Măsura Lebesgue

Măsura Lebesgue este o modalitate generală de a defini, în spațiul euclidian, "conținutul" unei figuri geometrice, în caz particular, lungime, arie, volum. Numele i se datorează matematicianului francez Henri Lebesgue.

Definiție

Fie $(\mathbb{R}, B(\mathbb{R}))$ spațiul măsurabil $\mathbb{R}$ înzestrat cu o algebră boreliană. Există o unică măsură, numită "măsură Lebesgue", notată $\lambda \,$ peste acest spațiu, care posedă proprietățile:

• $\forall a \in \mathbb{R} , \; \forall A \in B(R) , \; \lambda (a + A) = \lambda (A)$

(invarianță la translație)

• $\lambda([0 ; 1]) = 1 \,$

Exemple

• Intervalele   $[a,b] \,$ și   $(a, b) \,$   au măsura Lebesgue de valoare   $b - a \,$.

• Produsul cartezian al intervalelor $[a, b] \,$ și $[c, d] \,$ are ca măsură Lebesgue aria $(b - a)(d - c) \,$.

• Mulțimea lui Cantor este nenumărabilă și are măsură Lebesgue nulă.

Vezi și

• Teoria măsurii