Progresie (matematică)

În matematică, progresia este un șir de numere care derivă unul din altul urmând anumite reguli.

Progresiile cele mai frecvent folosite sunt progresia aritmetică și progresia geometrică. Fiecare dintre acestea are caracteristică o anumită operație (în care intervine numărul anterior din șir și o constantă), și anume adunarea în cazul progresiilor aritmetice și înmulțirea în cazul celor geometrice.

Progresii aritmetice

Progresiile aritmetice finite se caracterizează printr-o diferență constantă între oricare doi termeni consecutivi. Ele sunt de forma a₁, a₂, ..., a_n sau a₁ , a₁ + r , a₁ + 2r , ... , a₁ + (n-1)r unde:

• n este numărul de elemente din progresie,
• a_k = a₁ + (k - 1)r , pentru toți k între 1 și n, numită și formula generală.
• r este rația : r = a_k - a_k-1 numită și formula de recurență.
• Suma primelor n numere dintr-o progresie aritmetică finită se poate calcula astfel:

$S_n = {{{(a_1 + a_n)} \cdot n} \over 2} = {{{( 2 \cdot a_1 + (n-1) \cdot r)} \cdot n} \over 2} = a_1 \cdot n + r \cdot { n \cdot (n - 1) \over 2 }$

• Exemplu : -5 , -1 , 3 , 7 ... cu r = 4 și a₁ = -5 .

Această formulă a fost găsită și de către Gauss încă de pe timpul când era în gimnaziu.

Progresii geometrice

Tipic pentru progresiile geometrice este faptul că raportul dintre oricare doi termeni consecutivi este constant; acest raport se numește rația progresiei.

$b_k = b_{k-1} \cdot q = b_1 \cdot q^{k-1}$

Suma primelor n' numere ale unei progresii

$S_n = b_1 \cdot (1+q+q^2+ ... +q^{n-1}) = b_1 \cdot \frac{q^n-1}{q-1}$, dacă q $\ne$ 1. Dacă q $=$ 1 atunci $S_n = n \cdot b_1$.

Exemplu : 0.001, 0.01, 0.1, 1, 10, ... este o progresie geometrică cu $b_1 = 0.001$ și $q = 10$.

Progresii armonice

O progresie armonică este un șir de numere care reprezintă inversele unei progresii aritmetice. De exemplu șirul {1, 1/3, 1/5, 1/7, ...} este o progresie armonică.

Denumiri

Denumirea acestor progresii provine de la proprietatea oricărui număr din șir (cu excepția capetelor) de a fi egal cu un anumit tip de medie a celor doi vecini ai săi:

• la progresia aritmetică este media aritmetică,
• la progresia geometrică este media geometrică (cu condiția ca termenii șirului să fie numere pozitive),
• la progresia armonică este media armonică.

Bibliografie

• E. Rogai, Tabele și formule matematice, Editura Tehnică
• en Arithmetic progression, at Mathworld.wolfram.com
• en Geometric sequence, at Mathworld.wolfram.com
• en Harmonic series, at Mathworld.wolfram.com
• en Fibonacci number, at Mathworld.wolfram.com

Vezi și

• Șirul lui Fibonacci