Număr complex

În matematică, numerele complexe au apărut ca soluții ale ecuațiilor de forma $\ x^2 + p = 0$, cu p număr real strict pozitiv, așa cum numerele iraționale apăruseră din necesitatea de a descrie soluții ale ecuațiilor de forma $\ x^2 - q = 0$, unde q nu este un pătrat perfect.

Formal, mulțimea numerelor complexe reprezintă mulțimea tuturor perechilor ordonate de numere reale, $\ (a,b)$, înzestrată cu operațiile de adunare și înmulțire definite mai jos:

$\ (a,b) + (c,d) = (a + c,b + d)$ ,

$\ (a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd,bc + ad)$ .

Mulțimea numerelor complexe formează un corp, corpul numerelor complexe, notat cu $\mathbb{C}$.

Elementul neutru al operației de adunare este $\ (0,0)$ iar elementul neutru al operației de înmulțire este $\ (1,0)$.

Deoarece $\ (a,0) + (c,0) = (a + c,0)$ și $\ (a,0)(c,0) = (ac,0)$, mulțimea numerelor reale, $\mathbb{R}$, poate fi privită ca submulțime a lui $\mathbb{C}$, identificînd numărul real $\ a$ cu $\ (a, 0)$.

Numărul complex $\ (0,1)$ are proprietatea $\ (0,1)(0,1) = (-1,0)$ , adică $\ (0,1)^2 = (-1,0)$ identificat cu numărul real $\ -1$. Niciun număr real nu are această proprietate; de aceea el a fost denumit "numărul $\ i$ " („i” de la „imaginar”).

Numerele complexe de forma $\ (0, x)$ se numesc „numere imaginare”.

Forma algebrică

Numărul complex $\ (0,1)$ este notat cu $\ i$ și numit „numărul i”. Are proprietatea $\ i^2 = -1$.

Ținînd cont de cele de mai sus, un număr complex $\ (a,b)$ poate fi scris $\ (a,b)= (a,0)+(b,0)(0,1) = a + bi$.

• Forma algebrică a unui număr complex este $\ z = a + bi$, unde a și b sunt numere reale.
• $\ (0,1) = i$ numit unitatea imaginară; $\ (0,0)= 0$; $\ (1,0)= 1$.
• Pentru un număr complex $\ z = a + bi$, $\ a$ se numește partea reală a lui $\ z$ și se notează $\ a = Re (z)$, iar $\ b$ se numește partea imaginară a lui $\ z$ și se notează $\ b = Im (z)$.
• Un număr complex cu partea reală nulă (deci de forma: $\ z = bi$) se mai numește „număr imaginar”.
• Egalitatea a două numere complexe z = (a,b) = a + bi și w = (c,d) = c + di are loc dacă a = c și b = d.
• Suma a două numere complexe z = (a,b) = a + bi și w = (c,d) = c + di este z + w = (a + c, b + d) = (a+c) + i(b+d).
• Produsul a două numere complexe z = (a,b)= a + bi și w = (c,d) = c + di este zw = (ac-bd,bc+ad) = (ac-bd) + i(bc+ad).
• Exemple: pentru z = (2,3) = 2 + 3i și w = (1,4) = 1 + 4i avem suma z + w = (3,7) = 3 + 7i și produsul zw = (-10,11) = -10 + 11i.

Forma trigonometrică

Orice număr complex a cărui formă algebrică este $z=a+bi$ poate fi scris și sub formă trigonometrică, adică sub forma $z = r\,(\cos \varphi + i\sin \varphi )\,$, unde $r=\sqrt{a^2+b^2}$ este modulul numărului complex z, iar $\varphi=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)$ este argumentul acestui număr complex .

• $z_1 \cdot z_2 = r_1 \cdot r_2(cos(t_1+t_2)+isin(t_1+t_2))$

• ${z_1 \over z_2}=$ ${r_1 \over r_2}(cos(t_1-t_2)+isin(t_1-t_2))$

• $\ z^n = r^n(cos(nt)+isin(nt))$

• $\sqrt[n\,]{z} = \sqrt[n\,]{r}(cos$${{ t+2k\pi} \over {n}}+isin{{ t+2k\pi} \over {n}})$, k={0,1,2,... n-1}

Forma exponențială

Numărul complex a cărui formă trigonometrică este $z = r\,(\cos \varphi + i\sin \varphi )\,$ poate fi scris sub forma exponențială $z = r\,\mathrm{e}^{i \varphi}\,$. Această posibilitate se datorează valabilității formulei lui Euler.

Forma matricială

Mulțimea matricilor de dimensiuni $2\times2$ de forma: $Z = \begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix} = a \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} + b \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} = a \cdot E + b \cdot I$ cu $a,b\in\R$ reprezintă de asemeni o formă de scriere a numerelor complexe, unde $E$ reprezintă matricea unitate si matricea $I$ reprezintă unitatea imaginară. Avem:

$\mathrm{Re}(Z) = a$

$\mathrm{Im}(Z) = b$

$I^2 = -E$ (analog cu $\mathrm i^2 = -1$)

$\operatorname{abs}(Z) = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{\det Z}$

Această mulțime reprezintă un subspațiu din spațiul vectorial al matricilor de dimensiuni $2\times2$.

Numerele reale corespund matricilor diagonale de forma

$\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}.$

Conjugatul unui număr complex

Articol principal: Conjugată complexă.

• Conjugatul complex al unui numar $\ z = a + bi$ este numărul complex $\bar{z} = a - bi$ .
• Proprietățile conjugatului complex :
  • $\overline{ \overline {z} }= z$
  • ${\bar {z}}{ \bar w} = \overline {zw}$
  • ${\bar {z}} + { \bar w} = \overline {z + w}$
  • $\overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w}$ $\Leftrightarrow$ $\overline{\left({z \over w}\right)} = {{\bar{z}} \over {\bar{w}}}$

Modulul unui număr complex

• Modulul numărului complex $\ z = a + bi$ este numărul real $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.
• Proprietățile modulului:
  • $|z| \ge 0, \forall z \in \mathbb{C}$
  • $|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0$
  • $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$
  • $|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$ (inegalitatea triunghiului)
  • $|z_1 \cdot z_2 \cdot ... \cdot z_n|= |z_1| \cdot |z_2| \cdot ... \cdot |z_n|$
  • $|z_1^n|= {| z_1|}^n$
  • $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|= {{| z_1|} \over {|z_2|}}$
  • Are loc identitatea $|z|^2= z\bar{z}$ și deci ${1 \over z}={{\bar{z}} \over {|z|^2}}$ , dacă $\ z\ne 0$
  • $|\pm i| = 1$.

Puterile și radicalii numerelor complexe

Puterile lui $i$

$\ i^2 = -1$$\ =>$$\ i^3 =$$\ i^2 \cdot i=i \cdot (-1)=-i$

$\ i^3 = -i$$\ =>$$\ i^4 =$$\ i^3 \cdot i=i \cdot (-i)=1$

Generalizare:

• $\ i^n = 1$ cu $\ n$ de forma $\ 4k$

• $\ i^n = i$ cu $\ n$ de forma $\ 4k+1$

• $\ i^n = -1$ cu $\ n$ de forma $\ 4k+2$

• $\ i^n = -i$ cu $\ n$ de forma $\ 4k+3$

Puterile naturale ale numerelor complexe

Pentru puteri naturale $n$ ale numerelor complexe scrise sub forma polarǎ $z=r\cdot e^{i\cdot \varphi}$ avem formula de calcul:

• $z^n=r^n\cdot e^{i\cdot n \cdot\varphi}$

sau, folosind forma algebricǎ a numerelor complexe $z=a+ i \cdot b$, se obține

• $z^n = \sum_{k=0, k\,par}^n {n \choose k}\cdot (-1)^{\frac{k}{2}}\cdot a^{n-k}\cdot b^k + i \sum_{k=1, k\,impar}^n {n \choose k}\cdot (-1)^{\frac{k-1}{2}}\cdot a^{n-k}\cdot b^k$,

unde ${n \choose k} = C_n^k$ reprezintǎ combinǎri de $n$ luate câte $k$.

Puterile complexe ale numerelor complexe

Dacǎ baza $z$ și exponentul $\omega$ al puterii sunt ambele numere complexe, atunci

• $z^{\omega} := e^{\omega\cdot \ln z }$

Radicalii numerelor complexe

In ceea ce priveste calculul cu radicali ai numerelor complexe, nu mai sunt valabile regulile de calcul ca și cele pentru numere reale nenegative. Indiferent, care din cele două valori se folosesc $i$ sau $-i = - \sqrt{-1}$ se obține:

  $1 = \sqrt 1 = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} \ne \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = -1$

Pentru calculul radicalului de ordinul n al unui număr complex $z = re^{\mathrm i\phi}$ se folosește formula

   $\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}\cdot e^{\mathrm i \frac{\varphi + 2k\pi}n}$,

unde k ia valorile $0, 1, \ldots, n-1$. Un numar komplex are deci n rădăcini complexe. Astfel radicalul unui număr complex nu este unic determinat.

Logaritmul unui număr complex

Logaritmul natural al unui număr complex nu este unic determinat. Un număr complex w reprezinta logaritmul natural al unui număr complex z, dacă

  $e^w=z$.

Prin w se înțelege orice număr de forma $w + 2m \pi \mathrm i$ ca fiind logaritmul natural al numărului z unde $m\in \Z$. Drept consecință se lucrează în majoritatea cazurilor cu valori principale ale numerelor complexe, adică fâșii ale planului numerelor complexe.

Valoarea principală a unui număr complex este

   $z = re^{\mathrm i \phi}$

unde $r>0$ si $-\pi <\phi \leq \pi$

   $\ln z = \ln r + \mathrm i \phi$.

sau, formulat altfel

  $\ln z = \ln |z| + \mathrm i\, \mathrm{Arg}(z)$,

unde $\mathrm{Arg}(z)$ este valoarea principala a argumentului numărului complex.

Reprezentarea grafică a numerelor complexe

Reprezentarea grafică a numerelor complexe

Așa cum unui număr real i se poate asocia un punct de pe o dreaptă, tot astfel, unui număr complex i se poate asocia un punct aflat într-un plan. Numărului complex z = a + bi i se asociază punctul M(a,b).

Această asociere stă la baza diagramelor Argand.

Formula lui Euler și identitatea lui Euler

$\mathrm{e}^{i \varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi \,$

În cazul în care φ = π se obține "Identitatea lui L. Euler".

$\mathrm{e}^{i \pi} =\ -1 \,$

Vezi și

• Cuaternion

Legături externe

• John and Betty's Journey Through Complex Numbers
• SOS Math - Complex Variables
• Algebraic Structure of Complex Numbers de la situl cut-the-knot
• A history of complex numbers.
• numere complexe pe mathworld