Teorema fundamentală a calculului integral

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Teorema fundamentală a calculului integral specifică relația dintre cele două operații de bază ale calculului integral, derivarea și integrarea.

Prima parte a teoremei, numită uneori prima teoremă fundamentală a calculului integral, arată că o integrală nedefinită[1] poate fi inversată prin derivare.

Partea a doua, uneori numită a doua teoremă fundamentală a calculului integral, permite calcularea integralei definite a unei funcții folosind oricare din infinit de multele primitive ale acesteia. Această parte din teoremă simplifică calculul integralelor definite.

Prima formulare și demonstrație publicată a unei versiuni restrânse a acestei teoreme a fost dată de James Gregory (1638-1675).[2] Isaac Newton (1643–1727) și Gottfried Leibniz (1646–1716) au dezvoltat independent unul de altul forma finală a teoremei.

Intuitiv[modificare | modificare sursă]

Intuitiv, teorema afirmă doar că suma unor variații infinitezimale ale unei cantități în timp constituie variația netă a acelei cantități.

Pentru a înțelege această afirmație, vom da un exemplu. Să presupunem că o particulă se deplasează în linie dreaptă cu poziția dată de x(t) unde t este timpul. Derivata acestei funcții este egală cu variația infinitezimală a poziției, dx, pentru o variație infinitezimală a timpului, dt (bineînțeles, derivata însăși depinde de timp). Să definim această variație a dinstanței pe variația de timp ca viteza v a particulei. În notația lui Leibniz:

\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} = v(t).

Rearanjând această ecuație, rezultă că:

\mathrm dx = v(t)\,\mathrm dt.

Prin logica de mai sus, o variație a lui x, notată \Delta x, este suma modificărilor infinitezimale dx. Ea este egală și cu suma produselor infinitezimale ale derivatei și timpului. Această adunare infinită se numește integrare; deci, operația de integare permite recuperarea funcției originale din derivata ei. De aici se poate deduce că această operație funcționează și invers, derivând rezultatul integralei pentru a obține derivata originală.

Enunțuri[modificare | modificare sursă]

Teorema fundamentală a calculului integral are două părți. Prima parte se ocupă de derivata unei primitive, iar a doua parte se ocupă de relația dintre primitivă și integrala definită.

Prima parte[modificare | modificare sursă]

Această parte este numită uneori Prima teoremă fundamentală a calculului integral.

Fie f o funcție continuă cu valori reale definită pe un interval închis [a, b]. Fie F funcția definită, pentru fiecare x din [a, b], prin

F(x) = \int_a^x f(t)\, \mathrm dt

Atunci, oricare ar fi x din [a, b],

F'(x) = f(x)\,.

Operația \int_a^x f(t) este o integrală definită cu limită superioară variabilă, și rezultatul său F(x) este una din infinit de multele primitive ale lui f.

Partea a doua[modificare | modificare sursă]

Această parte este uneori numită A doua teoremă fundamentală a calculului integral.

Fie f o funcție continuă cu valori reale definită pe un interval închis [a, b]. Fie F o primitivă a lui f, adică una din infinit de multele funcții cu proprietatea că, oricare ar fi x din [a, b],

f(x) = F'(x)\,.

Atunci

\int_a^b f(x)\,\mathrm dx = F(b) - F(a).

Corolar[modificare | modificare sursă]

Fie f o funcție cu valori reale definită pe un interval închis [a, b]. Fie F o funcție astfel încât, oricare ar fi x din [a, b],

f(x) = F'(x)\,

Atunci, oricare ar fi x din [a, b],

F(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm dt + F(a)

și

f(x) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \int_a^x f(t)\,\mathrm dt.

Exemple[modificare | modificare sursă]

De exemplu, să presupunem că trebuie să se calculeze

\int_2^5 x^2\, \mathrm dx.

Aici, f(x) = x^2 și putem folosi F(x) = {x^3\over 3} ca primitivă. Deci:

\int_2^5 x^2\, \mathrm dx = F(5) - F(2) = {125 \over 3} - {8 \over 3} = {117 \over 3} = 39.

Sau, mai general, să presupunem că trebuie să se calculeze

{\mathrm d \over \mathrm dx} \int_0^x t^3\, \mathrm dt.

Aici, f(t) = t^3 și putem folosi F(t) = {t^4 \over 4} ca primitivă. Astfel:

{\mathrm d \over \mathrm dx} \int_0^x t^3\, \mathrm dt = {\mathrm d \over \mathrm dx} F(x) - {\mathrm d \over \mathrm dx} F(0) = {\mathrm d \over \mathrm dx} {x^4 \over 4} = x^3.

Dar acest rezultat putea fi găsit mult mai ușor ca

{\mathrm d \over \mathrm dx} \int_0^x t^3\, \mathrm dt = f(x) {\mathrm dx \over \mathrm dx} - f(0) {\mathrm d0 \over \mathrm dx} = x^3.

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Să presupunem că

F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \mathrm dt.

Fie două numere x1 și x1 + Δx din [a, b]. Deci avem

F(x_1) = \int_{a}^{x_1} f(t) \mathrm dt

și

F(x_1 + \Delta x) = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \mathrm dt.

Scăzând cele două ecuații

F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \mathrm dt - \int_{a}^{x_1} f(t) \mathrm dt. \qquad (1)

Se poate arăta că

\int_{a}^{x_1} f(t) \mathrm dt + \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \mathrm dt = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \mathrm dt.
(Suma ariilor a două regiuni adiacente este egală cu aria combinată a ambelor regiuni combinate.)

Manipularea acestei ecuații produce

\int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \mathrm dt - \int_{a}^{x_1} f(t) \mathrm dt = \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \mathrm dt.

Înlocuind aceasta de mai sus în (1) rezultă

F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t)\mathrm dt. \qquad (2)

Conform cu teorema valorii medii pentru integrare, există un c din [x1, x1 + Δx] astfel încât

\int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \mathrm dt = f(c) \Delta x .

Înlocuind aceasta în (2) obținem

F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = f(c) \Delta x \,.

Împărțind ambele părți la un Δx obținem

\frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = f(c).

Mergând la limită când Δx → 0 în ambele părți ale ecuației,

\lim_{\Delta x \to 0} \frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} f(c).

Expresia din partea stângă a ecuației este definiția derivatei lui F în x1.

F'(x_1) = \lim_{\Delta x \to 0} f(c). \qquad (3)

Pentru a găsi cealaltă limită, vom folosi teorema celor doi jandarmi. Numărul c este din intervalul [x1, x1 + Δx], astfel că x1cx1 + Δx.

De asemenea, \lim_{\Delta x \to 0} x_1 = x_1 and \lim_{\Delta x \to 0} x_1 + \Delta x = x_1.

Deci, conform teoremei celor doi jandarmi,

\lim_{\Delta x \to 0} c = x_1.

Înlocuind în (3), rezultă

F'(x_1) = \lim_{c \to x_1} f(c).

Funcția f este continuă în c, deci limita poate fi introdusă în cadrul funcției. Deci rezultă

F'(x_1) = f(x_1) \,.

ceea ce încheie demonstrația.

(Leithold et al, 1996)

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Mai precis, teorema tratează integrarea definită cu limită superioară variabilă și limită inferioară constantă arbitrară. Acest tip particular de integrală definită ne permite să calculăm una din infinit de multele primitive ale unei funcții (cu excepția celor care nu au un zero). Deci este aproape echivalentă cu o integrală nedefinită, definită de majoritatea autorilor ca o operație care dă una din posibilele primitive ale unei funcții, inclusiv cele fără vreun zero.
  2. ^ Vezi, de exemplu, Marlow Anderson, Victor J. Katz, Robin J. Wilson, Sherlock Holmes in Babylon and Other Tales of Mathematical History, Mathematical Association of America, 2004, p. 114.

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Larson, Ron, Bruce H. Edwards, David E. Heyd. Calculus of a single variable. 7th ed. Boston: Houghton Mifflin Company, 2002.
  • Leithold, L. (1996). The calculus 7 of a single variable. 6th ed. New York: HarperCollins College Publishers.
  • Malet, A, Studies on James Gregorie (1638-1675) (PhD Thesis, Princeton, 1989).
  • Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In Calculus: early transcendentals. Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.
  • Dahlquist, Germund. „Chapter 5: Numerical Integration”. Numerical Methods in Scientific Computing. Björck, Åke. Philadelphia: SIAM. http://www.mai.liu.se/~akbjo/NMbook.html 
  • Stoer, Josef (2002). „Chapter 3: Topics in Integration”. Introduction to Numerical Analysis. Bulirsch, Roland (ed. 3rd). Springer. ISBN 978-0-387-95452-3 .
  • Kahaner, David (1989). „Chapter 5: Numerical Quadrature”. Numerical Methods and Software. Moler, Cleve; Nash, Stephen. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-627258-8 
  • Turnbull, H W (ed.), The James Gregory Tercentenary Memorial Volume (London, 1939)