Număr prim

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Un număr prim este număr natural care are exact doi divizori: numărul 1 şi numărul în sine. Cel mai mic număr prim este 2, în afară de 2 toate numerele prime sunt numere impare.

Un număr natural p > 1 se numeşte prim^[1] dacă : p | ab atunci p | a sau p | b , unde a, b sunt naturale.

De exemplu 15 | 9 ^. 5 , dar 15 9 , 15 5 , adică 15 nu este număr prim.

Aceasta este o proprietate esenţială a numerelor prime, iar cele două definiţii sunt echivalente pentru inelul , dar nu sunt echivalente în orice inel integru.

• În anul 300 î.Hr. Euclid a demonstrat că există o infinitate de numere prime.Iată demonstraţia:presupunând prin absurd că p ar fi cel mai mare număr prim,construim numărul n=2x3x5x......xp+1.Acesta nu se divide cu nici unul din numerele 2,3,5,.....,p,aşadar sau este prim,sau are un divizor prim mai mare ca p,ceea ce contrazice presupunerea că p ar fi cel mai mare număr prim.
• Nu se ştie dacă există o infinitate de numere prime gemene (impare consecutive ca : [3,5]; [41,43]; [59,61]; [101,103] etc.).
• Şirul numerelor prime începe cu 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43...
• Descompunerea în factori primi: orice număr natural n, n > 1 poate fi descompus în mod unic (până la o permutare a factorilor ) ca produs finit de numere prime, şi putem scrie descompunerea în factori primi distincţi ai lui n unde sunt numere prime distincte.^[2]
  • Exemplu : .
  • Pentru numerele întregi avem , unde .
• Teorema lui Dirichlet : În progresia aritmetică a, a+q, a+2q, a+3q..., a+nq,.., cu a>0, q>0, numere naturale prime între ele există o infinitate de numere prime. Demonstraţii elementare există pentru progresiile 4n+1 şi 4n+3, iar cazul general are o demostraţie elementară foarte lungă, iar altele sunt neelementare.^[3]
• Postulatul lui Bertrand: dacă n > 1 este un număr natural atunci există un număr prim p cuprins între n şi 2n , adică n < p < 2n.
• Conjectura lui Andrica: diferenţa radicalilor a două numere prime consecutive este întotdeauna mai mică decât 1 (enunţată de Dorin Andrica,profesor la UBB Cluj)

[modifică] Vezi şi

• Teorema numerelor prime
• Numere prime între ele

[modifică] Legături externe

• http://www.institutionscle.nombrespremiers.net
• Prime number finder - find all the prime numbers between two set values
• Prime number calculator - Check prime number, find next largest and next smallest prime numbers of a number
• Pagina numerelor prime — http://primes.utm.edu/
• MacTutor history of prime numbers
• Prime Number Generator - Generate a given number of primes above a given start number.
• Primele 15, 000, 000 numere prime
• The prime puzzles
• An English translation of Euclid's proof that there are infinitely many primes
• Primes de la WIMS online generator de numere prime
• Number Spiral with prime patterns
• An Introduction to Analytic Number Theory, by Ilan Vardi and Cyril Banderier
• Factorizer Windows software to find prime numbers and pairs of prime numbers less than 2,147,483,646.
• A fast, downloadable prime number calculator written in Visual Basic 6
• Huge database of prime numbers
• EFF Cooperative Computing Awards
• Cel mai mare număr prim cunoscut !
• Numere prime - mathworld

[modifică] Note

1. ^  I.D. Ion ş.a. "Algebra pentru perfecţionarea profesorilor" E.D.P. Bucureşti,1983, p. 77 , 152.
2. ^  I.D. Ion ş.a. "Algebra pentru perfecţionarea profesorilor" E.D.P. Bucureşti,1983, p. 77 , 152.
3. ^  I. Creangă ş.a.,"Introducere în teoria numerelor", E.D.P. Bucureşti,1965.