațiu metric și extinde noțiunea de dimensiune a unui spațiu vectorial real. A fost introdusă în 1918 de către Felix Hausdorff și dezvoltată ulterior de către Abram Samoilovici Bezicovici, de unde și denumirea de dimensiune Hausdorff-Bezicovici.

Definiție[modificare | modificare sursă]

Triunghiul lui Sierpinski, un spaţiu având dimensiunea fractală ln 3/ln 2, ori log23, care este circa 1,58.

Dimensiunea Hausdorff ne oferă un mijloc uzual de calculare a dimensiunii unui spațiu metric.

 H^s_{\delta}(E) = \inf \left\{ \sum_{i=1}^{\infty} diam(A_i)^s  \right\}
 H^s(E) = \lim_{\delta \rightarrow 0}H^s_{\delta}(E)
 \dim_H(E) = \inf \left\{s, H^s(E) = 0  \right\} = \sup \left\{s, H^s(E) = \infty\right\}

Exemplu[modificare | modificare sursă]

Determinarea dimensiunii Hausdorff pentru intervalul  X = [0, 1] \subset \mathbb{R}  :

  • Pentru  s > 1 \,
Pentru   \varepsilon > 0 \, , fie numărul natural  N_{\varepsilon} astfel ales încât  \frac{1}{N_{\varepsilon}} < \varepsilon .
Cu acoperirea specială
 A_i = \big[ \frac{i-1}{N_{\varepsilon}} , \frac{i}{N_{\varepsilon}}\big]   pentru  1 \le i \le N_{\epsilon} , A_i = 1  pentru  i \ge N_{\varepsilon} .
Urmează
 H^s_\varepsilon(X) \le N_{\varepsilon} \cdot \big( \frac{1}{N_{\varepsilon}} \big)^s = \big( \frac{1}{N_{\varepsilon}} \big)^{s-1} < \varepsilon^{s-1} .


  • Pentru  s < 1 \,
Deoarece  d(A_i) < \varepsilon , avem:
 \sum d(A_i)^s = \sum \frac{d(A_i)}{d(A_i)^{1-s}} > \sum \frac{d(A_i)}{\varepsilon^{1-s}} .
Cum însă  A_i \, intervalul  X \, acoperă, suma tuturor diametrelor va fi cel puțin 1:
 \ge \frac{1}{\varepsilon^{1-s}} .
Rezultă:
 H^s_\varepsilon(X) \ge \frac{1}
{\varepsilon^{1-s}} .
Deci:
 H^s(X) = \infty \, .
  • Pentru  s = 1 \, :
Considerând cele două cazuri anterioare, obținem:
 H^1(X) = 1 \, .
Așadar:
 \dim X = 1 \,.

Cazuri concrete[modificare | modificare sursă]

  • Cercul are dimensiune Hausdorff 1.
  • Dimensiunea Hausdorff a reprezentării triadice Cantor este    \frac{\ln 2}{\ln 3} .
  • Dimensiunea Hausdorff a triunghiului lui Sierpinski este    \frac{\ln 3}{\ln 2} .


Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Besicovitch, A.S. - On Linear Sets of Points of Fractional Dimensions, Mathematische Annalen 101 (1929)
  • Mandelbrot, Benoît - The Fractal Geometry of Nature, Lecture notes in mathematics, W. H. Freeman, 1982. ISBN 0-7167-1186-9.

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]