Serie de puteri

În matematică, o serie de puteri (de o singură variabilă) este o serie infinită de forma:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots$

unde a_n reprezintă coeficienții celui de-al n-lea termen , c este o constantă, iar x variază in jurul lui c (din acest motiv se mai spune că seria este "centrată" în jurul lui c). Această serie provine din serie Taylor a unei funcții.

În multe situații c este nul, de exemplu în cazul seriei Maclaurin. În astfel de cazuri, seria de puteri are o formă mai simplă:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots .$

Astfel de serii sunt utilizate în analiza matematică, în combinatorică, dar și în electrotehnică (transformata Z). De asemenea, scrierea zecimală poate fi considerată o aplicație a seriilor de puteri cu coeficienți întregi și având ca argument x de valoarea 1/10. În teoria numerelor, seriile de puteri se aplică la studiul numerelor p-adice.

Proprietățile seriilor de puteri

Seriile de puteri au o deosebită importanță în cercetările teoretice și în științele aplicate. Câteva din proprietățile lor vor fi prezentate în continuare.

• Convergența uniformă a seriilor de puteri în intervalul de convergență .

Teoremă. Fie $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ o serie de puteri convergentă pe intervalul $(-R,+R)$. Pentru orice număr $r$, astfel încât $0<r<R$, seria este uniform convergentă pe intervalul $[-r,+r]$.

Demonstrație.

Deoarece $r<R$ și $r>0$, rezultă, conform teoremei lui Abel, că seria $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ este absolut convergentă, deci pentru $|x|\leq r$ seria $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ este absolut covergentă.

Dar $|a_{n}x^{n}|\leq |a_{n}|r^{n}$ și conform criteriului de convergență uniformă a seriilor de funcții rezultă că seria de puteri este uiform convergentă.

Această teoremă are două consecințe:

Consecința 1. Suma $S$ a unei serii de puteri $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ este o funcție continuă pe intervalul de convergență.

Demonstrație.

Pe orice interval $[-r,+r]\subset (-R,R)$ seria de puteri este uniform convergentă și toți termenii seriei sunt funcții continue, rezultă că suma serie $S$ este o funcție continuă pe $[-r,+r]$.

Consecința 2. Suma $S$ a unei serii de puteri $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ este uniform continuă pe orice interval compact $I$ conținut în intervalul de convergență.

Demonstrație.

Pe orice interval $I=[a,b]\subset (-R,R)$ suma $S$ este continuă, deci fiind continuă pe un interval compact rezultă că este uniform continuă pe intervalul compact $I$.

• Derivarea seriilor de puteri în intervalul de convergență.

Teoremă. Fie $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ o serie de puteri convergentă pe intervalul $(-R,+R)$. Seria $\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}x^{n-1}$, formată cu derivatele termenilor seriei date, are același interval de convergență ca și seria dată.

Demonstrație.

Dacă notăm cu $R'$ raza de convergență a serie $\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}x^{n-1}$, avem

$R'=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+1}{n+2}}\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n+2}}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n+2}}}\right|=R.$

Această teoremă are mai multe consecințe:

Consecința 1. Suma serie formată cu derivatele termenilor seriei de puteri este derivata sumei seriei de puteri, în intervalul de convergență. Dacă notăm

$S(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ și $\phi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}x^{n-1}$,

atunci

$S'(x)=\phi (x)$ pentru orice $x\in (-R,R)$.

Demonstrație.

Seria derivatelor având aceeași rază de convergență ca și seria inițială, rezultă că seria derivatelor este uniform convergentă în intervalul de convergență a seriei inițiale. Deci, derivata sumei $S$ este egală cu suma seriei derivatelor termenilor, $S'=\phi$.

Consecința 2. Suma serie formată cu derivatele termenilor unei serii de puteri este o funcție continuă și derivabilă pe intervalul de convergență.

Consecința 3. Dacă $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ este o serie de puteri cu raza de convergență $R$:

1. seria formată cu derivatele de ordinul $n$ ale termenilor seriei are aceeași rază de convergență $R$;
2. suma $S$ a seriei $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ este indefinit derivabilă pe intervalul de convergență $(-R,R)$ și derivata de ordinul $n$, $S^{(n)}(x)$ este egală cu suma seriei derivatelor de ordinul $n$ pentru orice $x\in (-R,R)$.

Operații cu serii de puteri

Fie $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ și $\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}$ două serii de puteri cu raze de convergență $R_{1}$, respectiv $R_{2}$.

• Suma celor două serii de puteri este tot o serie de puteri, $\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})x^{n}$, care are ca rază de convergență $R\geq min(R_{1},R_{2})$.

Într-adevăr, pentru orice $x_{0}$, astfel încât $|x_{0}|<R_{1},\quad |x_{0}|<R_{2}$, seriile numerice $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x_{0}^{n}$ și $\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x_{0}^{n}$ sunt convergente, rezultă că și seria sumă este convergentă.

Dacă $A(x)$ și $B(x)$ sunt sumele celor două serii și $S(x)$ este suma seriei $\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})x^{n}$, avem $S(x)=A(x)+B(x)$ petru orice $|x|<R$.

• Diferența celor două serii de puteri este tot o serie de puteri, $\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}-b_{n})x^{n}$, care are ca rază de convergență $R\geq min(R_{1},R_{2})$.

Dacă $D(x)$ este suma seriei $\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}-b_{n})x^{n}$, atunci

$D(x)=A(x)-B(x)$ petru orice $|x|<R$.

• Produsul celor două serii de puteri este tot o serie de puteri,

$a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})x+\ldots +(a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+\ldots +a_{n}b_{0})x^{n}+\ldots ,$

care are ca rază de convergență $R\geq min(R_{1},R_{2})$.

Dacă $T(x)$ este suma seriei produs, atunci

$T(x)=A(x)\cdot B(x)$ petru orice $|x|<R$.

• Câtul celor două serii de puteri cu sumele $A(x)$, $B(x)$, $b_{0}\neq 0$ este o serie de puteri cu suma $C(x)$,

$c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\ldots +c_{n}x^{n}+\ldots ,$

cu coeficienți $c_{0},c_{1},\ldots$ definiți de egalitatea $A(x)=B(x)\cdot C(x)$.

Coeficienții $c_{0},c_{1},\ldots$ se determină dintr-un sistem de ecuații liniare infinit.

${\begin{cases}a_{0}=b_{0}c_{0}\\a_{1}=b_{0}c_{1}+b_{1}c_{0}\\a_{2}=b_{0}c_{2}+b_{1}c_{1}+b_{2}c_{0}\\\ldots \\a_{n}=b_{0}c_{n}+b_{1}c_{n-1}+\ldots b_{n-1}c_{1}+b_{n}c_{0}\\\ldots \end{cases}}$

Serii de puteri remarcabile

Nr. crt.	$f(x)$	Domeniu maxim de definiție	Dezvoltarea în serie de puteri ale lui $x$ pentru funcția $f(x)$	Raza de convergență a seriei	Mulțimea de convergență a seriei	Mulțimea de divergență a seriei
1.	$e^{x}$	$\mathbb {R}$	$\sum _{n\geq 0}{\frac {1}{n!}}\cdot x^{n}$	$\infty$	$\mathbb {R}$	${\hat {A}}$
2.	$e^{-x}$	$\mathbb {R}$	$\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\cdot x^{n}$	$\infty$	$\mathbb {R}$	${\hat {A}}$
3.	$a^{x}$, $a>0,\;a\neq 1$	$\mathbb {R}$	$\sum _{n\geq 0}{\frac {(\ln a)^{n}}{n!}}\cdot x^{n}$	$\infty$	$\mathbb {R}$	${\hat {A}}$
4.	$\cos x$	$\mathbb {R}$	$\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}\cdot x^{2n}$	$\infty$	$\mathbb {R}$	${\hat {A}}$
5.	$\sin x$	$\mathbb {R}$	$\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\cdot x^{2n+1}$	$\infty$	$\mathbb {R}$	${\hat {A}}$
6.	$\arctan x$	$\mathbb {R}$	$\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\cdot x^{2n+1}$	$1$	$[-1,1]$	$D_{f}/M_{C}$
7.	$\cosh x$	$\mathbb {R}$	$\sum _{n\geq 0}{\frac {1}{(2n)!}}\cdot x^{2n}$	$\infty$	$\mathbb {R}$	${\hat {A}}$
8.	$\sinh x$	$\mathbb {R}$	$\sum _{n\geq 0}{\frac {1}{(2n+1)!}}\cdot x^{2n+1}$	$\infty$	$\mathbb {R}$	${\hat {A}}$
9.	$(\alpha +x)^{a}$, $a,\alpha \in \mathbb {R}$	$(-\alpha ,\infty )$	$\sum _{n\geq 0}{\frac {a(a-1)(a-2)\cdots (a-n+1)}{\alpha ^{n-a}\cdot n!}}\cdot x^{n}$	$\alpha$	$(-\alpha ,\alpha )$	$D_{f}\setminus M_{C}$
10.	$(\alpha -x)^{a}$, $a,\alpha \in \mathbb {R}$	$(-\infty ,-\alpha )$	$\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}a(a-1)(a-2)\cdots (a-n+1)}{\alpha ^{n-a}\cdot n!}}\cdot x^{n}$	$\alpha$	$(-\alpha ,\alpha )$	$D_{f}\setminus M_{C}$
11.	$(1+\alpha x)^{a}$, $a,\alpha \in \mathbb {R}$	$(-{\frac {1}{\alpha }},\infty ,)$	$\sum _{n\geq 0}{\frac {{\alpha }^{n}a(a-1)(a-2)\cdots (a-n+1)}{\alpha ^{n-a}\cdot n!}}\cdot x^{n}$	${\frac {1}{\alpha }}$	$(-{\frac {1}{\alpha }},{\frac {1}{\alpha }})$	$D_{f}\setminus M_{C}$
12.	$(1-\alpha x)^{a}$, $a,\alpha \in \mathbb {R}$	$(-\infty ,{\frac {1}{\alpha }})$	$\sum _{n\geq 0}{\frac {(-{\alpha })^{n}a(a-1)(a-2)\cdots (a-n+1)}{\alpha ^{n-a}\cdot n!}}\cdot x^{n}$	${\frac {1}{\alpha }}$	$(-{\frac {1}{\alpha }},{\frac {1}{\alpha }})$	$D_{f}\setminus M_{C}$
13.	${\frac {1}{\alpha +x}}$, $\alpha \in \mathbb {R} ^{*}$	$\mathbb {R} \setminus \{-\alpha \}$	$\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{\alpha ^{n+1}}}\cdot x^{n}$	$\alpha$	$(-\alpha ,\alpha )$	$D_{f}\setminus M_{C}$
14.	${\frac {1}{\alpha -x}}$, $\alpha \in \mathbb {R} ^{*}$	$\mathbb {R} \setminus \{-\alpha \}$	$\sum _{n\geq 0}{\frac {1}{\alpha ^{n+1}}}\cdot x^{n}$	$\alpha$	$(-\alpha ,\alpha )$	$D_{f}\setminus M_{C}$
15.	${\frac {1}{1+\alpha x}}$, $\alpha \in \mathbb {R} ^{*}$	$\mathbb {R} \setminus \{-{\frac {1}{\alpha }}\}$	$\sum _{n\geq 0}(-\alpha )^{n}\cdot x^{n}$	${\frac {1}{\alpha }}$	$(-{\frac {1}{\alpha }},{\frac {1}{\alpha }})$	$D_{f}\setminus M_{C}$
16.	${\frac {1}{1-\alpha x}}$, $\alpha \in \mathbb {R} ^{*}$	$\mathbb {R} \setminus \{-{\frac {1}{\alpha }}\}$	$\sum _{n\geq 0}\alpha ^{n}\cdot x^{n}$	${\frac {1}{\alpha }}$	$(-{\frac {1}{\alpha }},{\frac {1}{\alpha }})$	$D_{f}\setminus M_{C}$
17.	${\frac {x}{\alpha +x}}$, $\alpha \in \mathbb {R} ^{*}$	$\mathbb {R} \setminus \{-\alpha \}$	$\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{\alpha ^{n+1}}}\cdot x^{n+1}$	$\alpha$	$(-\alpha ,\alpha )$	$D_{f}\setminus M_{C}$
18.	${\frac {x}{\alpha -x}}$, $\alpha \in \mathbb {R} ^{*}$	$\mathbb {R} \setminus \{-\alpha \}$	$\sum _{n\geq 0}{\frac {1}{\alpha ^{n+1}}}\cdot x^{n+1}$	$\alpha$	$(-\alpha ,\alpha )$	$D_{f}\setminus M_{C}$
19.	${\frac {x}{1+\alpha x}}$, $\alpha \in \mathbb {R} ^{*}$	$\mathbb {R} \setminus \{-{\frac {1}{\alpha }}\}$	$\sum _{n\geq 0}(-\alpha )^{n}\cdot x^{n+1}$	${\frac {1}{\alpha }}$	$(-{\frac {1}{\alpha }},{\frac {1}{\alpha }})$	$D_{f}\setminus M_{C}$
20.	${\frac {x}{1-\alpha x}}$, $\alpha \in \mathbb {R} ^{*}$	$\mathbb {R} \setminus \{{\frac {1}{\alpha }}\}$	$\sum _{n\geq 0}\alpha ^{n}\cdot x^{n+1}$	${\frac {1}{\alpha }}$	$(-{\frac {1}{\alpha }},{\frac {1}{\alpha }})$	$D_{f}\setminus M_{C}$
21.	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
22.	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
23.	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
24.	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$

Bibliografie

• Marcel Roșculeț, Analiză matematică, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1984