Marele dodecaedru trunchiat

Descriere
Marele dodecaedru trunchiat

(model 3D)
Tip	poliedru uniform neconvex
Fețe	24 (12 pentagrame, 12 decagoane)
Laturi (muchii)	90
Vârfuri	60
χ	−6
Configurația vârfului	10.10.5/2^[1]
Simbol Wythoff	2 5/2 \| 5^[1] sau 2 5/3 \| 5
Simbol Schläfli	t{5,5/2}
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	I_h, [5,3], (*532) ^[1]
Volum	≈32,198 $a$ ³ ( $a$ = latura)
Poliedru dual	micul dodecaedru stelapentakis
Proprietăți	uniform, neconvex
Figura vârfului

În geometrie marele dodecaedru trunchiat este un poliedru stelat uniform, cu indicele U₃₇. Are 24 de fețe (12 pentagrame și 12 decagoane), 90 de laturi și 60 de vârfuri.^[1] Având 24 de fețe este un icositetraedru neconvex. Un poliedru neconvex are fețe care se intersectează care nu reprezintă laturi sau fețe noi. Doar cele marcate cu sfere aurii sunt vârfuri, iar cele cu linii argintii sunt laturi.

Are simbolul Wythoff 2 5/2 | 5^[1] și simbolul Schläfli t{5,5/2}. Este reprezentat prin diagramele Coxeter–Dynkin .

Mărimi asociate[modificare | modificare sursă]

Coordonate carteziene[modificare | modificare sursă]

Are același aranjament al vârfurilor cu un icosaedru trunchiat neuniform, coordonatele carteziene ale vârfurilor sale având lungimea laturii 2 și centrat în origine sunt toate permutările ale^[2]^[3]

\left(\,\pm (\varphi -1),\,\pm (\varphi +1),\,\pm (\varphi +1)\,\right).

precum și toate permutările pare ale

\left(\,0,\,\pm 1,\,\pm (\varphi +2)\,\right).

\left(\,\pm 1,\,\pm {\frac {\varphi }{2}},\,\pm \varphi \,\right).

unde $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ este secțiunea de aur.

Raza circumscrisă[modificare | modificare sursă]

Raza circumscrisă în funcție de lungimea laturilor $a$ este:^[4]

R={\frac {1}{4}}{\sqrt {34+10{\sqrt {5}}}}\,a\approx 1,876844\,a.

Volum[modificare | modificare sursă]

Următoarea formulă pentru volum $V$ este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) $a$ :

V={\frac {11}{4}}\left(5+3{\sqrt {5}}\right)\,a^{3}\approx 32,197561\,a^{3}.

Poliedre înrudite[modificare | modificare sursă]

Are în comun aranjamentul vârfurilor cu alte trei poliedre uniforme: marele rombicosidodecaedru neconvex, marele dodecicosidodecaedru și marele rombidodecaedru, precum și cu doi compuși uniformi, compusul de șase prisme pentagonale, respectiv compusul de douăsprezece prisme pentagonale.

Marele rombicosidodecaedru neconvex	Marele dodecicosidodecaedru	Marele rombidodecaedru
Marele dodecaedru trunchiat	Compus de șase prisme pentagonale	Compus de douăsprezece prisme pentagonale

Acest poliedru este o trunchiere a marelui dodecaedru:

Trunchierea micului dodecaedru stelat arată ca un dodecaedru la suprafață, dar are 24 de fețe, 12 pentagoane de la vârfurile trunchiate și 12 suprapuse (ca pentagrame trunchiate).

Nume	Micul dodecaedru stelat	Micul dodecaedru stelat trunchiat	Dodeca- dodecaedru	Marele dodecaedru trunchiat	Marele dodecaedru
Diagramă Coxeter-Dynkin
Imagine

Poliedru dual[modificare | modificare sursă]

Dualul său este micul dodecaedru stelapentakis.^[5]

Note[modificare | modificare sursă]

^ ^a ^b ^c ^d ^e en Maeder, Roman. „37: truncated great dodecahedron”. MathConsult. Accesat în 29 decembrie 2023.
^ en Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes (third edition), Dover Publications Inc, 1973 ISBN: 0-486-61480-8, Coordinates for the vertices of the regular and quasi-regular solids
^ en Eric W. Weisstein, Icosahedral group la MathWorld.
^ en Eric W. Weisstein, Truncated great dodecahedron la MathWorld.
^ en Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Lista poliedrelor uniforme

Legături externe[modificare | modificare sursă]

en Uniform polyhedra and duals

Portal Matematică

en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”. Cheie: tigid

[mc-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e en Maeder, Roman. „37: truncated great dodecahedron”. MathConsult. Accesat în 29 decembrie 2023.

[2] Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes (third edition), Dover Publications Inc, 1973 ISBN: 0-486-61480-8, Coordinates for the vertices of the regular and quasi-regular solids

[3] Eric W. Weisstein, Icosahedral group la MathWorld.

[4] Eric W. Weisstein, Truncated great dodecahedron la MathWorld.

[5] Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

v d m Poliedre neconvexe
Poliedre Kepler–Poinsot	micul dodecaedru stelat marele dodecaedru marele dodecaedru stelat marele icosaedru
Trunchieri uniforme ale poliedrelor Kepler–Poinsot	dodecadodecaedru marele dodecaedru trunchiat rombidodecadodecaedru dodecadodecaedru trunchiat dodecadodecaedru snub marele icosidodecaedru marele icosaedru trunchiat marele rombicosidodecaedru neconvex marele icosidodecaedru trunchiat
hemipoliedre uniforme neconvexe	tetrahemihexaedru cubohemioctaedru octahemioctaedru micul dodecahemidodecaedru micul icosihemidodecaedru marele dodecahemidodecaedru marele icosihemidodecaedru marele dodecahemicosaedru micul dodecahemicosaedru
Duale ale poliedrelor uniforme neconvexe	triacontaedru rombic medial micul dodecaedru stelapentakis hexacontaedru romboidal medial hexacontaedru pentagonal medial triacontaedru disdiakis medial marele triacontaedru rombic marele dodecaedru stelapentakis marele hexacontaedru romboidal marele triacontaedru disdyakis marele hexacontaedru pentagonal