Medie geometrică

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Media geometrică, în matematică, este un anumit tip de valoare medie care indică tendința centrală sau valoarea tipică a unui set de numere sau termeni. Este într-o măsură similară cu media aritmetică (la care se gândesc majoritatea oamenilor atunci când spun "în medie"), cu diferența că la media geometrică numerele se înmulțesc între ele și apoi este extrasă rădăcina (sau radicalul) de ordinul n, unde n este numărul de termeni. Dacă setul conține numai 2 termeni, media geometrică este rădăcina patrată din produsul lor.

Exemple:

  • Media geometrică a numerelor 2 și 8 este \sqrt[2]{2\cdot 8}=4
  • Media geometrică a numerelor 2, 4 și 1 este \sqrt[3]{2\cdot 4\cdot 1}=2

Media geometrică poate fi definită sau interpretată și geometric. Astfel, media geometrică a două numere a și b este egală cu latura unui pătrat cu aceeași suprafață ca și dreptunghiul cu laturile a și b. În mod similar, media geometrică a trei numere, a, b și c, este egală cu latura unui cub cu același volum ca și cel al unui paralelipiped cu laturile a, b și c.

Media geometrică are sens numai pentru numere reale pozitive. Este folosită în general pentru numere cu natură exponențială, cum ar fi datele privind creșterea populației umane sau ratele dobânzii la investițiile financiare.

Media geometrică face parte din cele trei valori medii clasice descoperite de Pitagora: media aritmetică (sau algebrică), media geometrică și media armonică.

Definiții formale[modificare | modificare sursă]

  • Rădăcina de ordinul n din produsul celor n termeni.
  • Antilogaritmul mediei aritmetice a logaritmilor termenilor dintr-un set. În cazul că se dispune de tabele de logaritmi, operația deseori complicată de extragere a rădăcinii de ordinul n poate fi înlocuită cu calculul unei medii aritmetice și citirea antilogaritmului din aceleași tabele.

Modul de calcul[modificare | modificare sursă]

Media geometrică a numerelor (numite și termeni) \{a_1,a_2 , \ldots,a_n\} este dată de formula: \text {Mg}\,\! = \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}. unde "n" este numărul de termeni. Media geometrică este mai mică sau egală cu media algebrică a acelorași numere. Ea este egală cu media algebrică dacă și numai dacă toți termenii sunt egali între ei. Acest lucru permite definirea mediei aritmetico-geometrică drept o combinație a celor două. Media geometrică este de asemenea media aritmetico-armonică, în sensul că dacă avem (an), (hn)

a_{n+1} = \frac{a_n + h_n}{2}, \quad a_0=x

și

h_{n+1} = \frac{2}{\frac{1}{a_n} + \frac{1}{h_n}}, \quad h_0=y

atunci an și hn vor converge in sensul geometric de x și y.

Acest lucru se petrece din cauză că secvențele converg până la o anumită limită și că sensul geometric încă există:

\sqrt{a_ih_i}=\sqrt{\frac{a_i+h_i}{\frac{a_i+h_i}{h_ia_i}}}=\sqrt{\frac{a_i+h_i}{\frac{1}{a_i}+\frac{1}{h_i}}}=\sqrt{a_{i+1}h_{i+1}}

În general[modificare | modificare sursă]

Media geometrică se aplică numai la numere pozitive. În plus, de obicei nu se operează cu procentaje. Dacă de ex. o mărime crește într-un an cu 10 % iar în anul următor variază cu -20 % (scade cu 20 %), se procedează în felul următor: se pleacă de la 100 % ca fiind 1, 110 % din primul an se notează cu 1,1 iar 80 % din anul următor cu 0,8. Rata de creștere anuală compusă se definește atunci drept media geometrică a valorilor 1,1 și 0,8 = 0,938 sau 93,8 %. „Creșterea” este în acest exemplu negativă, pe cei doi ani luați împreună rezultând o scădere de 6,2 %.

Aplicații practice[modificare | modificare sursă]

Creșterea proporțională[modificare | modificare sursă]

Media geometrică e mai utilă decât cea algebrică pentru descrierea creșterii proporționale, atât cresterea exponentiala (care creste constant) cat si cea variabila. In afaceri este cunoscuta ca "rata compusă anuală de creștere". Medie geometrica care creste intr-un anumit interval de timp este echivalentul cresterii constante care are acelasi rezultat final. De exemplu in primul an avem 100 de portocala,apoi 180 apoi 210 si apoi 300. Cresterea este de 80 %, 16,7 % si 42,9 % pentru fiecare an respectiv. Folosind media aritmetica cresterea medie anual este de 46,5 % (80 % + 16,7 % + 42,9 % impartit la 3). Insa daca calculam astfel obtinem o eroare de 14 portocale, pentru ca daca calculam o crestere medie de 46,5 % / an atunci la sfarsit vom avea 314 portocale,nu 300, asa ca procentul de crestere anual este peste numarul efectiv de protocale.

In schimb putem folosii media geometrica. O crestere de 80 % reprezinta numarul inmultit cu 1.80 asa ca luam media geometrica a numerelor 1.8, 1,167 si 1,429, obtinem \sqrt[3]{1,80 \times 1,167 \times 1,429} = 1,443, ceea ce inseamna ca avem o crestere anuala de 44,3 % / an. Astfel obtinem 300 de portocale.

Formatul imaginilor (raport de aspect)[modificare | modificare sursă]

Raportul de aspect sau formatul (în engleză: aspect ratio) este lungimea orizontală comparată cu cea verticală, ex. 4:3 este raportul standard de aspect, un ecran cu lungimea de 1024 de pixeli, va avea înălțimea de 768 de pixeli. Un ecran lat (widescreen) poate avea raportul de aspect 16:9, un ecran cu lungimea de 1024 de pixeli, va avea înălțimea de 576 de pixeli. Media geometrica a fost folosita pentru alegerea unui compromis in vederea alegerii unui format la filme si inregistrari video. Formatul dorit conduce uneori la taierea sau modificare anumitor parti ale imaginii. In mod concret, sunt doua dreptunghiuri cu aria egala,acelasi centru si latimi paralele,de raport diferit care se intersecteaza intr-un dreptunghi al carui raport este media geometrica. Cel mai mic dreptunghi care le contine pe amandoua are si el raportul media geometrica. De exemplu in raportul de 16:9, se echilibreaza 2,35 si 4:3, media geometrica formata fiind: \sqrt{2,35 \times 4/3} \approx 1,77, si astfel 16:9 = 1,777\dots a fost ales. Acest lucru a fost descoperit de dr. Kerns Powers,care taia dreptunghiuri cu ariile egale si le dadea forma a.i. sa aiba rapoartele cele mai populare si des intalnite. El a observat ca atunci cand a suprapus dreptunghiurile cu centrele lor aliniate, toate incapeau intr-un dreptunghi cu aspectul de 1,77:1, si toate acopereau un dreptunghi mai mic cu acelasi raport. Raportul gasit de el este exact media geometrica a aspectelor extreme: 4:3, 1,33:1 și 2,35:1, media geometrica fiind foarte aproape de 16:9 (1,78:1). Media geometrica a 16:9 si a 4:3 da aprox. 14:9, raport folosit ca alternativa intre cele doua formate.

Vezi și articolul Imagine_digitală#Formate_de_imagini.

Controlul calității apei[modificare | modificare sursă]

La controlul si monitorizarea apei se monitorizeaza starea apei de pe plajele turistice pentru concentratiile de bacterii. Destul de des,informatiile colectionate trebuie rezumate ca fiind o medie geometrica a tuturor rezultatelor obtinute pana in acea perioada. Astfel se calculeaza o medie geometrica exacta la care trebuie inchise plajele turistice. O medie geometrica atenuează efectele valorilor foarte ridicate, sau foarte scazute, ce ar putea da alarma prea devreme.[necesită citare]