e (constantă matematică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Constanta matematică e este singurul număr real cu proprietatea că valoarea derivatei f (x) = e^x în punctul x = 0 este exact 1. Funcţia e^x este numită funcţie exponenţială, şi inversa ei este logaritmul natural, sau logaritm în baza e.

e este singurul număr cu proprietatea că valoarea derivatei f (x) = e^x (linia albastră) în punctul x = 0 este exact 1. Pentru comparaţie sunt arătate funcţiile 2^x (linia punctată) şi 4^x (linia întreruptă); ele nu sunt tangente la linia de pantă 1 (linia roşie).

Numărul e este uneori numit şi numărul lui Euler după matematicianul elveţian Leonhard Euler, sau constanta lui Napier în cinstea matematicianului scoţian John Napier, care a introdus logaritmii (e nu trebuie confundat cu γ, constanta Euler-Mascheroni, şi ea numită uneori constanta lui Euler).

Deoarece e este un număr transcendent, şi deci iraţional, valoarea sa nu poate fi dată cu un număr finit de zecimale (nici măcar cu perioadă). O valoare aproximativă, cu 20 de zecimale exacte, este e≈2,71828 18284 59045 23536

Cuprins

1 Istoric
2 Aplicaţii
3 e în analiza matematică
- 3.1 Alte caracterizări
4 Proprietăţi
5 Reprezentări ale lui e
- 5.1 Precizia de aproximare
6 e în cultura informatică
7 Note
8 Legături externe

[modifică] Istoric

Prima referinţă la această constantă a fost publicată în 1618 într-un tabel dintr-o anexă a unei lucrări despre logaritmi, scrisă de John Napier.^[1] Totuşi, aici nu era referită constanta însăşi, ci doar o listă de logaritmi naturali calculaţi pe baza ei. Se presupune că acel tabel a fost alcătuit de William Oughtred. "Descoperirea" consantei însăşi îi este atribuită lui Jacob Bernoulli, care a încercat să găsească valoarea următoarei expresii (care este de fapt chiar e):

$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$

Prima utilizare cunoscută a constantei, notată cu b, a fost în corespondenţa dintre Gottfried Leibniz şi Christiaan Huygens în 1690 şi 1691. Leonhard Euler a început să folosească litera e în notaţia ei în 1727, iar prima utilizare a lui e într-o publicaţie a fost în Mechanica lui Euler (1736). Deşi în anii care au urmat unii cercetători au folosit litera c, e era mai des utilizat şi în cele din urmă a devenit notaţia consacrată.

Nu se cunosc exact motivele care au stat în spatele alegerii literei e, dar ar putea fi că este prima literă a cuvântului exponenţial. O altă posibilitate ar fi că Euler a folosit-o pentru că era prima vocală după a, pe care el o folosea deja pentru un alt număr, dar motivul pentru care el folosea vocale în notaţii este necunoscut. Nu este probabil ca Euler să fi ales e pentru că este iniţiala numelui său, deoarece el era un om modest care avea grijă să acorde credit muncii altora.

[modifică] Aplicaţii

[modifică] Problema dobânzii compuse

Jacob Bernoulli a descoperit această constantă studiind o problemă privind dobânda compusă.

Un exemplu simplu este un cont care porneşte cu $1.00 şi plăteşte 100% dobândă pe an. Dacă dobânda este capitalizată o dată, la sfârşitul anului, valoarea contului este $2.00; dar dacă este capitalizată şi adunată de două ori pe an, $1 este înmulţit cu 1.5 de două ori, dând $1.00×1.5² = $2.25. Capitalizând de patru ori, rezultă $1.00×1.25⁴ = $2.4414…, şi capitalizând lunar se obţine $1.00×(1.0833…)¹² = $2.613035….

Bernoulli a observat că acest şir se apropie de o limită pentru intervale de capitalizare din ce în ce mai mici şi mai apropiate. Capitalizarea săptămânală dă $2.692597…, iar capitalizarea zilnică dă $2.714567…, cu doar doi cenţi mai mult. Folosind n ca numărul de intervale, cu dobânda de $\frac{1}{n}$ pe fiecare interval, limita pentru n mare este numărul care a ajuns să fie cunoscut ca e; cu capitalizare continuă, valoarea contului va atinge $2.7182818…. Mai general, un cont care porneşte de la $1, şi produce (1+R) dolari la dobândă simplă va da e^R dolari la dobândă continuă.

[modifică] Testele Bernoulli

Numărul e are aplicaţii şi în teoria probabilităţilor, unde apare într-un mod fără o legătură evidentă cu creşterea exponenţială. Presupunând că un jucător joacă la un joc mecanic cu probabilitatea de câştig de 1 din n, el jucând de n ori. Atunci, pentru n mare (cum ar fi un milion) probabilitatea ca jucătorul să nu câştige nimic este (aproximativ) $\frac{1}{e}$ .

Acesta este un exemplu de Test Bernoulli. De fiecare dată când jucătorul joacă, el are o şansă dintr-un milion să câştige. Jucând de un milion de ori, şansele de câştig sunt modelate de distribuţia binomială, strâns legată de teorema binomială. Probabilitatea de a câştiga de k ori dintr-un milion este;

$\binom{10^6}{k} \left(10^{-6}\right)^k(1-10^{-6})^{10^6-k}.$

În particular, probabilitatea de câştig de k=0 ori este

$\left(1-\frac{1}{10^6}\right)^{10^6}.$

Aceasa este foarte aproape de următoarea limită pentru 1/e:

$\frac{1}{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{n}\right)^n.$

[modifică] Problema pălăriilor

O altă aplicaţie a lui e, descoperită şi ea parţial de Jacob Bernoulli împreună cu Pierre Raymond de Montmort este problema pălăriilor.^[2] Aici n musafiri sunt invitaţi la o petrecere, şi la intrare fiecare îşi lasă pălăria la garderobă unde fiecare este pusă în cutii etichetate. Dar la garderobă nu se cunosc numele musafirilor, deci sunt puse în cutii etichetate aleator. Problema lui de Montmort este: care este probabilitate ca niciuna din pălării să nu fie pusă în cutia potrivită? Soluţia este:

$p_n = 1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+(-1)^n\frac{1}{n!}.$

Când numărul n de musafiri tinde la infinit, p_n tinde la 1/e. Mai mult, numărul de moduri în care pălăriile pot fi puse în cutii astfel încât niciuna din ele să nu fie în cutia corespunzătoare este exact n!/e, rotunjit la cel mai apropiat întreg.^[3]

[modifică] e în analiza matematică

logaritm natural din e, ln(e), este egal cu 1

Motivul principal pentru introducerea numărului e, în particular în analiza matematică, este pentru a efectua derivarea şi calculul integral cu funcţii exponenţiale şi logaritmi.^[4] O funcţie exponenţială generală y=a^x are derivata dată ca limita:

$\frac{d}{dx}a^x=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x}a^{h}-a^x}{h}=a^x\left(\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}\right).$

Limita din dreapta este independentă de variabila x: ea depinde doar de baza a. Când baza este e, această limită este egală cu unu, şi astfel e este simbolic definit de ecuaţia:

$\frac{d}{dx}e^x = e^x.$

În consecinţă, funcţia exponenţială cu baza e este potrivită pentru analiza matematică. Alegerea lui e, în comparaţie cu alegerea oricărui alt număr, ca bază a funcţiei exponenţiale simplifică mult calculele privind derivata.

Un alt motiv vine din considerarea logaritmului în bază a.^[5] Considerând definiţia derivatei lui log_ax ca limita:

$\frac{d}{dx}\log_a x = \lim_{h\to 0}\frac{\log_a(x+h)-\log_a(x)}{h}=\frac{1}{x}\left(\lim_{u\to 0}\frac{1}{u}\log_a(1+u)\right).$

Din nou, este o limită nedeterminată care depinde doar de baza a, iar dacă această bază este e, limita este unu. Deci simbolic,

$\frac{d}{dx}\log_e x=\frac{1}{x}.$

Logaritmul cu această bază particulară se numeşte logaritm natural (adesea notat cu "ln"), şi acesta se comportă bine la derivare deoarece nu există o limită nedeterminată care să încarce calculele.

Există deci două moduri în care se poate alege numărul particular a=e. Unul este de a pune derivata funcţiei exponenţiale a^x egală cu funcţia a^x însăşi. Celălalt mod este de a pune derivata logaritmului în bază a egal cu 1/x. În orice caz, se ajunge la o alegere convenabilă a bazei pentru efectuarea operaţiilor de analiză. De fapt, cele două baze sunt una şi aceeaşi, numărul e.

[modifică] Alte caracterizări

Sunt posibile şi alte caracterizări ale lui e: una este ca limita unui şir, alta este ca suma unei serii, iar altele se bazează pe calculul integral. Deocamdată, se pot introduce următoarele două proprietăţi echivalente:

1. Numărul e este singurul număr real pozitiv cu proprietatea că

$\frac{d}{dt}e^t = e^t.$

2. Numărul e este singurul număr real pozitiv cu proprietatea că

$\frac{d}{dt} \log_e t = \frac{1}{t}.$

Următoarele definiţii alternative sunt şi ele demonstrate ca fiind echivalente:

3. Numărul e este limita

$e = \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$

Aria de sub graficul funcţiei y = 1/x este egală cu 1 pe intervalul 1 ≤ x ≤ e.

4. Numărul e este suma seriei

$e = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots$

unde n! este factorialul lui n.

5. Numărul e este singurul număr real pozitiv cu proprietatea că

$\int_{1}^{e} \frac{1}{t} \, dt = {1}$

(adică numărul e cu proprietatea că aria de sub hiperbola $f(t)=\frac{1}{t}$ de la 1 la e este egală cu 1).

6. Numărul e este limita

$e = \lim_{x\to\infty} \frac{x}{\sqrt[x]{x!}}$

[modifică] Proprietăţi

[modifică] Analiza matematică

Funcţia exponenţială f(x) = e^x este importantă în parte pentru că este singura funcţie netrivială (până la înmulţirea cu o constantă) care este propria sa derivată, şi deci şi propria sa primitivă:

$\frac{d}{dx}e^x=e^x$

şi

$e^x= \int_{-\infty}^x e^t\,dt$

$= \int_{-\infty}^0 e^t\,dt + \int_{0}^x e^t\,dt$

$\qquad= 1 + \int_{0}^x e^t\,dt$

[modifică] Funcţii asemănătoare cu exponenţiala

Numărul x=e este locul unde se află maximul global al funcţiei

$f(x) = x^{1 \over x}.$

Mai general, $x=\!\ \sqrt[n]{e}$ este maximul global pentru funcţia

$\!\ f(x) = x^{1 \over {x^n}}$

Expresia

$x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}$

converge doar dacă $e^{-e} \le x \le e^{1/e},$ datorită unei teoreme a lui Leonhard Euler.

e^x este de regulă definit ca

$e^{x} = 1 + {x \over 1!} + {x^{2} \over 2!} + {x^{3} \over 3!} + \cdots$

[modifică] Teoria numerelor

Numărul real e este iraţional şi, mai mult, transcendent (teorema Lindemann–Weierstrass). A fost primul număr demonstrat a fi transcendent fără a fi construit cu acest scop (spre deosebire de numărul Liouville). Demonstraţia a fost dată de Charles Hermite în 1873. O conjectură susţine că este şi normal.

[modifică] Numere complexe

Apare în formula lui Euler, o importantă formulă legată de numere complexe:

$e^{ix} = \cos x + i\sin x,\,\!$

Cazul special x = π este cunoscut ca identitatea lui Euler:

$e^{i\pi}+1 =0 .\,\!$

de unde rezultă că

$\log_e (-1) = i\pi .\,\!$

Mai mult, folosind legile exponenţierii,

$(\cos x + i\sin x)^n = \left(e^{ix}\right)^n = e^{inx} = \cos (nx) + i \sin (nx)$

numită şi formula lui de Moivre.

[modifică] Reprezentări ale lui e

Numărul e poate fi reprezentat ca număr real în mai multe moduri: ca o serie, ca produs infinit, ca fracţie continuă, sau ca limita unui şir. Principala reprezentare, mai ales în cursurile de analiză matematică introductivă este limita

$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n,$

ca şi seria

$e=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}$

dată prin evaluarea seriei de puteri pentru e^x la x=1.

Există şi alte reprezentări mai rare. De exemplu, e poate fi exprimat cu ajutorul fracţiei:

$e=2+ \cfrac{1}{ 1+\cfrac{1}{ {\mathbf 2}+\cfrac{1}{ 1+\cfrac{1}{ 1+\cfrac{1}{ {\mathbf 4}+\cfrac{1}{ \ddots } } } } } }$

Sau, în formă mai compactă:

$e = [[2; 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1, 1, \textbf{6}, 1, 1, \textbf{8}, 1, \ldots,1, \textbf{2n}, 1,\ldots]] \,$

Care poate fi scrisă mai elegant permiţând şi zero:^[6]

$e = [[ 1 , \textbf{0} , 1 , 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1 , 1 , \textbf{6}, 1, \ldots]] \,$

[modifică] Precizia de aproximare

Numărul de zecimale ale lui e cunoscute a crescut dramatic în ultimele decenii. Aceasta se datorează atât creşterii performanţelor calculatoarelor, cât şi dezvoltării de algoritmi.^[7]^[8]

**Număr de zecimale ale lui e cunoscute**
Data	Număr de zecimale	Calcul efectuat de
1748	18^[9]	Leonhard Euler
1853	137	William Shanks
1871	205	William Shanks
1884	346	J. M. Boorman
1946	808	?
1949	2,010	John von Neumann (pe calculatorul ENIAC)
1961	100,265	Daniel Shanks & John W. Wrench
1994	10,000,000	Robert Nemiroff & Jerry Bonnell
Mai 1997	18,199,978	Patrick Demichel
August 1997	20,000,000	Birger Seifert
Septembrie 1997	50,000,817	Patrick Demichel
Februarie 1999	200,000,579	Sebastian Wedeniwski
Octombrie 1999	869,894,101	Sebastian Wedeniwski
21 noiembrie 1999	1,250,000,000	Xavier Gourdon
10 iulie 2000	2,147,483,648	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
16 iulie 2000	3,221,225,472	Colin Martin & Xavier Gourdon
2 august 2000	6,442,450,944	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
16 august 2000	12,884,901,000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
21 august 2003	25,100,000,000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
18 septembrie 2003	50,100,000,000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
27 aprilie 2007	100,000,000,000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo

[modifică] e în cultura informatică

În cultura internet contemporană, adesea persoane şi organizaţii aduc omagiu numărului e.

De exemplu, în oferta publică iniţială a companiei Google, din 2004, compania şi-a anunţat intenţia de a strânge investiţii de 2.718.281.828 de dolari (în locul unei sume rotunde) ceea ce înseamnă e miliarde de dolari rotunjit la dolar. Tot Google a fost răspunzătoare pentru un misterios panou publicitar^[10] care a apărut în mijlocul Silicon Valley, şi mai târziu în Cambridge, Massachusetts, Seattle, Washington, şi Austin, Texas. Pe el scria {primul număr prim de 10 cifre compus din cifre consecutive ale lui e}.com. Rezolvarea acestei probleme şi vizitarea respectivului site ducea la o problemă şi mai dificil de rezolvat, care la rândul ei ducea la Google Labs unde vizitatorul era invitat să-şi trimită un curriculum vitae.^[11] Primul număr prim de 10 cifre din e este 7427466391, care începe la a 99-a cifră.^[12] (Un şir aleator de cifre are o probabilitate de 98.4% să înceapă un număr prim de 10 cifre mai curând.)

Altădată, eminentul informatician Donald Knuth a făcut ca numerele de versiune ale programului său METAFONT să tindă spre e. versiunile erau 2, 2.7, 2.71, 2.718, şi aşa mai departe.

[modifică] Note

^ O'Connor, J.J., si Roberson, E.F.; The MacTutor History of Mathematics archive: "The number e"; University of St Andrews Scotland (2001)
^ Grinstead, C.M. and Snell, J.L. Introduction to probability theory (publicat online sub GFDL), p. 85.
^ Knuth (1997) The Art of Computer Programming Volume I, Addison-Wesley, p. 183.
^ Vezi, de exemplu, Kline, M. (1998) Calculus: An intuitive and physical approach, Dover, section 12.3 "The Derived Functions of Logarithmic Functions."
^ Aceasta este abordarea lui Klein (1998).
^ Hofstadter, D. R., "Fluid Concepts and Creative Analogies: Computer Models of the Fundamental Mechanisms of Thought" Basic Books (1995)
^ Sebah, P. and Gourdon, X.; Constanta e şi calculul ei
^ Gourdon, X.; Calcule complexe cu PiFast
^ New Scientist 21 iulie 2007 p.40
^ Imaginea panoului
^ Shea, Andrea. „Google Entices Job-Searchers with Math Puzzle”. Accesat la data de 2007-06-09.
^ Kazmierczak, Marcus (2004-07-29). Math : Google Labs Problems. mkaz.com. Accesat la data de 2007-06-09.

[modifică] Legături externe

en The constant e of growth and renewal

[OConnor-0] O'Connor, J.J., si Roberson, E.F.; The MacTutor History of Mathematics archive: "The number e"; University of St Andrews Scotland (2001)

[1] Grinstead, C.M. and Snell, J.L. Introduction to probability theory (publicat online sub GFDL), p. 85.

[2] Knuth (1997) The Art of Computer Programming Volume I, Addison-Wesley, p. 183.

[3] Vezi, de exemplu, Kline, M. (1998) Calculus: An intuitive and physical approach, Dover, section 12.3 "The Derived Functions of Logarithmic Functions."

[4] Aceasta este abordarea lui Klein (1998).

[5] Hofstadter, D. R., "Fluid Concepts and Creative Analogies: Computer Models of the Fundamental Mechanisms of Thought" Basic Books (1995)

[6] Sebah, P. and Gourdon, X.; Constanta e şi calculul ei

[7] Gourdon, X.; Calcule complexe cu PiFast

[8] New Scientist 21 iulie 2007 p.40

[9] Imaginea panoului

[10] Shea, Andrea. „Google Entices Job-Searchers with Math Puzzle”. Accesat la data de 2007-06-09.

[11] Kazmierczak, Marcus (2004-07-29). Math : Google Labs Problems. mkaz.com. Accesat la data de 2007-06-09.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]