Serie Taylor

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Salt la: Navigare, căutare
Seriile Taylor se apropie din ce în ce mai mult de funcţia corectă, cu cât creşte gradul. Această imagine arată sinx şi aproximările Taylor, cu polinom de grad 1, 3, 5, 7, 9, 11 şi 13.
Seriile Taylor se apropie din ce în ce mai mult de funcţia corectă, cu cât creşte gradul. Această imagine arată sinx şi aproximările Taylor, cu polinom de grad 1, 3, 5, 7, 9, 11 şi 13.

În matematică, o serie Taylor este o reprezentare a unei funcţii ca o sumă infinită de termeni calculaţi din valorile derivatelor acelei funcţii într-un punct. Poate fi privită ca limită a polinoamelor Taylor. Seriile Taylor au fost numite astfel după matematicianul englez Brook Taylor. Dacă seria foloseşte derivatele în zero, atunci ea se numeşte serie Maclaurin, după matematicianul scoţian Colin Maclaurin.

[modifică] Definiţie

Seria Taylor a unei funcţii reale sau complexe f care este indefinit derivabilă pe o vecinătate a unui număr real sau complex a, este seria de puteri

f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots

care poate fi scrisă în formă mai compactă ca

\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}\,,

unde n! este factorialul lui n şi f (n)(a) este a n-a derivată a lui f în punctul a; derivata zero a lui f este prin definiţie f însăşi şi (x − a)0 şi 0! sunt amândouă prin definiţie 1.

Adesea f(x) este egală cu seria sa Taylor evaluată în x pentru orice x suficient de apropiat de a. Acesta este motivul principal pentru care sunt importante seriile Taylor.

[modifică] Exemple

Seria Maclaurin pentru orice polinom este polinomul însuşi.

Seria Maclaurin pentru (1 − x) − 1 este seria geometrică

1+x+x^2+x^3+\cdots

deci seria Taylor pentru x − 1 în a = 1 este

1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+\cdots.

Integrând seria Maclaurin de mai sus se obţine seria Maclaurin pentru − log(1 − x), unde cu log s-a notat logaritmul natural:

x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}3+\frac{x^4}4+\cdots

şi seria Taylor corespunzătoare pentru log(x) în a = 1 este

(x-1)-\frac{(x-1)^2}2+\frac{(x-1)^3}3-\frac{(x-1)^4}4+\cdots.

Seria Maclaurin pentru funcţia exponenţială ex în a = 0 este

1 + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}+ \cdots \qquad = \qquad 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \cdots\ .

Dezvoltarea de mai sus este valabilă deoarece derivata lui ex este chiar ex iar e0 este 1. Aceasta lasă termenii (x − 0)n la numărător şi n! la numitor la fiecare termen al sumei infinite.

 Acest articol legat de matematică este deocamdată un ciot. Poţi ajuta Wikipedia prin completarea lui!
Adus de la http://ro.wikipedia.org/wiki/Serie_Taylor
Unelte personale