Constanta Euler–Mascheroni

Numere iraționale și probabil iraționale: γ – φ – e – π
Binar	0.100100111100010001...
Decimal	0.5772156649015328606065...
Hexadecimal	0.93C467E37DB0C7A4D1BE...
fracție continuată	[0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, … ] (Această fracție continuată nu este periodică.)

În analiza matematică și în teoria numerelor, Constanta Euler-Mascheroni (deasemenea numită și Constanta lui Euler) este o constantă matematică, de obicei notată cu consoana mică de tipar grecească γ (gamma). Poartă numele matematicienilor Leonhard Euler și Lorenzo Mascheroni.

Este definită ca limita diferenței dintre seriile armonice și logaritmul natural:

$\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) \right)=\int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx.$

Valoarea ei numerică, estimată până la cea de-a 50-a zecimală, este:

0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 … (șirul A001620 în OEIS).

$\gamma$ nu trebuie confundată cu baza logaritmului natural, e, care este câteodată numită numărul lui Euler.

Istorie

Constanta a apărut pentru prima dată într-un articol din 1735 de matematicianul elvețian Leonhard Euler, întitulat De Progressionibus harmonicis observationes (Eneström Index 43). Euler a folosit notațiile C și O pentru constanta lui. În 1790, matematicianul italian Lorenzo Mascheroni a folosit notațiile A sau a pentru constanta lui Euler. Notația γ nu apare nicăieri în notele lui Euler sau ale lui Mascheroni, și a fost aleasă mai târziu datorită conexiunii constantei cu Funcția gamma. De exemplu, matematicianul german Carl Anton Bretschneider a folosit notația γ în 1835.

Proprietăți

Numărul γ nu a fost descris ca un număr algebric sau transcendent. De fapt, nici măcar nu se știe cu exactitate dacă este irațional. Analiza fracției continuate demonstrează că dacă γ este irațional, numitorul lui trebuie să fie mai mare decât 10²⁴²⁰⁸⁰. Ubicuitatea numărului γ este arătat de numărul mare de ecuații (prezentate mai jos) face iraționalitatea constantei γ un subiect major în matematică.

For more equations of the sort shown below, see Gourdon and Sebah (2002).

Relația funcției Gamma

γ este asemănător cu Funcția Digamma (Ψ), și de aici, derivatele Funcțiilor Gamma (Γ), însă ambele funcții sunt evaluate la 1. Astfel:

$\ -\gamma = \Gamma'(1) = \Psi(1).$

Aceasta este egală cu limitele:

$-\gamma = \lim_{z\to 0} \left\{\Gamma(z) - \frac1{z} \right\} = \lim_{z\to 0} \left\{\Psi(z) + \frac1{z} \right\}.$

Alte rezultate ale limitelor sunt (Krämer, 2005):

$\lim_{z\to 0} \frac1{z}\left\{\frac1{\Gamma(1+z)} - \frac1{\Gamma(1-z)} \right\} = 2\gamma$

$\lim_{z\to 0} \frac1{z}\left\{\frac1{\Psi(1-z)} - \frac1{\Psi(1+z)} \right\} = \frac{\pi^2}{3\gamma^2}.$

O limită asemănătoare cu Funcția beta (exprimată în termenii Funcțiilor Gamma) este

$\gamma = \lim_{n \to \infty} \left \{\frac{ \Gamma(\frac{1}{n}) \Gamma(n+1)\, n^{1+1/n}}{\Gamma(2+n+\frac{1}{n})} - \frac{n^2}{n+1} \right\}.$

$\gamma = \lim\limits_{m \to \infty}\sum_{k=1}^m{m \choose k}\frac{(-1)^k}{k}\ln(\Gamma(k+1)).$

Relația cu Funcția Zeta

γ poate fi deasemenea exprimată ca o sumă infinită ale cărei termeni includ Funcția Zeta Riemann evaluată la un întreg pozitiv:

$\begin{align}\gamma &= \sum_{m=2}^{\infty} (-1)^m\frac{\zeta(m)}{m} \\ &= \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) + \sum_{m=2}^{\infty} (-1)^m\frac{\zeta(m)}{2^{m-1}m}.\end{align}$

Alte serii asemănătoare cu funcția zeta includ:

$\begin{align} \gamma &= \frac{3}{2}- \ln 2 - \sum_{m=2}^\infty (-1)^m\,\frac{m-1}{m} [\zeta(m)-1] \\ &= \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2\,n-1}{2\,n} - \ln\,n + \sum_{k=2}^n \left ( \frac{1}{k} - \frac{\zeta(1-k)}{n^k} \right ) \right ] \\ &= \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2^n}{e^{2^n}} \sum_{m=0}^\infty \frac{2^{m \,n}}{(m+1)!} \sum_{t=0}^m \frac{1}{t+1} - n\, \ln 2+ O \left ( \frac{1}{2^n\,e^{2^n}} \right ) \right ].\end{align}$

Termenul eronat din ultima ecuație este o funcție care descrește rapid, a lui n. Ca rezultat, formula este gata pentru computația eficientă a constanei la o mare precizie.

Alte limite interesante egale cu constanta Euler–Mascheroni sunt limitele antisimetrică (Sondow, 1998):

$\gamma = \lim_{s \to 1^+} \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n} \right ) = \lim_{s \to 1} \left ( \zeta(s) - \frac{1}{s-1} \right )$

și

$\begin{align} \gamma = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\, \sum_{k=1}^n \left ( \left \lceil \frac{n}{k} \right \rceil - \frac{n}{k} \right ).\end{align}$

Foarte asemănătaore cu aceastea sunt seriile zeta raționale. Prin excluderea primilor termeni ai seriilor de mai jos, se obține o aproximare pentru limita clasică a seriilor:

$\gamma = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n - \sum_{m=2}^\infty \frac{\zeta (m,n+1)}{m}$

unde ζ(s,k) este Funcția zeta Hurwitz. Suma acestei ecuații include numerele armonice, H_n. Extinzând unii termeni în funcția zeta Hurwitz rezultă:

$H_n = \ln n + \gamma + \frac {1} {2n} - \frac {1} {12n^2} + \frac {1} {120n^4} - \varepsilon$, unde $0 < \varepsilon < \frac {1} {252n^6}.$

Integrale

γ este egal cu valoarea unui număr definit integral:

$\begin{align}\gamma &= - \int_0^\infty { e^{-x} \ln x }\,dx \\ &= -\int_0^1 \ln\ln\left (\frac{1}{x}\right) dx \\ &= \int_0^\infty \left (\frac1{e^x-1}-\frac1{xe^x} \right)dx = \int_0^1\left(\frac 1{\ln x} + \frac 1{1-x}\right)dx\\ &= \int_0^\infty \left (\frac1{1+x^k}-e^{-x} \right)\frac{dx}{x},\quad k>0.\end{align}$

Integralele definite în care γ este inclus:

$\int_0^\infty { e^{-x^2} \ln x }\,dx = -\tfrac14(\gamma+2 \ln 2) \sqrt{\pi}$

$\int_0^\infty { e^{-x} \ln^2 x }\,dx = \gamma^2 + \frac{\pi^2}{6} .$

Numai o ecuație folosește γ cu un caz special al Formulei lui Hadjicostas ca o integrală dublă cu seriile echivalente :

$\gamma = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)} \, dx\,dy = \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n}-\ln\frac{n+1}{n} \right ).$

O comparație interesantă de J. Sondow (2005) este dubla integrală si seriile alternate:

$\ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1+x\,y)\ln(x\,y)} \, dx\,dy = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \left( \frac{1}{n}-\ln\frac{n+1}{n} \right).$

Aceasta arată că $\ln \left ( \frac{4}{\pi} \right )$ poate fi abordată ca o "Constanta alternativă Euler".

Cele 2 constante sunt deasemenea asemănătoare cu următoarele 2 serii:

$\sum_{n=1}^\infty \frac{N_1(n) + N_0(n)}{2n(2n+1)} = \gamma$

$\sum_{n=1}^\infty \frac{N_1(n) - N_0(n)}{2n(2n+1)} = \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right )$

unde N₁(n) și N₀(n) sunt numerele 1 și 0, respectiv, în baza 2 a extinderii lui n.

Deasemenea, aceasta este constanta Catalană din 1875:

$\gamma = \int_0^1 \frac{1}{1+x} \sum_{n=1}^\infty x^{2^n-1} \, dx.$