Limită a unui șir

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
n n sin(1/n)
1 0.841471
2 0.958851
...
10 0.998334
...
100 0.999983

Pe masură ce n crește, valoarea n sin(1/n) devine tot mai apropiată de 1. Spunem că limita acestui șir este 1.

Termenul de limită a unui șir este unul dintre cele mai importante concepte ale analizei matematice, fiind un caz particular al conceptului de limită. Acesta oferă definiția riguroasă a faptului că un șir converge spre un anumit punct numit limită.

Istoric[modificare | modificare sursă]

Conceptul are ca punct de plecare probleme practice de calcul, de exemplu al dobânzii cu capitalizare.

Definiție[modificare | modificare sursă]

Un număr real L se numește limita șirului xn, notându-se sub forma:
\lim_{n \to \infty} x_n=L,
dacă și numai dacă pentru orice număr real ε > 0, există un număr natural N astfel încât pentru orice n > N avem |xnL| < ε.
Un element L\in M este numit limita șirului și scriem:
\lim_{n \to \infty} x_n = L,
dacă și numai dacă, pentru orice număr real ε > 0, există un număr natural N astfel încât pentru orice n > N, avem d(xn,L) < ε.

Exemple[modificare | modificare sursă]

  • Șirul 1, -1, 1, -1, 1, ... este divergent.
  • Șirul 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... are limita 1. Acesta este un exemplu de serie infinită.
  • Dacă a este un număr real cu modul|a| < 1, atunci șirul an are limita zero. Dacă 0 < a, atunci șirul a1/n are limita 1.

De asemenea:

\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^p} = 0 \hbox{, dacă } p > 0

\lim_{n\to\infty} a^n = 0 \hbox{, dacă } |a| < 1
\lim_{n\to\infty} n^{\frac{1}{n}} = 1
\lim_{n\to\infty} a^{\frac{1}{n}} = 1 \hbox{, dacă } a>0

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]