Serie de puteri

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În matematică, o serie de puteri (de o singură variabilă) este o serie infinită de forma:

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c)^1 + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots

unde an reprezintă coeficienții celui de-al n-lea termen , c este o constantă, iar x variază in jurul lui c (din acest motiv se mai spune că seria este "centrată" în jurul lui c). Această serie provine din serie Taylor a unei funcții.

În multe situații c este nul, de exemplu în cazul seriei Maclaurin. În astfel de cazuri, seria de puteri are o formă mai simplă:


f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots.

Astfel de serii sunt utilizate în analiza matematică, în combinatorică, dar și în electrotehnică (transformata Z). De asemenea, scrierea zecimală poate fi considerată o aplicație a seriilor de puteri cu coeficienți întregi și având ca argument x de valoare 1/10. În teoria numerelor, seriile de puteri se aplică la studiul numerelor p-adice.

Proprietățile seriilor de puteri[modificare | modificare sursă]

Seriile de puteri au o deosebită importanță în cercetările teoretice și în științele aplicate. Câteva din proprietățile lor vor fi prezentate mai jos.

Teoremă. Fie \sum_{n=0}^\infty a_n x^n o serie de puteri convergentă pe intervalul (-R, +R). Pentru orice număr r, astfel încât  0<r<R , seria este uniform convergentă pe intervalul [-r, +r].
Demonstrație.
Deoarece  r<R și  r>0 , rezultă, conform teoremei lui Abel, că seria \sum_{n=0}^\infty a_n x^n este absolut convergentă, deci pentru  |x|\le r seria \sum_{n=0}^\infty a_n x^n este absolut covergentă.
Dar |a_n x^n|\le |a_n|r^n și conform criteriului de convergență uniformă a seriilor de funcții rezultă că seria de puteri este uiform convergentă.
Această teoremă are două consecințe:
Consecința 1. Suma  S a unei serii de puteri \sum_{n=0}^\infty a_n x^n este o funcție continuă pe intervalul de convergență.
Demonstrație.
Pe orice interval [-r, +r]\subset (-R, R) seria de puteri este uniform convergentă și toți termenii seriei sunt funcții continue, rezultă că suma serie  S este o funcție continuă pe [-r, +r].
Consecința 2. Suma  S a unei serii de puteri \sum_{n=0}^\infty a_n x^n este uniform continuă pe orice interval compact  I conținut în intervalul de convergență.
Demonstrație.
Pe orice interval I=[a, b]\subset (-R, R) suma  S este continuă, deci fiind continuă pe un interval compact rezultă că este uniform continuă pe intervalul compact  I .
  • Derivarea seriilor de puteri în intervalul de convergență.
Teoremă. Fie \sum_{n=0}^\infty a_n x^n o serie de puteri convergentă pe intervalul (-R, +R). Seria \sum_{n=1}^\infty na_n x^{n-1}, formată cu derivatele termenilor seriei date, are același interval de convergență ca și seria dată.
Demonstrație.

Dacă notăm cu  R' raza de convergență a serie \sum_{n=1}^\infty na_n x^{n-1}, avem

 R'= \lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{n+2} \left| \frac{a_{n+1}}{a_{n+2}}\right|=\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_{n+2}}\right|=R.

Această teoremă are mai multe consecințe:

Consecința 1. Suma serie formată cu derivatele termenilor seriei de puteri este derivata sumei seriei de puteri, în intervalul de convergență. Dacă notăm
 S(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n și  \phi(x)=\sum_{n=1}^\infty na_n x^{n-1},

atunci

S'(x)=\phi(x) pentru orice x \in (-R, R).
Demonstrație.

Seria derivatelor având aceeași rază de convergență ca și seria inițială, rezultă că seria derivatelor este uniform convergentă în intervalul de convergență a seriei inițiale. Deci, derivata sumei  S este egală cu suma seriei derivatelor termenilor,  S'=\phi .

Consecința 2. Suma serie formată cu derivatele termenilor unei serii de puteri este o funcție continuă și derivabilă pe intervalul de convergență.
Consecința 3. Dacă \sum_{n=0}^\infty a_n x^n este o serie de puteri cu raza de convergență  R :
  1. seria formată cu derivatele de ordinul  n ale termenilor seriei are aceeași rază de convergență  R ;
  2. suma  S a seriei \sum_{n=0}^\infty a_n x^n este indefinit derivabilă pe intervalul de convergență (-R, R) și derivata de ordinul n,  S^{(n)}(x) este egală cu suma seriei derivatelor de ordinul n pentru orice  x \in (-R, R) .

Operații cu serii de puteri[modificare | modificare sursă]

Fie \sum_{n=0}^\infty a_n x^n și \sum_{n=0}^\infty b_n x^n două serii de puteri cu raze de convergență R_1, respectiv R_2.
  • Suma celor două serii de puteri este tot o serie de puteri, \sum_{n=0}^\infty (a_n+b_n)x^n, care are ca rază de convergență  R \ge min(R_1, R_2).
Într-adevăr, pentru orice  x_0 , astfel încât  |x_0|<R_1, \quad |x_0|<R_2 , seriile numerice \sum_{n=0}^\infty a_n x_0^n și \sum_{n=0}^\infty b_n x_0^n sunt convergente, rezultă că și seria sumă este convergentă.
Dacă  A(x) și  B(x) sunt sumele celor două serii și  S(x) este suma seriei \sum_{n=0}^\infty (a_n+b_n)x^n, avem  S(x)= A(x)+B(x) petru orice  |x|<R .
  • Diferența celor două serii de puteri este tot o serie de puteri, \sum_{n=0}^\infty (a_n-b_n)x^n, care are ca rază de convergență  R \ge min(R_1, R_2).
Dacă  D(x) este suma seriei \sum_{n=0}^\infty (a_n-b_n)x^n, atunci
 D(x)= A(x)-B(x) petru orice  |x|<R .
  • Produsul celor două serii de puteri este tot o serie de puteri,
 a_0b_0 + (a_0 b_1 + a_1 b_0)x + \ldots + (a_0 b_n + a_1 b_{n-1}+ \ldots + a_n b_0)x^n + \ldots ,

care are ca rază de convergență  R \ge min(R_1, R_2).

Dacă  T(x) este suma seriei produs, atunci
 T(x)= A(x) \cdot B(x) petru orice  |x|<R .
  • Câtul celor două serii de puteri cu sumele  A(x),  B(x) ,  b_0 \neq 0 este o serie de puteri cu suma  C(x) ,
 c_0 + c_1x + c_2x^2+ \ldots +c_nx^n+ \ldots,

cu coeficienți  c_0, c_1, \ldots definiți de egalitatea  A(x)= B(x) \cdot C(x) .

Coeficienții  c_0, c_1, \ldots se determină din sistemul infinit de ecuații liniare

\begin{cases} 
a_0=b_0c_0\\          
a_1=b_0c_1 + b_1c_0\\
a_2=b_0c_2 + b_1c_1 + b_2c_0\\
\ldots \\
a_n=b_0c_n + b_1c_{n-1} + \ldots b_{n-1}c_1 + b_nc_0\\
\ldots
\end{cases}

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

Marcel Roșculeț, Analiză matematică, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1984