Teoria probabilităților

In lumea inconjuratoare, fenomenele deterministe ocupa doar o mica parte. Imensa majoritate a fenomenelor din natura si societate sunt stochastice (aleatoare). Studiul acestora nu poate fi facut pe cale determinista si, de aceea, stiinta hazardului a aparut ca o necesitate. Teoria probabilitatilor studiaza legile după care evolueaza fenomenele aleatoare. Aplicarea matematicii la studierea fenomenelor aleatoare se bazeaza pe faptul ca, prin repetarea de mai multe ori a unui experiment, in conditii practic identice, frecventa relativa a aparitiei unui anumit rezultat (raportul dintre numarul experimentelor in care apare rezultatul si numarul tuturor experimentelor efectuate) este aproximativ acelasi, osciland in jurul unui numar constant. Daca acest lucru se intampla, atunci unui eveniment dat ii putem asocia un numar, anume probabilitatea sa. Aceasta legatura intre structura unui camp de evenimente si numar este o reflectare in matematica a transferului calitatii in cantitate. Problema convertirii in numar a unui camp de evenimente revine la a defini o functie numerica pe aceasta structura, care sa fie o masura a posibilitatilor de realizare a evenimentelor. Realizarea unui eveniment fiind probabila, aceasta functie se numeste probabilitate.

Scurt istoric

Începuturile teoriei probabilităților sunt legate de numele matematicienilor Blaise Pascal și Pierre Fermat în secolul al XVII-lea, ajungând la probleme legate de probabilitate datorită jocurilor de noroc. Dezvoltarea teoriei probabilităților și cercetarea unor probleme nelegate de jocurile de noroc sunt legate de matematicienii: Abraham Moivre, Pierre-Simon Laplace, Carl Friedrich Gauss, Simon-Denis Poisson, Pafnuti Lvovici Cebîșev, Andrei Andreevici Markov în secolul XIX, iar în secolul al XX-lea Andrei Nikolaevici Kolmogorov și al lui Alexandr Iakovlevici Hincin.

Probabilitatea evenimentelor aleatoare

Clasificarea evenimentelor:

a) sigur - evenimentul apariției una din fețele 1,2,3,4,5,6 la un zar;
b) imposibil- evenimentul apariției feței 7 la un zar;
c) aleator - evenimentul apariției feței 3 la un zar.

Frecvența unui eveniment

$h(E)\,$ = ${m \over n}$, unde m reprezintă numărul de apariții E în cazul a n încercări.

Probabilitatea unor evenimente aleatoare

În cazul unui număr n suficient de mare de experimente în care evenimentul E apare de m ori, frecvența relativă m/n poate fi socotită ca valoarea probabilităților. Această valoare se numește probabilitatea (statistică a) evenimentului E și se notează P(E); $P(E) = {m \over n}$.

Evenimente incompatibile, contrare

• Evenimente incompatibile - evenimentele nu se produc simultan.
• Evenimente contrare - producerea unuia înseamnă nerealizarea celorlalte.

Regula de adunare și cea de înmulțire

• Regula de adunare

Probabilitatea reuniunii unui număr de evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:
P(E$_1\cup$E$_2\cup$E$_3\cup$E$_4\cup$... $\cup$E$_K$)=P(E$_1$)+P(E$_2$)+P(E$_3$)+ P(E$_4$)+...+P(E$_K$).

• Regula de înmulțire

• pentru evenimente independente: P(E$\cap$F)=P(E) $\cdot$ P(F)
• pentru evenimente condiționate: P(E$\cap$F)=P(F) $\cdot$ P(E/F)

Câmp de evenimente. Câmp Borel de evenimente

1. Mulțimea S e un element a lui B.
2. Dacă două mulțimi E$_1$ și E$_2$ sunt elemente ale lui B atunci E$_1\cup$E$_2$, E$_1\cap$E$_2$ sunt elemente ale lui B.
3. Dacă mulțimile E$_1$, E$_2$, ..., E$_n$, ... sunt elemente ale lui B, atunci E$_1\cup$E$_2\cup$...E$_n\cup$... și E$_1\cap$E$_2\cap$...E$_n\cap$ sunt de asemenea elemente ale lui B.

• Câmp de evenimente - condițiile 1 și 2
• Câmp Borel de evenimente - condițiile 1, 2, 3.

Sistemul de axiome Kolmogorov

Axioma 1. Fiecărui eveniment aleator E din câmpul de evenimente îi este atașat un număr real nenegativ P(E) numit probabilitatea lui E. Axioma 2. Probabilitatea evenimentului sigur S P(S)=1.
Axioma 3. Dacă evenimentele E$_1$, E$_n$ sunt incompatibile două câte două, atunci P(E$_1\cup$E$_2\cup$... $\cup$E$_n$)=P(E$_1$)+P(E$_2$)+...+P(E$_n$)
Axioma de adunare extinsă. Dacă apariția unui eveniment E echivalentă cu apariția unui oarecare eveniment E$_1$,..., E$_n$, ... incompatibile două câte două, atunci P(E)=P(E$_1$)+P(E$_2$)+...+P(E$_n$)+...

Variabile aleatoare și repartiții

Variabilă aleatoare: variabila ia valori diferite în cazul mai multor experimente efectuate în aceleași condiții.
Variabila aleatoare discretă: poate lua un număr finit de valori.
Variabila aleatoare continuă: poate lua un număr infinit de valori.
Repartiția: mulțimea, a cărei elemente sunt perechile formate din valorile pe care poate să le ia variabila și probabilitatea corespunzătoare.

Valoarea medie și dispersia

Valoarea medie

Variabila aleatoare X ce ia valorile x$_i$ și probabilitățile corespunzătoare p$_i$
$M(X)\,$ = $\sum^\infty_{i=1}x_i p_i$
Variabila continuă X și f(x) - densitatea de repartiție continuă
$M(X)\,$ = $\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\,dx$

Valorile medii ale sumelor și produselor de variabile aleatoare

Valoarea medie a sumei a două variabile aleatoare este egală cu suma valorilor medii a celor două variabile aleatoare M(Z)=M(X)+M(Y), unde Z=X+Y, tot variabilă aleatoare. Valoarea medie a produsului a două variabile aleatoare independente este egală cu produsul valorilor medii ale variabilelor aleatoare M(Z)=M(X)×M(Y).

Dispersia pentru o variabilă aleatoare discretă

Dispersia σ² sau D(x) este o măsură pentru devierea de la medie. Se obține prin însumarea produselor dintre pătratul devierii de la medie (x$_i$ - μ) și probabilitatea corespunzătoare.
$\sigma^2=\sum^n_{i=1} (x_i - \mu)^2 \times p_i$

Dispersia pentru o variabilă aleatoare continuă

Dispersia σ² sau D(x) este o măsură pentru devierea de la medie. Se obține prin integrarea de la - ∞ la + ∞ a produsului dintre pătratul abaterii de la medie (x-μ) și densitatea de repartiție f(x).
$\sigma^2= \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x)\,dx$

Dispersia sumei a două variabile aleatoare independente

Dispersia unei sume de două variabile aleatoare independente este egală cu suma dispersiilor celor două variabile σ$_2$²=σ$_x$²+σ$_y$²

Inegalitatea lui Cebîșev

Fie X o variabilă discretă sau continuă cu valorile x, valoare medie μ și dispersia σ². Probabilitatea ca modulul diferenței (x-μ) să fie mai mare sau egal cu un număr oarecare ε>0 este mai mică sau egală cu câtul dintre dispersia σ² și pătratul lui ε.
$P\left (\big|x-\mu\big|\ge \epsilon\right )\le {\sigma^2 \over \epsilon^2}$

Legea numerelor mari

• Enunț Bernoulli

Probabilitatea ca modulul diferenței dintre frecvența relativă a evenimentului E în cazul a n experimente (n suficient de mare) și probabilitatea p a evenimentului E să fie mai mic ca ε pozitiv, arbitrar de mic e aproximativ egală cu unu.
$P\left (\bigg|{m \over n}-p\bigg|< \epsilon\right )\ge 1-\frac{1}{4\epsilon^2n}$

• Enunț Cebîșev

Probabilitatea ca modulul diferenței dintre media aritmetică A a valorilor medii a n variabile aleatoare independente (n suficient de mare) și media aritmetică a variabilelor aleatoare să fie mai mică decât ε e aproximativ egală cu unu. $P\left (\Bigg|{1 \over n}\sum^n_{i=1} X_i-A\Bigg|< \epsilon\right )\ge 1-\frac{b^2}{n\epsilon^2}$.

Repartiții

• Repartiția binomială (Bernoulli)

Legea de repartiție: $P_n (k)=C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$

Media: μ = np

Dispersia: σ² = np(1-p)

Formula de recurență: $P_n (k+1)=\frac{n-k}{k+1} \cdot \frac{p}{1-p} P_n (k)$

• Repartiția Poisson

Este asemănătoare cu cea binomială, deosebindu-se prin faptul că n poate fi foarte mare (n-> ∞) și p foarte mic (p->0).

Legea de repartiție: $\Psi_n (k)=\frac{a^k e^{-a}}{k!}$

Media: a

Dispersia: a

Formula de recurență: $\Psi_{n+1} (k)=\frac{a}{k+1} \Psi_n (k)$

• Repartiția Gauss (normală)

Densitatea de repartiție: $p(x)=\frac{1}{a\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-b)^2}{2 a^2}}$

Media: μ=b

Dispersia: σ²=a²

• Repartiția normală redusă

Densitatea de repartiție: $\varphi(\lambda)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{\lambda^2}{2}}$

Media: μ=0

Dispersia: σ²=1

Cu ajutorul substituției λ=(x-μ)/σ și se face pentru a înlesni calculele.

• Funcția de repartiție (integrala lui Gauss)

$F(x)=\int_{-\infty}^{x} p(t)\, dt=\frac{1}{a\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{(t-b)^2}{2 a^2}}\, dt$

Teoreme limită pentru sume de variabile aleatoare independente

Teorema Moivre-Laplace

Unde n reprezintă experimentele, p probabilitatea ca E să apară și q=1-p probabilitatea ca E să nu apară.
$P\left\{a\le\sum_{k=1}^n \frac{mb-\mu}{\sqrt{mpq}}<b\right\}$ -> $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{a}^{b} e^{-\frac{x^2}{2}}\, dx$

Teorema limită centrală

Dacă variabilele aleatoare independente două câte două x$_1$, x$_2$, ..., x$_n$ au aceeași repartiție și dacă μ=M(x$_n$) și σ²=Δ²(x$_n$)>0 atunci variabila aleatoare $\frac{{1 \over n} \sum_{k=1}^n X_k-M\left ({1 \over n} \sum_{k=1}^n X_k\right )}{\Delta\left ({1 \over n^2} \sum_{k=1}^n X_k\right )}$ urmează o repartiție normală redusă.

Bibliografie

• Mică enciclopedie matematică, Ed Tehnică, București (1980)

Legaturi externe

• Ghid de teoria probabilitatilor si aplicatii