Marele rombicosidodecaedru neconvex

Descriere
Marele rombicosidodecaedru neconvex

(model 3D)
Tip	poliedru uniform neconvex
Fețe	62 (20 triunghiuri, 30 pătrate 12 pentagrame)
Laturi (muchii)	120
Vârfuri	60
χ	2
Configurația vârfului	3.4.5/3.4^[1]
Simbol Wythoff	5/3 3 \| 2^[1] sau 5/2 3/2 \| 2
Simbol Schläfli	rr{5/3,3}
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	I_h, [5,3], (*532) ^[1]
Volum	≈4,658 $a$ ³ ( $a$ = latura)
Poliedru dual	marele hexacontaedru romboidal
Proprietăți	uniform, neconvex
Figura vârfului

În geometrie marele rombicosidodecaedru neconvex este un poliedru stelat uniform, cu indicele U₆₇. Are 62 de fețe (20 de triunghiuri, 30 de pătrate și 12 pentagrame), 120 de laturi și 60 de vârfuri.^[1] Având 62 de fețe este un hexecontadiedru neconvex. Un poliedru neconvex are fețe care se intersectează care nu reprezintă muchii sau fețe noi. Doar cele marcate cu sfere aurii sunt vârfuri, iar cele cu linii argintii sunt laturi.

Este reprezentat prin diagrama Coxeter–Dynkin . Are simbolul Wythoff 5/3 3 | 2^[1]^[2] și simbolul Schläfli rr{5/3,3}. Figura vârfului este un patrulater autointersectat.

Mărimi asociate[modificare | modificare sursă]

Coordonate carteziene[modificare | modificare sursă]

Are același aranjament al vârfurilor cu și marele dodecicosidodecaedru, coordonatele carteziene ale vârfurilor sale având lungimea laturii 2 și centrat în origine sunt toate permutările pare ale^[3]^[4]

\left(\,\pm (2\varphi -3),\,\pm 1,\,\pm 1\,\right).

precum și toate permutările pare ale

\left(\,0,\,\pm (2-\varphi ),\,\pm (3-\varphi )\,\right).

\left(\,\pm (\varphi -1),\,\pm 2(\varphi -1),\,\pm (2-\varphi )\,\right).

unde $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ este secțiunea de aur.

Raza circumscrisă[modificare | modificare sursă]

Raza circumscrisă în funcție de lungimea laturilor $a$ este aceeași cu a marelui rombidodecaedru:^[5]^[6]

R={\frac {1}{2}}{\sqrt {11-4{\sqrt {5}}}}\,a\approx 0,716891\,a.

Volum[modificare | modificare sursă]

Următoarea formulă pentru volum $V$ este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) $a$ :

V={\frac {2}{3}}\left(45-17{\sqrt {5}}\right)\,a^{3}\approx 4,657896\,a^{3}.

Poliedre înrudite[modificare | modificare sursă]

Are în comun aranjamentul vârfurilor cu marele dodecaedru trunchiat și cu doi compuși uniformi, compusul de șase prisme pentagonale, respectiv compusul de douăsprezece prisme pentagonale. În plus, are în comun aranjamentul laturilor cu marele dodecicosidodecaedru (având în comun fețele triunghiulare și pentagramice) și cu marele rombidodecaedru (având în comun fețele pătrate).

Marele rombicosidodecaedru neconvex	Marele dodecicosidodecaedru	Marele rombicosidodecaedru
Marele dodecaedru trunchiat	Compus de șase prisme pentagonale	Compus de douăsprezece prisme pentagonale

Poliedru dual[modificare | modificare sursă]

Dualul său este marele hexacontaedru romboidal.^[7]

Note[modificare | modificare sursă]

^ ^a ^b ^c ^d ^e en Maeder, Roman. „67: great rhombicosidodecahedron”. MathConsult. Accesat în 15 ianuarie 2024.
^ en Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9. p. 9–10
^ en Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes (third edition), Dover Publications Inc, 1973 ISBN: 0-486-61480-8, Coordinates for the vertices of the regular and quasi-regular solids
^ en Eric W. Weisstein, Icosahedral group la MathWorld.
^ en Eric W. Weisstein, Great rhombidodecahedron la MathWorld.
^ en Eric W. Weisstein, Quasirhombicosidodecahedron la MathWorld.
^ en Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Lista poliedrelor uniforme

Legături externe[modificare | modificare sursă]

en Uniform polyhedra and duals

Portal Matematică

en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”. Cheie: qrid

[mc-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e en Maeder, Roman. „67: great rhombicosidodecahedron”. MathConsult. Accesat în 15 ianuarie 2024.

[W-2] Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9. p. 9–10

[3] Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes (third edition), Dover Publications Inc, 1973 ISBN: 0-486-61480-8, Coordinates for the vertices of the regular and quasi-regular solids

[4] Eric W. Weisstein, Icosahedral group la MathWorld.

[5] Eric W. Weisstein, Great rhombidodecahedron la MathWorld.

[6] Eric W. Weisstein, Quasirhombicosidodecahedron la MathWorld.

[7] Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

v d m Poliedre neconvexe
Poliedre Kepler–Poinsot	micul dodecaedru stelat marele dodecaedru marele dodecaedru stelat marele icosaedru
Trunchieri uniforme ale poliedrelor Kepler–Poinsot	dodecadodecaedru marele dodecaedru trunchiat rombidodecadodecaedru dodecadodecaedru trunchiat dodecadodecaedru snub marele icosidodecaedru marele icosaedru trunchiat marele rombicosidodecaedru neconvex marele icosidodecaedru trunchiat
hemipoliedre uniforme neconvexe	tetrahemihexaedru cubohemioctaedru octahemioctaedru micul dodecahemidodecaedru micul icosihemidodecaedru marele dodecahemidodecaedru marele icosihemidodecaedru marele dodecahemicosaedru micul dodecahemicosaedru
Duale ale poliedrelor uniforme neconvexe	triacontaedru rombic medial micul dodecaedru stelapentakis hexacontaedru romboidal medial hexacontaedru pentagonal medial triacontaedru disdiakis medial marele triacontaedru rombic marele dodecaedru stelapentakis marele hexacontaedru romboidal marele triacontaedru disdyakis marele hexacontaedru pentagonal