Coordonate carteziene

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Acest articol sau această secţiune are bibliografia incompletă sau inexistentă. Puteţi ajuta găsind susţinere bibliografică pentru conţinutul paginii.

Fig. 1 - Coordonate carteziene. Sunt marcate patru puncte: (2,3) cu verde, (-3,1) cu roşu, (-1.5,-2.5) cu albastru şi (0,0), originea, cu galben.

În matematică, sistemul de coordonate carteziene este folosit pentru a determina în mod unic un punct în plan prin două numere, numite de regulă abscisa şi ordonata punctului. Pentru a defini coordonatele, se specifică două drepte perpendiculare şi unitatea de lungime, care este marcată pe cele două axe. Coordonatele carteziene sunt folosite şi în spaţiu (unde se folosesc trei coordonate) şi în mai multe dimensiuni.

Fig. 2 - Sistemul de coordonate carteziene cu cercul de rază 2 centrat în origine marcat cu roşu. Ecuaţia cercului este x² + y² = 4.

Folosind sistemul de coordonate carteziene, formele geometrice (cum ar fi curbele) pot fi descrise prin ecuaţii algebrice, anume ecuaţii satisfăcute de coordonatele punctelor de pe respectiva formă geometrică. De exemplu, cercul de rază 2 poate fi descris de ecuaţia x² + y² = 4.

[modifică] Istoric

Numele sistemului vine de la Cartesius, numele latinesc al matematicianului şi filozofului francez René Descartes care, printre altele, a contribuit la unificarea algebrei şi geometriei euclidiene. Munca sa a avut influenţe asupra geometriei analitice, analizei matematice, şi cartografiei.

Ideea acestui sistem a fost dezvoltată în 1637 în două lucrări ale lui Descartes. În partea a doua a Discursului asupra metodei, Descartes introduce ideea nouă a specificării poziţiei unui punct sau obiect de pe o suprafaţă, folosind două axe intersectate ca ghizi de măsurare. În La Géométrie, a explorat mai în profunzime conceptele menţionate mai sus.

[modifică] Sistemul de coordonate bidimensional

Fig. 3 - Cele patru cadrane ale unui sistem de coordonate carteziene. Săgeţile de pe axe indică faptul că ele se extind spre infinit în direcţiile respective.

Un sistem de coordonate cartezian în două dimensiuni este definit de obicei de două axe în unghi drept una cu cealaltă, formând un plan. Axa orizontală este în mod normal etichetată x, şi axa verticală este notată cu y. Într-un sistem de coordonate tridimensional se adaugă o altă axă, de regulă notată cu z, furnizând a treia dimensiune de măsurare a spaţiului. Axele sunt de regulă definite ca fiind perpendiculare una pe cealaltă. (Primele sisteme permiteau şi axe oblice, adică axe care nu se intersectau în unghi drept, astfel de sisteme fiind folosite şi astăzi, dar mai ales ca exerciţiu teoretic.) Toate punctele dintr-un sistem de coordonate cartezian luate împreună formează un aşa-numit plan cartezian. Ecuaţiile care folosesc sistemul de coordonate cartezian sunt numite ecuaţii carteziene.

Punctul de intersecţie a axelor se numeşte origine şi se notează cu O. Axele x şi y definesc un plan denumit planul xy. Pentru a specifica un anume puncte pe un sistem de coordonate bidimensional, se indică întâi unitatea x (abscisa), urmată de unitatea y (ordonata) de forma (x,y), pereche ordonată.

Alegerea literelor provinde dintr-o convenţie de a folosi literele de la sfârşitul alfabetului pentru a indica valorile necunoscute. Prin contrast, literele de la începutul alfabetului erau folosite pentru a nota valori cunoscute.

Un exemplu de punct P în sistem este arătat în figura 3, folosind coordonatele (3,5).

Intersecţia celor două axe dă naştere la patru regiuni, denumite cadrane, notate cu numerele romane I (+,+), II (−,+), III (−,−), şi IV (+,−). Convenţional, cadranele sunt etichetate în sens invers acelor de ceasornic pornind de la cel din drepta-sus (de "nord-est"). În primul cadran, ambele coordonate sunt pozitive, în al doilea cadran abscisele sunt negative şi ordonatele pozitive, în al treilea cadran ambele coordonate sunt negative iar in al patrulea cadran, abscisele sunt pozitive iar ordonatele negative.

[modifică] Sistemul de coordonate în trei dimensiuni

Fig. 4 - Sistem de coordonate tridimensional cu axa y îndreptată în direcţia opusă observatorului.

Fig. 5 - Sistem de coordonate carteziene în trei dimensiuni cu axa x îndreptată spre observator.

Sistemul de coordonate carteziene în trei dimensiuni furnizează cele trei dimensiuni fizice ale spaţiului — lungime, lăţime şi înălţimile. În figurile 4 şi 5 sunt arătate două moduri obişnuite de reprezentare a acestuia.

Cele trei axe carteziene care definesc sistemul sunt perpendiculare două câte două. Coordonatele relevante sunt de forma (x,y,z). De exemplu, figura 4 arată două puncte trasate într-un sistem cartezian tridimensional: P(3,0,5) şi Q(−5,−5,7).

Coordonatele x-, y-, şi z ale unui punct pot fi considerate a fi distanţele de la acel punct la planele yz, xz, şi respectiv xy. Figura 5 arată distanţele de la punctul P la plane.

Planele xy, yz, şi xz împart spaţiul tridimensional în opt subdiviziuni denumite octante, similar cu cadranele din spaţiul 2D. Deşi au fost stabilite convenţii de etichetare a cadranelor din planul xy, în spaţiul tridimensional doar primul octant este etichetat. El conţine toate punctele ale căror coordonate x, y şi zsunt pozitive.

[modifică] Orientare

[modifică] În două dimensiuni

Regula mâinii drepte.

Fixarea sau alegerea axei x determină şi axa y. Anume, axa y este neapărat perpendiculara pe axa x în punctul marcat cu 0 pe axa x. Rămânde de ales care din cele două semidrepte ale perpendicularei va desemna valorile pozitive şi care pe cele negative. Fiecare dintre cele două alegeri determină o altă orientare a planului cartezian.

Calea obişnuită de orientare a axelor, cu axa pozitivă x către dreapta şi axa pozitivă y în sus (şi axa x fiind "prima" şi axa y a doua axă) este considerată orientarea pozitivă sau standard.

O mnemonică folosită adesea pentru definirea orientării pozitive este regula mâinii drepte. Punând o mână dreaptă cu palma în sus pe plan cu degetul mare îndreptat în sus (direcţia pozitivă a axei y), cele patru degete arată direcţia de la axa x spre axa y.

Orientarea sistemului de coordonate se păstrează prin rotaţie. Interschimbarea lui x şi y va schimba orientarea.