Geometrie algebrică

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Geometria algebrică este o ramură a matematicii, care, aşa cum numele o sugerează, combină algebra abstractă, în special algebra comutativă cu geometria. Geometria algebrică poate fi înţeleasă ca studiul unui grup de soluţii al sistemelor de ecuaţii algebrice. Atunci când există mai mult de o variabilă, considerente de natură geometrică intră "în joc", înţelegerea fenomenului fiind importantă. S-ar putea spune că subiectul abia începe acolo unde rezolvarea ecuaţiilor se termină. De asemenea, se poate argumenta că este la fel de importantă găsirea ansamblului tuturor soluţiilor posibile ale unui sistem de ecuaţii ca şi găsirea unei singure soluţii. Oricum, aceste considerente conduc la interpretări de natură complexă şi filozofică a matematicii, atât conceptual cât şi tehnic.

Cuprins 1 Zero-urile polinoamelor simultane 2 Varietăţi afine 3 Funcţii regulate 4 Categoria varietăţilor afine 5 Spaţiul proiectiv 6 Punctul de vedere modern 7 Note şi istoric 8 Vezi şi 9 Referinţe 10 Legături externe

[modifică] Zero-urile polinoamelor simultane

În geometria algebrică clasică, obiectul esenţial al interesului îl reprezintă grupul tuturor punctelor care satisfac simultan una sau mai multe ecuaţii polinomiale. Spre exemplificare, sfera tridimensională în spaţiul euclidian tridimensional Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): \mathbb R^3

poate fi definită ca mulţimea tuturor punctelor Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): (x,y,z)
care satisfac ecuaţia:  

Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): x^2+y^2+z^2-1=0.\,

Astfel, un cerc "înclinat" în Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): \mathbb R^3

poate fi definit ca mulţimea tuturor punctelor Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): (x,y,z)
care satisfac simultan următoarele două ecuaţii polinomiale: 

Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): x^2+y^2+z^2-1=0,\,

Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): x+y+z=0.\,

[modifică] Varietăţi afine

Spaţiul afin peste un câmp Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): k\,

este produsul cartezian Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice):  k^n\,

, unde Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): n\in \mathbb N\,

denotă dimensiunea spaţiului. Punctele lui Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): k^n\,
pot fi exprimate in coordonate Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): (x_1,...,x_n)\,

.

O varietate afină este o submulţime a lui Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): k^n\, , ale cărei puncte sunt zerourile simultane ale unei colecţii de polinoame în Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): n\,

variabile. Mai exact, dacă Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): \{f_{\alpha}(x_1,...,x_n)\}\,
este o colecţie de polinoame, atunci o varietate afină este

Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): V=\{(x_1,...,x_n)|f_{\alpha}(x_1,...,x_n)=0, \forall \alpha\}

.

Dacă punctele unei varietăţi Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): V \,

sunt zerourile unei colecţii de polinoame Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): \{f_{\alpha}(x_1,...,x_n)\}\,

, atunci ele sunt zerourile oricărui polinom din idealul general de polinoamele Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): \{f_{\alpha}(x_1,...,x_n)\}\, . Acest ideal se notează cu Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): I(V) \,

şi se numeşte idealul varietăţii Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice):  V \,

.

Reciproc, pornind de la un ideal de polinoame Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): I \, , varietatea punctelor care satisfac simultan toate polinoamele din Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): V \,

se notează cu Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice):  V(I)\, 

. Relaţia dintre idealuri şi varietăţi este completată de teorema zerourilor lui Hilbert (germană: Nullstellensatz), care afirmă că pentru un ideal de polinoame Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): J \, ,

Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): I(V(J))=\sqrt{J}

,

unde Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): \sqrt{J} \,

denotă radicalul lui Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice):  J \,

. De asemenea, pentru orice varietate Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): W \,

are loc relaţia

Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): V(I(W))=W.\,

Varietăţile afine sunt precis mulţimile închise din topologia Zariski.

[modifică] Funcţii regulate

O funcție regulată pe o varietate algebrică Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): V\subset k^n\,

este restricția la Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice):  V \,
a unei funcții polinomiale pe Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice):  k^n \,
(adică a unui polinom in Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice):  n \,
variabile cu coeficienți în Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice):  k\, 

). Prin definiție, polinoamele din idealul Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): I(V) \,

se anulează pe întregul Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice):  V\, 

. De aceea, este mai firesc ca funcțiile regulate pe Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): V \,

să fie privite modulo Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice):  I(V)\, 

.

Astfel, funcțiile regulate pe Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): V \,

 formează un inel, a cărui definiție formală este

Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): k[V]:=k[x_1,...,x_n]/I(V).\,

De exemplu, dacă Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): V=k^n\, , atunci Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): I(V)=(0)\,

și astfel Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice):  k[V]=k[x_1,...,x_n] \,

.

Dacă Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): V\,

este un singur punct Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice):  (a_1,...,a_n) \,

, atunci Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice): I(V)=(x_1-a_1,...,x_n-a_n)\,

și atunci Nu s-a putut interpreta (Nu se poate crea sau nu se poate scrie în directorul de ieşire pentru formule matematice):  k[V]\cong k 

.

[modifică] Categoria varietăţilor afine

[modifică] Spaţiul proiectiv

[modifică] Punctul de vedere modern

[modifică] Note şi istoric

[modifică] Vezi şi

• Important publications in algebraic geometry
• List of algebraic surfaces
• Root-finding algorithm

[modifică] Referinţe

A classical textbook, predating schemes:

• W. V. D. Hodge; Daniel Pedoe (1994). Methods of Algebraic Geometry: Volume 1, Cambridge University Press. ISBN 0521469007.
• Hodge, W. V. D.; Pedoe, Daniel (1994). Methods of Algebraic Geometry: Volume 2, Cambridge University Press. ISBN 0521469015.
• Hodge, W. V. D.; Pedoe, Daniel (1994). Methods of Algebraic Geometry: Volume 3, Cambridge University Press. ISBN 0521467756.

Modern textbooks that do not use the language of schemes:

• David Cox; John Little, Don O'Shea (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms, second edition, Springer-Verlag. ISBN 0387946802.
• Phillip Griffiths; Joe Harris (1994). Principles of Algebraic Geometry, Wiley-Interscience. ISBN 0471050598.
• Joe Harris (1995). Algebraic Geometry: A First Course, Springer-Verlag. ISBN 0387977163.
• David Mumford (1995). Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties, 2nd ed., Springer-Verlag. ISBN 3540586571.
• Miles Reid (1988). Undergraduate Algebraic Geometry, Cambridge University Press. ISBN 0521356628.
• Igor Shafarevich (1995). Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space, 2nd ed., Springer-Verlag. ISBN 0387548122.

Textbooks and references for schemes:

• David Eisenbud; Joe Harris (1998). The Geometry of Schemes, Springer-Verlag. ISBN 0387986375.
• Alexander Grothendieck (1960). Éléments de géométrie algébrique, Publications mathématiques de l'IHÉS.
• Alexander Grothendieck (1971). Éléments de géométrie algébrique, 2nd ed., Springer-Verlag. ISBN 3540051139.
• Robin Hartshorne (1997). Algebraic Geometry, Springer-Verlag. ISBN 0387902449.
• David Mumford (1999). The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians, 2nd ed., Springer-Verlag. ISBN 354063293X.
• Igor Shafarevich (1995). Basic Algebraic Geometry II: Schemes and Complex Manifolds, Springer-Verlag. ISBN 0387548122.

[modifică] Legături externe

• Kevin R. Coombes: Algebraic Geometry: A Total Hypertext Online System
• Algebraic geometry entry on PlanetMath
• Algebraic Equations and Systems of Algebraic Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations