Număr complex

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

În matematică, numerele complexe au apărut ca soluţii ale ecuaţiilor de forma $\ x^2 + p = 0$ , cu p număr real strict pozitiv, aşa cum numerele iraţionale apăruseră din necesitatea de a descrie soluţii ale ecuaţiilor de forma $\ x^2 - q = 0$ , unde q nu este un pătrat perfect.

Formal, mulţimea numerelor complexe reprezintă mulţimea tuturor perechilor ordonate de numere reale, $\ (a,b)$ , înzestrată cu operaţiile de adunare şi înmulţire definite mai jos:

$\ (a,b) + (c,d) = (a + c,b + d)$ ,

$\ (a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd,bc + ad)$ .

Mulţimea numerelor complexe formează un corp, corpul numerelor complexe, notat cu $\mathbb{C}$ .

Elementul neutru al operaţiei de adunare este $\ (0,0)$ iar elementul neutru al operaţiei de inmulţire este $\ (1,0)$ .

Deoarece $\ (a,0) + (c,0) = (a + c,0)$ şi $\ (a,0)(c,0) = (ac,0)$ , mulţimea numerelor reale, $\mathbb{R}$ , poate fi privită ca submulţime a lui $\mathbb{C}$ , identificînd numărul real $\ a$ cu $\ (a, 0)$ .

Numărul complex $\ (0,1)$ are proprietatea $\ (0,1)(0,1) = (-1,0)$ , adică $\ (0,1)^2 = (-1,0)$ identificat cu numărul real $\ -1$ .

Nici un număr real nu are această proprietate.

Cuprins

1 Forma algebrică
2 Forma trigonometrică
3 Forma exponenţială
4 Conjugatul unui număr complex
5 Modulul unui număr complex
6 Puterile lui i
7 Reprezentarea grafică a numerelor complexe
8 Formula lui Euler şi identitatea lui Euler
9 Note
10 Vezi şi
11 Legături externe

[modifică] Forma algebrică

Numărul complex $\ (0,1)$ este notat cu $\ i$ şi $\ i^2 = -1$ .

Ţinînd cont de cele de mai sus, un număr complex $\ (a,b)$ poate fi scris $\ (a,b)= (a,0)+(b,0)(0,1) = a + bi$ .

Forma algebrică a unui număr complex este $\ z = a + bi$ , unde a şi b sunt numere reale.
$\ (0,1)= i$ unitatea imaginară ; $\ (0,0)= 0$ ; $\ (1,0)= 1$ .

Pentru un număr complex $\ z = a + bi$ , $\ a$ se numeşte partea reală a lui $\ z$ şi se notează $\ a = Re (z)$ iar $\ b$ se numeşte partea imaginară a lui $\ z$ şi se notează $\ b = Im (z)$ .

Egalitatea a două numere complexe z = (a,b)= a + bi şi w =(c,d) = c + di are loc dacă a = c şi b = d.
Suma a două numere complexe z = (a,b)= a + bi şi w =(c,d) = c + di este z + w = (a + c, b + d )= (a+c) + i(b +d).
Produsul a două numere complexe z = (a,b)= a + bi şi w =(c,d) = c + di este zw = (ac -bd, bc + ad )= (ac-bd) + i(bc+ad).
Exemplu : pentru z = (2,3)= 2 + 3i şi w =(1,4) = 1 + 4i avem zw = (-10, 11 )= -10 + 11i, z + w = (3, 7 )= 3 + 7i .

[modifică] Forma trigonometrică

Orice număr complex a cărui formă algebrică este $z = a + b i$ poate fi scris şi sub formă trigonometrică, adică sub forma $z = r\,(\cos \varphi + i\sin \varphi )\,$ , unde $r=\sqrt{a^2+b^2}$ este modulul numărului complex z, iar $\varphi=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)$ este argumentul acestui număr complex .

$z_1 \cdot z_2 = r_1 \cdot r_2(cos(t_1+t_2)+isin(t_1+t_2))$

${z_1 \over z_2}=$ ${r_1 \over r_2}cos(t_1-t_2)+isin(t_1-t_2)$

$\ z^n = r^n(cos(nt)+isin(nt))$

$\sqrt[n\,]{z} = \sqrt[n\,]{r}(cos$ ${{ t+2k\pi} \over {n}}+isin{{ t+2k\pi} \over {n}})$ , k={0,1,2,... n-1}

[modifică] Forma exponenţială

Numărul complex a cărui formă trigonometrică este $z = r\,(\cos \varphi + i\sin \varphi )\,$ poate fi scris sub forma exponenţială $z = r\,\mathrm{e}^{i \varphi}\,$ . Această posibilitate se datorează valabilităţii formulei lui Euler.

[modifică] Conjugatul unui număr complex

Pentru detalii, vezi: Conjugată complexă.

Conjugatul complex al unui numar $\ z = a + bi$ este numărul complex $\bar{z} = a - bi$ .
Proprietăţile conjugatului complex :
- $\bar \bar {z} = z$
- ${\bar {z}}{ \bar w} = \overline {zw}$
- ${\bar {z}} + { \bar w} = \overline {z + w}$
- $\overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w}$ $\Leftrightarrow$ $\overline{\left({z \over w}\right)} = {{\bar{z}} \over {\bar{w}}}$

[modifică] Modulul unui număr complex

Modulul numărului complex $\ z = a + bi$ este numărul real $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ .
Proprietăţile modulului:
- $|z| \ge 0, \forall z \in \mathbb{C}$
- $|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0$
- $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$
- $|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$ (inegalitatea triunghiului)
- $|z_1 \cdot z_2 \cdot ... \cdot z_n|= |z_1| \cdot |z_2| \cdot ... \cdot |z_n|$
- $|z_1^n|= {| z_1|}^n$
- $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|= {{| z_1|} \over {|z_2|}}$
- Are loc identitatea $|z|^2= z\bar{z}$ şi deci ${1 \over z}={{\bar{z}} \over {|z|^2}}$ , dacă $\ z\ne 0$
- $|\pm i| = 1$ .

[modifică] Puterile lui i

$\ i^2 = -1$ $\ =>$ $\ i^3 =$ $\ i^2 \cdot i=i \cdot (-1)=-i$

$\ i^3 = -i$ $\ =>$ $\ i^4 =$ $\ i^3 \cdot i=i \cdot (-i)=1$

Generalizare:

$\ i^n = 1$ cu $\ n$ de forma $\ 4k$

$\ i^n = i$ cu $\ n$ de forma $\ 4k+1$

$\ i^n = -1$ cu $\ n$ de forma $\ 4k+2$

$\ i^n = -i$ cu $\ n$ de forma $\ 4k+3$

[modifică] Reprezentarea grafică a numerelor complexe

Aşa cum unui număr real i se poate asocia un punct de pe o dreaptă, tot astfel, unui număr complex i se poate asocia un punct aflat într-un plan.

[modifică] Formula lui Euler şi identitatea lui Euler

Reprezentarea grafică a numerelor complexe

$\mathrm{e}^{i \varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi$

$\mathrm{e}^{i \pi} =\ -1 \ ,\ pentru \ \varphi=\pi$ numită şi "Identitatea lui L. Euler".^[1]

[modifică] Note

^ en Proof of Euler's identity

[modifică] Vezi şi

Cuaternion

[modifică] Legături externe

	Matematică – Teoria numerelor --- Matematică discretă (categorie)
	Matematicieni specializaţi în Teoria numerelor (categorie) • • $\mathbb{N}$ • • $\mathbb{Z}$ • • $\mathbb{Q}$ • • $\mathbb{I}$ • • $\mathbb{T}$ • • $\mathbb{R}$ • • • $\mathbb{C}$ • • •

[0] Proof of Euler's identity

[1]

Număr complex

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Cuprins

[modifică] Forma algebrică

[modifică] Forma trigonometrică

[modifică] Forma exponenţială

[modifică] Conjugatul unui număr complex

[modifică] Modulul unui număr complex

[modifică] Puterile lui i

[modifică] Reprezentarea grafică a numerelor complexe

[modifică] Formula lui Euler şi identitatea lui Euler

[modifică] Note

[modifică] Vezi şi

[modifică] Legături externe

Vizualizări

Unelte personale

Navigare

participare

Căutare

Trusa de unelte

În alte limbi