Teorema numerelor prime

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Teorema numerelor prime descrie distribuția asimptotică a numerelor prime.

În linii mari, teorema precizează că, dacă N este un număr natural suficient de mare, probabilitatea ca un alt număr natural, din vecinătatea lui N să fie prim, este  \frac{1}{ln \; N} , unde ln N este logaritmul natural al lui N. De exemplu, dacă N=10 000, aproximativ unul din 9 sunt prime, iar dacă N=1.000.000.000, numai unul din 21 numere (din vecinătatea lui N) sunt prime.

Enunțul teoremei[modificare | modificare sursă]

Graficul comparaţiei dintre  \pi(x)   şi    \frac{x}{\ln{x}} .

Se definiște „funcția număr prim”  \pi

 \pi(x) = \# \{p \in \mathbb{P} \mid p \le x \} ,

unde  x \in \mathbb{R} iar  \mathbb{P} este mulțimea numerelor prime.

(Simbolul  \# M reprezintă numărul de elemente, cardinalul, mulțimii M. )

Așadar,  \pi(x) definește numărul numerelor prime mai mici decât x.

Teorema numerelor prime afirmă că:

 \lim_{x \to \infty} {\frac{\pi(x)}{\frac{x}{\ln(x)}}} = 1 .

Sau, cu alte cuvinte, funcțiile  \pi (x) și   \frac{x}{\ln(x)} sunt asimptotic echivalente.

Istoric[modificare | modificare sursă]

Teorema numerelor prime demonstrată pentru prima dată de matematicianul francez Jacques Hadamard, în 1896. Teorema a fost demonstrată independent, în același an, și de Charles Jean de la Vallée-Poussin (en).

Îmbunătățire a teoremei[modificare | modificare sursă]

Tabel cu π(x), x / ln x și Li(x)[modificare | modificare sursă]

x π(x)[1] π(x) - x / lnx Li(x) - π(x)[2] x / π(x)
10 4 -0,3 0,921 2,2 2,500
102 25 3,3 1,151 5,1 4,000
103 168 23 1,161 10 5,952
104 1.229 143 1,132 17 8,137
105 9.592 906 1,104 38 10,425
106 78.498 6.116 1,084 130 12,740
107 664.579 44.158 1,071 339 15,047
108 5.761.455 332.774 1,061 754 17,357
109 50.847.534 2.592.592 1,054 1.701 19,667
1010 455.052.511 20.758.029 1,048 3.104 21,975

Note[modificare | modificare sursă]

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Ingham, A.E. - The Distribution of Prime Numbers, Cambridge University, 1990
  • Hardy, G.H. - An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press, Oxford, 1979

Legături externe[modificare | modificare sursă]

Vezi și[modificare | modificare sursă]