Teoria haosului

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Teoria haosului sau teoria sistemelor complexe este o ramură a matematicii și fizicii moderne care descrie comportamentul anumitor sisteme dinamice neliniare, a acelor sisteme care prezintă fenomenul de instabilitate numit sensibilitate față de condițiile inițiale, motiv pentru care comportamentul lor pe termen relativ lung (deși se conformează legilor deterministe) este imprevizibil, adică aparent haotic (de unde și denumirea teoriei).

Teoria haosului a fost formulata de Edward Lorenz în 1960. Savantul spunea, "Un fenomen care pare a se desfășura la întâmplare, are de fapt un element de regularitate ce ar putea fi descris matematic." In termeni mai simpli, există o ordine ascunsă în orice evoluție aparent haotică a oricărui sistem dinamic complex.

Introducere[modificare | modificare sursă]

Numele de Teorie a Haosului vine de la faptul ca în sistemele descrise de aceasta există o dezordine aparentă. Teoria haosului este un domeniu de studiu în matematică, fizică, economie și filozofie și se ocupă cu studierea comportamentului sistemelor dinamice care sunt foarte sensibile față de conditiile inițiale. Aceasta sensibilitate mai este numita și efectul fluturelui. Mici modificări ale condițiilor inițiale (cum ar fi rotunjirea numerelor cu care se lucrează) au ca efect rezultate haotice, facând ca anticiparea efectelor pe termen lung sa fie imposibilă. Acest lucru se întamplă chiar daca sistemele sunt deterministe, ceea ce înseamna că comportamentul lor viitor este determinat în întregime de condițiile inițiale, fără intervenția altor elemente aleatorii. Cu alte cuvinte, natura deterministă a acestor sisteme nu le face predictibile. Acest comportament este cunoscut sub denumirea de “haos determinist”.

Comportamentul haotic a fost observat în laborator pe o varietate de sisteme care include circuite electrice, lasere, reacții chimice oscilante, dinamica fluidelor și aparate magneto-mecanice și mecanice, dar și în simulări virtuale ale proceselor haotice. Una dintre aplicațiile cele mai de succes a teoriei haosului este în ecologie, unde sistemele dinamice de genul modelului lui Ricker au fost folosite pentru a arata cum creșterea populației în raport cu suprafața ocupată duce la o dinamica haotică.

Istoric[modificare | modificare sursă]

Fenomene[modificare | modificare sursă]

Sistemele complexe sunt sistemele care conțin atât de multe elemente în mișcare încât e nevoie de un calculator care să calculeze toate posibilitățile de interacțiune. Acesta e motivul pentru care Teoria Haosului nu avea cum sa apara inainte de sfârșitul secolului al XX-lea. Mai există un alt motiv pentru care aceasta teorie a aparut atât de recent, acel motiv e Revoluția Mecanicii Cuantice și felul în care a terminat Era Deterministă.

Până la apariția mecanicii cuantice, oamenii credeau că fenomenele sunt cauzate de alte fenomene și că tot ce se duce în sus trebuie să vină în jos, și numai prin descoperirea și etichetarea fiecărei particule din Univers am putea să cunoaștem tot ce urma să se întâmple. Sisteme întregi de gândire au fost bazate pe aceasta idee și din nefericire încă sunt.

Atunci când Sigmund Freud a inventat psihanaliza, el a pornit de la ideea ca problemele mentale sunt rezultatul unor traume din trecut. Regresia permitea pacientului să își străbată amintirile, să găsească și să înfrunte problema. Toata această idee se baza pe o cauză și un efect liniar.

Teoria Haosului ne arată că natura lucrează după anumite tipare care sunt suma mai multor impulsuri mărunte.

În 1960, Edward Lorentz a creat un model meteorologic pe unul din calculatoarele Universității din Massachusetts. Modelul meteorologic al lui Lorentz era compus dintr-o serie larga de formule complexe. Colegii și studenții au rămas uimiți în fața modelului, deoarece acesta nu parea să repete nici o secvență, era cât se poate de asemănător cu vremea reală. Unii oameni chiar au sperat că dacă vor fi introduse niște date meteorologice, care să fie în concordanță cu vremea de afară, modelul s-ar transforma într-un adevărat profet.

Într-o zi, Lorentz a schimbat modul de lucru al modelului. A lăsat programul să ruleze anumiți parametri în baza cărora să genereze un anumit tipar meteorologic pentru a putea să observe mai bine finalitatea procesului. Dar în loc să lase programul să ruleze cu setările inițiale și să calculeze rezultatul, Lorentz a decis să oprească și apoi să pornească programul de la jumătatea secventei de rulare prin introducerea valorilor pe care programul le calculase mai devreme si l-e tipărise. Dar imprimanta putea să tipărească doar ultimele 3 zecimale. Deci în loc să introducă exact aceleași numere cu 6 zecimale calculate de masina (care tineau loc de vant, soare, etc.), Lorentz a introdus numere cu doar 3 zecimale. Această inexactitate aparent minoră a fost amplificată și a dat peste cap întreg sistemul. Această exactitate este foarte importantă. Vremea reprezintă comportamentul tuturor moleculelor care formeaza atmosfera. Principiul Incertitudinii ne impiedică să localizăm cu exactitate o particulă, acesta este motivul pentru care previziunile meteorologice nu sunt valabile mai mult de 2-3 zile, și totodată acesta e motivul pentru care ele sunt simple aproximari ale situației din acel moment. Prin prisma ideilor convenționale ale acelei vremi, Lorenz nu făcuse nimic gresit. El ar fi trebuit să obțină un rezultat destul de asemănător cu cel precedent. Un cercetător se poate considera norocos dacă măsurătorile sale au o acuratețe de 3 zecimale. Și e evident că cea de a 5-a si cea de 6-a zecimala sunt imposibil de măsurat prin metode rezonabile și totodată că aceste valori atât de mici nu au cum să influențeze rezultatul experimentului. Lorentz a demonstrat că această idee e greșită.

Efectul Fluture[modificare | modificare sursă]

Acest efect se mai numește și “efectul fluture” și se referă la diferența dintre punctele de pornire ale celor două curbe din grafic care e atât de mică încât poate fi comparată cu bătaia aripilor unui fluture.

"Mișcarea aripilor unui fluture azi poate produce o mică schimbare a atmosferei. Din această cauză și de-a lungul unei anumite perioade de timp, atmosferă se va schimba. Peste o luna poate, o tornadă care trebuia să lovească coasta Indoneziei nu va mai apărea. Sau din contră, tocmai din această cauză va apărea."

Acest fenomen este cunoscut mai ales pentru dependența sa de condițiile initiale. Cea mai mică schimbare a condițiilor inițiale duce la rezultate complet diferite. Această schimbare poate proveni de la zgomot experimental sau de fond, lipsa de acuratete a instrumentelor, etc. Acest gen de probleme sunt imposibil de evitat, chiar și în cel mai performat și dotat laborator existent. Dacă folosim ca bază a experimentului numărul 2, rezultatul va fi complet diferit față de experimentul în care folosim 2.0000001. Un asemenea nivel de acuratețe e imposibil – încercați să măsurați 0.0000001 cm.

Un exemplu de sistem complet dependent de condițiile inițiale e aruncarea unei monede. Exista două variabile în aruncarea unei monede: cât de repede lovește pământul și cât de repede se rotește. Teoretic, este posibil să controlam aceste variabile, astfel reușind să stabilim ce față va cădea in sus. Practic, e imposibil de controlat în mod exact viteza de rotație a monedei și înălțimea la care e aruncată. Este posibil să stabilim o medie ai acestor parametri, dar e imposibil ca în baza lor să facem estimari exacte asupra rezultatului final. Această problemă poate fi regăsită în biologie la estimarea populațiilor biologice. Ecuația ar fi simplă dacă acele populații doar ar crește, dar efectul prădătorilor și a rezervei limitate de hrană schimbă totul.

Exemple de sisteme haotice[modificare | modificare sursă]

Cele mai multe fenomene, procese din natură, au la bază transformări neliniare: Principalele aspecte ale Teoriei Haosului sunt:

  • cea mai mică schimbare a parametrilor initiali vor produce un comportament complet diferit al acelui sistem complex.
  • principiul incertitudinii neagă acuratețea. De aceea situația inițială a unui sistem complex nu poate fi determinată cu precizie, prin urmare nici evoluția unui sistem complex.
  • sistemele complexe, de obicei, incearca sa ajungă într-o anumita situație. Acea situație poate fi statică (Atractor) sau dinamică (Atractor Straniu).

Curba lui Koch[modificare | modificare sursă]

Un alt matematician, Helge von Koch, a creat o construcție matematică numită Curba lui Koch. Pentru a crea curba lui Koch, imaginați-vă un triunghi echilateral. Adăugați pe fiecare latură un alt triunghi echilateral și continuați să adaugati pe fiecare din laturile triunghiurilor un alt triunghi echilateral, ceea ce rezultă e o curbă Koch. Orice parte a ei, marita, arata exact ca originalul. Aceasta e o figură autosimilară. Curba lui Koch prezinta un paradox interesant. De fiecare dată când un nou triunghi este adaugat la figura centrală, lungimea liniei crește. Dar aria interioară a curbei lui Koch rămâne mai mică decât aria unui cerc desenat in jurul triunghiului original. În esență, este o linie de o lungime infinita ce inconjoara o zona finita.

Fractalii[modificare | modificare sursă]

Pentru a putea depăși aceasta dificultate, matematicienii au inventat dimensiunile fractale. Cuvântul fractal provine din cuvântul fracțional. Un fractal este “o figură geometrică fragmentată sau franta care poate fi divizata in parti, astfel încât fiecare dintre acestea sa fie (cel putin aproximativ) o copie miniaturala a întregului”. Dimensiunea fractală a curbei lui Koch e de 1.26. O dimensiune fractionala e imposibil de perceput, dar are sens. În comparatie cu o simpla linie sau curba, care au o singura dimensiune, curba Koch e brută și încrețită. De aceea ea ocupă spațiu mai ușor, dar nu il poate umple asemenea unui pătrat cu doua dimensiuni, deoarece nu are arie. Prin urmare dimensiunea curbei Koch e undeva între cele doua. Termenul de fractal a ajuns să descrie orice imagine care prezintă atributul de auto-similaritate.

Mai târziu, un cercetător pe nume Feigenbaum studia bifurcațiile unei diagrame și încercă să isi dea seama cat de repede apar acele bifurcatii. A reusit să își de-a seama că au au o viteză de apariție constanta. El a calculat-o la 4.669. cu alte cuvinte, a descoperit scara la care diagrama devenea auto-similara. Dacă se micsora diagrama de 4.669 ori, ea ar fi arătat că una din regiunile bifurcației. A decis să studieze si celelalte ecuații căutând un factor de scalare a lor. Spre surpriza sa, factorul de scalare era același. Nu numai ca această ecuație complicată dădea dovada de regularitate, dar regularitatea era identică cu cea a unei ecuații mult mai simple. Aceasta era o descoperire revoluționară. El a descoperit că o întreagă clasă de funcții matematice se comportau în acelasi fel. Aceasta universalitate putea să îi ajute pe alți cercetători care studiau ecuațiile haotice. Universalitatea oferise cercetătorilor unealtă necesara pentru a studia sistemele haotice. Acum ei puteau utiliza o simplă ecuație pentru a afla rezultatul unei ecuații mai complexe. Structurile fractale au fost observate și în alte locuri în afara minții unui matematician. Vasele de sânge care se ramnifică, ramurile unui copac, structura interna a plămânilor, graficele dela bursă, etc. Toate acestea au un singur lucru în comun: auto-similaritatea.

  • Vremea
  • Pendulul dublu
  • Pendulul magnetic
  • Problema celor trei corpuri
  • Ritmul cardiac
  • Turbulența, în mecanica fluidelor
  • Reacția Belusov-Jabotinski în chimie
  • Dinamica populației, mai ales în cazul speciilor sălbatice, asimilabile modelului "pradă - prădător"
  • transformarea "dublare - înjumătățire" în cazul sistemelor discrete
  • Cursul bursier

Note[modificare | modificare sursă]

Este vorba despre reacția "Belousov-Zhabotinsky"

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Codreanu, Steliana, Introducere în teoria haosului determinist, Cluj-Napoca: Casa Cărții de Știință, 2007, 281 p.-ISBN(13) 978-973-133-008-2. pp.266-281.

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]

Commons
Wikimedia Commons conține materiale multimedia legate de Teoria haosului