Limită a unui șir

n	n sin(1/n)
1	0.841471
2	0.958851
...
10	0.998334
...
100	0.999983

Pe masură ce n crește, valoarea n sin(1/n) devine tot mai apropiată de 1. Spunem că limita acestui șir este 1.

Termenul de limită a unui șir este unul dintre cele mai importante concepte ale analizei matematice, fiind un caz particular al conceptului de limită. Acesta oferă definiția riguroasă a faptului că un șir converge spre un anumit punct numit limită.

Istoric

Conceptul are ca punct de plecare probleme practice de calcul, de exemplu al dobânzii cu capitalizare.

Definiție

• Pentru un șir de numere reale $\{x_n|n\in \mathbb{N}\}\;$

Un număr real L se numește limita șirului x_n, notându-se sub forma:

$\lim_{n \to \infty} x_n=L,$

dacă și numai dacă pentru orice număr real ε > 0, există un număr natural N astfel încât pentru orice n > N avem |x_n−L| < ε.

• Pentru un șir de puncte $\{x_n|n\in \mathbb{N}\}\;$ într-un spațiu metric M, cu funția-distanță d (cum ar fi un șir de numere raționale, numere reale, numere complexe, puncte într-un spațiu normat):

Un element $L\in M$ este numit limita șirului și scriem:

$\lim_{n \to \infty} x_n = L,$

dacă și numai dacă, pentru orice număr real ε > 0, există un număr natural N astfel încât pentru orice n > N, avem d(x_n,L) < ε.

Exemple

• Șirul 1, -1, 1, -1, 1, ... este divergent.
• Șirul 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... are limita 1. Acesta este un exemplu de serie infinită.
• Dacă a este un număr real cu modul|a| < 1, atunci șirul aⁿ are limita zero. Dacă 0 < a, atunci șirul a^1/n are limita 1.

De asemenea:

$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^p} = 0 \hbox{, dacă } p > 0$

$\lim_{n\to\infty} a^n = 0 \hbox{, dacă } |a| < 1$

$\lim_{n\to\infty} n^{\frac{1}{n}} = 1$

$\lim_{n\to\infty} a^{\frac{1}{n}} = 1 \hbox{, dacă } a>0$

Vezi și

• Limită a unei funcții
• Funcție exponențială
• Dobândă

Legături externe

• en Exemple de șiruri
• en A history of the calculus