Geometrie algebrică

Parabola (y = x², în roșu) și cubica (y = x³, în albastru) într-o proiecție spațială bine sugerată, dar bidimensional.

Geometria algebrică este o ramură a matematicii, care, așa cum numele o sugerează, combină algebra abstractă, în special algebra comutativă cu geometria. Geometria algebrică poate fi înțeleasă ca studiul unui grup de soluții al sistemelor de ecuații algebrice. Atunci când există mai mult de o variabilă, considerente de natură geometrică intră "în joc", înțelegerea fenomenului fiind importantă. S-ar putea spune că subiectul abia începe acolo unde rezolvarea ecuațiilor se termină. De asemenea, se poate argumenta că este la fel de importantă găsirea ansamblului tuturor soluțiilor posibile ale unui sistem de ecuații ca și găsirea unei singure soluții. Oricum, aceste considerente conduc la interpretări de natură complexă și filozofică a matematicii, atât conceptual cât și tehnic.

Zero-urile polinoamelor simultane

În geometria algebrică clasică, obiectul esențial al interesului îl reprezintă grupul tuturor punctelor care satisfac simultan una sau mai multe ecuații polinomiale. Spre exemplificare, sfera tridimensională în spațiul euclidian tridimensional $\mathbb R^3$ poate fi definită ca mulțimea tuturor punctelor $(x,y,z)$ care satisfac ecuația:

$x^2+y^2+z^2-1=0.\,$

Astfel, un cerc "înclinat" în $\mathbb R^3$ poate fi definit ca mulțimea tuturor punctelor $(x,y,z)$ care satisfac simultan următoarele două ecuații polinomiale:

$x^2+y^2+z^2-1=0,\,$

$x+y+z=0.\,$

Varietăți afine

Spațiul afin peste un câmp $k\,$ este produsul cartezian $k^n\,$, unde $n\in \mathbb N\,$ denotă dimensiunea spațiului. Punctele lui $k^n\,$ pot fi exprimate in coordonate $(x_1,...,x_n)\,$.

O varietate afină este o submulțime a lui $k^n\,$, ale cărei puncte sunt zerourile simultane ale unei colecții de polinoame în $n\,$ variabile. Mai exact, dacă $\{f_{\alpha}(x_1,...,x_n)\}\,$ este o colecție de polinoame, atunci o varietate afină este

$V=\{(x_1,...,x_n)|f_{\alpha}(x_1,...,x_n)=0, \forall \alpha\}$.

Dacă punctele unei varietăți $V \,$ sunt zerourile unei colecții de polinoame $\{f_{\alpha}(x_1,...,x_n)\}\,$, atunci ele sunt zerourile oricărui polinom din idealul general de polinoamele $\{f_{\alpha}(x_1,...,x_n)\}\,$. Acest ideal se notează cu $I(V) \,$ și se numește idealul varietății $V \,$.

Reciproc, pornind de la un ideal de polinoame $I \,$, varietatea punctelor care satisfac simultan toate polinoamele din $V \,$ se notează cu $V(I)\,$. Relația dintre idealuri și varietăți este completată de teorema zerourilor lui Hilbert (germană: Nullstellensatz), care afirmă că pentru un ideal de polinoame $J \,$,

$I(V(J))=\sqrt{J}$,

unde $\sqrt{J} \,$ denotă radicalul lui $J \,$. De asemenea, pentru orice varietate $W \,$ are loc relația

$V(I(W))=W.\,$

Varietățile afine sunt precis mulțimile închise din topologia Zariski.

Funcții regulate

O funcție regulată pe o varietate algebrică $V\subset k^n\,$ este restricția la $V \,$ a unei funcții polinomiale pe $k^n \,$ (adică a unui polinom in $n \,$ variabile cu coeficienți în $k\,$). Prin definiție, polinoamele din idealul $I(V) \,$ se anulează pe întregul $V\,$. De aceea, este mai firesc ca funcțiile regulate pe $V \,$ să fie privite modulo $I(V)\,$.

Astfel, funcțiile regulate pe $V \,$ formează un inel, a cărui definiție formală este

$k[V]:=k[x_1,...,x_n]/I(V).\,$

De exemplu, dacă $V=k^n\,$, atunci $I(V)=(0)\,$ și astfel $k[V]=k[x_1,...,x_n] \,$.

Dacă $V\,$ este un singur punct $(a_1,...,a_n) \,$, atunci $I(V)=(x_1-a_1,...,x_n-a_n)\,$ și atunci $k[V]\cong k$.

Vezi și

• Geometrie analitică
• Important publications in algebraic geometry
• List of algebraic surfaces
• Root-finding algorithm

Referințe

A classical textbook, predating schemes:

• W. V. D. Hodge; Daniel Pedoe (1994). Methods of Algebraic Geometry: Volume 1. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46900-7 
• Hodge, W. V. D.; Pedoe, Daniel (1994). Methods of Algebraic Geometry: Volume 2. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46901-5 
• Hodge, W. V. D.; Pedoe, Daniel (1994). Methods of Algebraic Geometry: Volume 3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46775-6 

Modern textbooks that do not use the language of schemes:

• David Cox; John Little, Don O'Shea (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms (ed. second edition). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94680-2 
• Phillip Griffiths; Joe Harris (1994). Principles of Algebraic Geometry. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-05059-8 
• Joe Harris (1995). Algebraic Geometry: A First Course. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97716-3 
• David Mumford (1995). Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties (ed. 2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 3-540-58657-1 
• Miles Reid (1988). Undergraduate Algebraic Geometry. Cambridge University Press. ISBN 0-521-35662-8 
• Igor Shafarevich (1995). Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space (ed. 2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-54812-2 

Textbooks and references for schemes:

• David Eisenbud; Joe Harris (1998). The Geometry of Schemes. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98637-5 
• Alexander Grothendieck (1960). Éléments de géométrie algébrique. Publications mathématiques de l'IHÉS 
• Alexander Grothendieck (1971). Éléments de géométrie algébrique. 1 (ed. 2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 3-540-05113-9 
• Robin Hartshorne (1997). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9 
• David Mumford (1999). The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians (ed. 2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 3-540-63293-X 
• Igor Shafarevich (1995). Basic Algebraic Geometry II: Schemes and Complex Manifolds. Springer-Verlag. ISBN 0-387-54812-2 

Legături externe

• Kevin R. Coombes: Algebraic Geometry: A Total Hypertext Online System
• Algebraic geometry entry on PlanetMath
• Algebraic Equations and Systems of Algebraic Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations