e (constantă matematică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Numere iraționale și probabil iraționale:

γφeπ

Constanta matematică e este un număr irațional transcedental cu proprietatea că valoarea derivatei f (x) = ex în punctul x = 0 este exact 1. Funcția ex este numită funcție exponențială, și inversa ei este logaritmul natural, sau logaritm în baza e.

e este singurul număr cu proprietatea că valoarea derivatei f (x) = ex (linia albastră) în punctul x = 0 este exact 1. Pentru comparaţie sunt arătate funcţiile 2x (linia punctată) şi 4x (linia întreruptă); ele nu sunt tangente la linia de pantă 1 (linia roșie).

Numărul e este uneori numit și numărul lui Euler după matematicianul elvețian Leonhard Euler, sau constanta lui Napier în cinstea matematicianului scoțian John Napier, care a introdus logaritmii (e nu trebuie confundat cu γ, constanta Euler-Mascheroni, și ea numită uneori constanta lui Euler).

Deoarece e este un număr transcendent, și deci irațional, valoarea sa nu poate fi dată cu un număr finit de zecimale (nici măcar cu perioadă). O valoare aproximativă, cu 20 de zecimale exacte, este e≈2,71828 18284 59045 23536

Istoric[modificare | modificare sursă]

Prima referință la această constantă a fost publicată în 1618 într-un tabel dintr-o anexă a unei lucrări despre logaritmi, scrisă de John Napier.[1] Totuși, aici nu era referită constanta însăși, ci doar o listă de logaritmi naturali calculați pe baza ei. Se presupune că acel tabel a fost alcătuit de William Oughtred. "Descoperirea" consantei însăși îi este atribuită lui Jacob Bernoulli, care a încercat să găsească valoarea următoarei expresii (care este de fapt chiar e):

\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.

Prima utilizare cunoscută a constantei, notată cu b, a fost în corespondența dintre Gottfried Leibniz și Christiaan Huygens în 1690 și 1691. Leonhard Euler a început să folosească litera e în notația ei în 1727, iar prima utilizare a lui e într-o publicație a fost în Mechanica lui Euler (1736). Deși în anii care au urmat unii cercetători au folosit litera c, e era mai des utilizat și în cele din urmă a devenit notația consacrată.

Nu se cunosc exact motivele care au stat în spatele alegerii literei e, dar ar putea fi că este prima literă a cuvântului exponențial. O altă posibilitate ar fi că Euler a folosit-o pentru că era prima vocală după a, pe care el o folosea deja pentru un alt număr, dar motivul pentru care el folosea vocale în notații este necunoscut. Nu este probabil ca Euler să fi ales e pentru că este inițiala numelui său, deoarece el era un om modest care avea grijă să acorde credit muncii altora.

Aplicații[modificare | modificare sursă]

Problema dobânzii compuse[modificare | modificare sursă]

Jacob Bernoulli a descoperit această constantă studiind o problemă privind dobânda compusă.

Un exemplu simplu este un cont care pornește cu 1,00 (un leu) și plătește 100% dobândă pe an. Dacă dobânda este capitalizată o dată, la sfârșitul anului, valoarea contului este 2,00 (doi lei); dar dacă este capitalizată și adunată de două ori pe an, 1 este înmulțit cu 1,5 de două ori, dând 1,00×1,5² = 2,25. Capitalizând de patru ori, rezultă 1,00×1,254 = 2,4414…, și capitalizând lunar se obține 1,00×(1,0833…)12 = 2,613035….

Bernoulli a observat că acest șir se apropie de o limită pentru intervale de capitalizare din ce în ce mai mici și mai apropiate. Capitalizarea săptămânală dă 2,692597…, iar capitalizarea zilnică dă 2,714567…, cu doar doi cenți mai mult. Folosind n ca numărul de intervale, cu dobânda de \frac{1}{n} pe fiecare interval, limita pentru n mare este numărul care a ajuns să fie cunoscut ca e; cu capitalizare continuă, valoarea contului va atinge 2,7182818…. Mai general, un cont care pornește de la un leu, și produce (1+R) lei la dobândă simplă va da eR lei la dobândă continuă.

Testele Bernoulli[modificare | modificare sursă]

Numărul e are aplicații și în teoria probabilităților, unde apare într-un mod fără o legătură evidentă cu creșterea exponențială. Presupunând că un jucător joacă la un joc mecanic cu probabilitatea de câștig de 1 din n, el jucând de n ori. Atunci, pentru n mare (cum ar fi un milion) probabilitatea ca jucătorul să nu câștige nimic este (aproximativ) \frac{1}{e}.

Acesta este un exemplu de Test Bernoulli. De fiecare dată când jucătorul joacă, el are o șansă dintr-un milion să câștige. Jucând de un milion de ori, șansele de câștig sunt modelate de distribuția binomială, strâns legată de teorema binomială. Probabilitatea de a câștiga de k ori dintr-un milion este;

\binom{10^6}{k} \left(10^{-6}\right)^k(1-10^{-6})^{10^6-k}.

În particular, probabilitatea de câștig de k=0 ori este

\left(1-\frac{1}{10^6}\right)^{10^6}.

Aceasa este foarte aproape de următoarea limită pentru 1/e:

\frac{1}{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{n}\right)^n.

Problema pălăriilor[modificare | modificare sursă]

O altă aplicație a lui e, descoperită și ea parțial de Jacob Bernoulli împreună cu Pierre Raymond de Montmort este problema pălăriilor.[2] Aici n musafiri sunt invitați la o petrecere, și la intrare fiecare își lasă pălăria la garderobă unde fiecare este pusă în cutii etichetate. Dar la garderobă nu se cunosc numele musafirilor, deci sunt puse în cutii etichetate aleator. Problema lui de Montmort este: care este probabilitate ca niciuna din pălării să nu fie pusă în cutia potrivită? Soluția este:

p_n = 1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+(-1)^n\frac{1}{n!}.

Când numărul n de musafiri tinde la infinit, pn tinde la 1/e. Mai mult, numărul de moduri în care pălăriile pot fi puse în cutii astfel încât niciuna din ele să nu fie în cutia corespunzătoare este exact n!/e, rotunjit la cel mai apropiat întreg.[3]

e în analiza matematică[modificare | modificare sursă]

logaritm natural din e, ln(e), este egal cu 1

Motivul principal pentru introducerea numărului e, în particular în analiza matematică, este pentru a efectua derivarea și calculul integral cu funcții exponențiale și logaritmi.[4] O funcție exponențială generală y=ax are derivata dată ca limita:

\frac{d}{dx}a^x=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x}a^{h}-a^x}{h}=a^x\left(\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}\right).

Limita din dreapta este independentă de variabila x: ea depinde doar de baza a. Când baza este e, această limită este egală cu unu, și astfel e este simbolic definit de ecuația:

\frac{d}{dx}e^x = e^x.

În consecință, funcția exponențială cu baza e este potrivită pentru analiza matematică. Alegerea lui e, în comparație cu alegerea oricărui alt număr, ca bază a funcției exponențiale simplifică mult calculele privind derivata.

Un alt motiv vine din considerarea logaritmului în bază a.[5] Considerând definiția derivatei lui logax ca limita:

\frac{d}{dx}\log_a x = \lim_{h\to 0}\frac{\log_a(x+h)-\log_a(x)}{h}=\frac{1}{x}\left(\lim_{u\to 0}\frac{1}{u}\log_a(1+u)\right).

Din nou, este o limită nedeterminată care depinde doar de baza a, iar dacă această bază este e, limita este unu. Deci simbolic,

\frac{d}{dx}\log_e x=\frac{1}{x}.

Logaritmul cu această bază particulară se numește logaritm natural (adesea notat cu "ln"), și acesta se comportă bine la derivare deoarece nu există o limită nedeterminată care să încarce calculele.

Există deci două moduri în care se poate alege numărul particular a=e. Unul este de a pune derivata funcției exponențiale ax egală cu funcția ax însăși. Celălalt mod este de a pune derivata logaritmului în bază a egal cu 1/x. În orice caz, se ajunge la o alegere convenabilă a bazei pentru efectuarea operațiilor de analiză. De fapt, cele două baze sunt una și aceeași, numărul e.

Alte caracterizări[modificare | modificare sursă]

Sunt posibile și alte caracterizări ale lui e: una este ca limita unui șir, alta este ca suma unei serii, iar altele se bazează pe calculul integral. Deocamdată, se pot introduce următoarele două proprietăți echivalente:

1. Numărul e este singurul număr real pozitiv cu proprietatea că

\frac{d}{dt}e^t = e^t.

2. Numărul e este singurul număr real pozitiv cu proprietatea că

\frac{d}{dt} \log_e t = \frac{1}{t}.

Următoarele definiții alternative sunt și ele demonstrate ca fiind echivalente:

3. Numărul e este limita

e = \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n
Aria de sub graficul funcţiei y = 1/x este egală cu 1 pe intervalul 1 ≤ xe.

4. Numărul e este suma seriei

e = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots

unde n! este factorialul lui n.

5. Numărul e este singurul număr real pozitiv cu proprietatea că

\int_{1}^{e} \frac{1}{t} \, dt = {1}

(adică numărul e cu proprietatea că aria de sub hiperbola  f(t)=\frac{1}{t} de la 1 la e este egală cu 1).

6. Numărul e este limita

e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Analiza matematică[modificare | modificare sursă]

Funcția exponențială f(x) = ex este importantă în parte pentru că este singura funcție netrivială (până la înmulțirea cu o constantă) care este propria sa derivată, și deci și propria sa primitivă:

\frac{d}{dx}e^x=e^x

și

e^x= \int_{-\infty}^x e^t\,dt
= \int_{-\infty}^0 e^t\,dt + \int_{0}^x e^t\,dt
\qquad= 1 + \int_{0}^x e^t\,dt

Funcții asemănătoare cu exponențiala[modificare | modificare sursă]

Numărul x=e este locul unde se află maximul global al funcției

 f(x) = x^{1 \over x}.

Mai general,  x=\!\ \sqrt[n]{e} este maximul global pentru funcția

 \!\ f(x) = x^{1 \over {x^n}}

Expresia

 x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}

converge doar dacă e^{-e} \le x \le e^{1/e}, datorită unei teoreme a lui Leonhard Euler.

ex este de regulă definit ca

 e^{x} = 1 + {x \over 1!} + {x^{2} \over 2!} + {x^{3} \over 3!} + \cdots

Teoria numerelor[modificare | modificare sursă]

Numărul real e este irațional și, mai mult, transcendent (teorema Lindemann–Weierstrass). A fost primul număr demonstrat a fi transcendent fără a fi construit cu acest scop (spre deosebire de numărul Liouville). Demonstrația a fost dată de Charles Hermite în 1873. O conjectură susține că este și normal.

Numere complexe[modificare | modificare sursă]

Apare în formula lui Euler, o importantă formulă legată de numere complexe:

e^{ix} = \cos x + i\sin x,\,\!

Cazul special x = π este cunoscut ca identitatea lui Euler:

e^{i\pi}+1 =0 .\,\!

de unde rezultă că

\log_e (-1) = i\pi .\,\!

Mai mult, folosind legile exponențierii,

(\cos x + i\sin x)^n = \left(e^{ix}\right)^n = e^{inx} = \cos (nx) + i \sin (nx)

numită și formula lui de Moivre.

Reprezentări ale lui e[modificare | modificare sursă]

Numărul e poate fi reprezentat ca număr real în mai multe moduri: ca o serie, ca produs infinit, ca fracție continuă, sau ca limita unui șir. Principala reprezentare, mai ales în cursurile de analiză matematică introductivă este limita

\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n,

ca și seria

e=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}

dată prin evaluarea seriei de puteri pentru ex la x=1.

Există și alte reprezentări mai rare. De exemplu, e poate fi exprimat cu ajutorul fracției:

e=2+
\cfrac{1}{
 1+\cfrac{1}{
 {\mathbf 2}+\cfrac{1}{
 1+\cfrac{1}{
 1+\cfrac{1}{
 {\mathbf 4}+\cfrac{1}{
 \ddots
 }
 }
 }
 }
 }
}

Sau, în formă mai compactă:

e = [[2; 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1, 1, \textbf{6}, 1, 1, \textbf{8}, 1, \ldots,1, \textbf{2n}, 1,\ldots]] \,

Care poate fi scrisă mai elegant permițând și zero:[6]

 e = [[ 1 , \textbf{0} , 1 , 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1 , 1 , \textbf{6}, 1, \ldots]] \,

Precizia de aproximare[modificare | modificare sursă]

Numărul de zecimale ale lui e cunoscute a crescut dramatic în ultimele decenii. Aceasta se datorează atât creșterii performanțelor calculatoarelor, cât și dezvoltării de algoritmi.[7][8]

Număr de zecimale ale lui e cunoscute
Data Număr de zecimale Calcul efectuat de
1748 18[9] Leonhard Euler
1853 137 William Shanks
1871 205 William Shanks
1884 346 J. M. Boorman
1946 808  ?
1949 2,010 John von Neumann (pe calculatorul ENIAC)
1961 100,265 Daniel Shanks & John W. Wrench
1994 10,000,000 Robert Nemiroff & Jerry Bonnell
Mai 1997 18,199,978 Patrick Demichel
August 1997 20,000,000 Birger Seifert
Septembrie 1997 50,000,817 Patrick Demichel
Februarie 1999 200,000,579 Sebastian Wedeniwski
Octombrie 1999 869,894,101 Sebastian Wedeniwski
21 noiembrie 1999 1,250,000,000 Xavier Gourdon
10 iulie 2000 2,147,483,648 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
16 iulie 2000 3,221,225,472 Colin Martin & Xavier Gourdon
2 august 2000 6,442,450,944 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
16 august 2000 12,884,901,000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
21 august 2003 25,100,000,000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
18 septembrie 2003 50,100,000,000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
27 aprilie 2007 100,000,000,000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo

Primele 200 de zecimale ale lui e[modificare | modificare sursă]


\begin{align}
e=2{,}&71828\,18284\,59045\,23536\,02874\,71352\,66249\,77572\,47093\,69995 \\
      &95749\,66967\,62772\,40766\,30353\,54759\,45713\,82178\,52516\,64274 \\
      &27466\,39193\,20030\,59921\,81741\,35966\,29043\,57290\,03342\,95260 \\
      &59563\,07381\,32328\,62794\,34907\,63233\,82988\,07531\,95251\,01901 \ldots
\end{align}

e în cultura informatică[modificare | modificare sursă]

În cultura internet contemporană, adesea persoane și organizații aduc omagiu numărului e.

De exemplu, în oferta publică inițială a companiei Google, din 2004, compania și-a anunțat intenția de a strânge investiții de 2.718.281.828 de dolari (în locul unei sume rotunde) ceea ce înseamnă e miliarde de dolari rotunjit la dolar. Tot Google a fost răspunzătoare pentru un misterios panou publicitar[10] care a apărut în mijlocul Silicon Valley, și mai târziu în Cambridge, Massachusetts, Seattle, Washington, și Austin, Texas. Pe el scria {primul număr prim de 10 cifre compus din cifre consecutive ale lui e}.com. Rezolvarea acestei probleme și vizitarea respectivului site ducea la o problemă și mai dificil de rezolvat, care la rândul ei ducea la Google Labs unde vizitatorul era invitat să-și trimită un curriculum vitae.[11] Primul număr prim de 10 cifre din e este 7427466391, care începe la a 99-a cifră.[12] (Un șir aleator de cifre are o probabilitate de 98.4% să înceapă un număr prim de 10 cifre mai curând.)

Altădată, eminentul informatician Donald Knuth a făcut ca numerele de versiune ale programului său METAFONT să tindă spre e. versiunile erau 2, 2.7, 2.71, 2.718, și așa mai departe.

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ O'Connor, J.J., si Roberson, E.F.; The MacTutor History of Mathematics archive: "The number e"; University of St Andrews Scotland (2001)
  2. ^ Grinstead, C.M. and Snell, J.L. Introduction to probability theory (publicat online sub GFDL), p. 85.
  3. ^ Knuth (1997) The Art of Computer Programming Volume I, Addison-Wesley, p. 183.
  4. ^ Vezi, de exemplu, Kline, M. (1998) Calculus: An intuitive and physical approach, Dover, section 12.3 "The Derived Functions of Logarithmic Functions."
  5. ^ Aceasta este abordarea lui Klein (1998).
  6. ^ Hofstadter, D. R., "Fluid Concepts and Creative Analogies: Computer Models of the Fundamental Mechanisms of Thought" Basic Books (1995)
  7. ^ Sebah, P. and Gourdon, X.; Constanta e și calculul ei
  8. ^ Gourdon, X.; Calcule complexe cu PiFast
  9. ^ New Scientist 21 iulie 2007 p.40
  10. ^ Imaginea panoului
  11. ^ Shea, Andrea. „Google Entices Job-Searchers with Math Puzzle”. NPR. http://www.npr.org/templates/story/story.php?storyId=3916173. Accesat la 9 iunie 2007. 
  12. ^ Kazmierczak, Marcus (2004-07-29). „Math : Google Labs Problems”. mkaz.com. http://www.mkaz.com/math/google/. Accesat la 9 iunie 2007. 

Legături externe[modificare | modificare sursă]