Dimensiune Hausdorff
De la Wikipedia, enciclopedia liberă
În cadrul topologiei, dimensiunea Hausdorff este un număr real pozitiv, asociat unui spaţiu metric şi extinde noţiunea de dimensiune a unui spaţiu vectorial real. A fost introdusă în 1918 de către Felix Hausdorff şi dezvoltată ulterior de către Abram Samoilovici Bezicovici, de unde şi denumirea de dimensiune Hausdorff-Bezicovici.
Cuprins |
[modifică] Definiţie
Dimensiunea Hausdorff ne oferă un mijloc uzual de calculare a dimensiunii unui spaţiu metric.
[modifică] Exemplu
Determinarea dimensiunii Hausdorff pentru intervalul
:
- Pentru

-
- Pentru
, fie numărul natural
astfel ales încât
. - Cu acoperirea specială
- Pentru
-
pentru
pentru
.- Urmează
-
.
- Pentru

-
- Deoarece
, avem:
- Deoarece
-
.
-
- Cum însă
intervalul
acoperă, suma tuturor diametrelor va fi cel puţin 1:
- Cum însă
-
- Rezultă:
-
.
-
- Deci:
-
.
- Pentru
:
-
- Considerând cele două cazuri anterioare, obţinem:
-
.
-
- Aşadar:
-
.
[modifică] Cazuri concrete
- Cercul are dimensiune Hausdorff 1.
- Dimensiunea Hausdorff a reprezentării triadice Cantor este
.
- Dimensiunea Hausdorff a triunghiului lui Sierpinski este
.
- Dimensiunea Hausdorff a traiectoriei mişcării browniene tinde către 2.
[modifică] Bibliografie
- Besicovitch, A.S. - On Linear Sets of Points of Fractional Dimensions, Mathematische Annalen 101 (1929)
- Mandelbrot, Benoît - The Fractal Geometry of Nature, Lecture notes in mathematics, W. H. Freeman, 1982. ISBN 0716711869.





