Notația Coxeter

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare
Domeniile fundamentale ale grupurilor punctuale de reflexie tridimensională
CDel node.png, [ ]=[1]
C1v
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png, [2]
C2v
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png, [3]
C3v
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png, [4]
C4v
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png, [5]
C5v
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png, [6]
C6v
Spherical digonal hosohedron.png
Ordin 2
Spherical square hosohedron.png
Ordin 4
Spherical hexagonal hosohedron.png
Ordin 6
Spherical octagonal hosohedron.png
Ordin 8
Spherical decagonal hosohedron.png
Ordin 10
Spherical dodecagonal hosohedron.png
Ordin 12
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]=[2,1]
D1h
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2,2]
D2h
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[2,3]
D3h
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
[2,4]
D4h
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
[2,5]
D5h
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
[2,6]
D6h
Spherical digonal bipyramid.svg
Ordin 4
Spherical square bipyramid.svg
Ordin 8
Spherical hexagonal bipyramid.png
Ordin 12
Spherical octagonal bipyramid.png
Ordin 16
Spherical decagonal bipyramid.png
Ordin 20
Spherical dodecagonal bipyramid.png
Ordin 24
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png, [3,3], Td CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png, [4,3], Oh CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png, [5,3], Ih
Spherical tetrakis hexahedron-3edge-color.png
Ordin 24
Spherical disdyakis dodecahedron-3and1-color.png
Ordin 48
Spherical compound of five octahedra.png
Ordin 120
Notația Coxeter prezintă grupurile Coxeter ca o listă ordonată de ramuri ale unei diagrame Coxeter, cum ar fi grupurile poliedrice, CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png = [p,q]. Grupurile diedrale, CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel n.pngCDel node.png, pot fi exprimate printr-un produs [ ]×[n] sau printr-un singur simbol cu o ramură explicită de ordinul 2, [2,n].

În geometrie notația Coxeter (sau simbol Coxeter) este un sistem de clasificare al grupurilor de simetrie, care descrie unghiurile dintre reflexiile fundamentale ale unui grup Coxeter într-o notație între paranteze care exprimă structura unei diagrame Coxeter–Dynkin, cu modificatori pentru a indica anumite subgrupuri. Notația este numită după H.S.M. Coxeter și a fost definită mai cuprinzător de Norman Johnson.

Grupuri de reflexie[modificare | modificare sursă]

La grupurile Coxeter, definite prin reflexii pure, există o corespondență directă între notația cu paranteze și diagrama Coxeter–Dynkin. Numerele din notația cu paranteze drepte reprezintă ordinea reflexiilor în oglindă în ramurile diagramei Coxeter. Folosește aceeași simplificare, suprimând 2s între planele de oglindire ortogonale.

Notația Coxeter este simplificată prin exponenți care reprezentă numărul de ramuri într-un rând pentru diagrama liniară.Grupul An este reprezentat de [3n−1], pentru a descrie n noduri conectate prin n−1 ramuri de ordinul 3. Exemplul A2 = [3,3] = [32], respectiv [31,1] reprezintă diagramele CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png, respectiv CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png.

Inițial Coxeter a reprezentat diagramele bifurcate prin poziționarea verticală a numerelor, dar ulterior notația a fost abreviată la una cu exponenți, cum ar fi [...,3p,q] sau [3p,q,r], începând cu [31,1,1] sau [3,31,1] = CDel node.pngCDel splitsplit1.pngCDel branch3.pngCDel node.png sau CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png pentru D4. Coxeter admite zerourile drept cazuri particulare pentru a se potrivi cu familia An, de exemplu A3 = [3,3,3,3] = [34,0,0] = [34,0] = [33,1] = [32,2], drept CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png = CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.png.

Grupurile Coxeter formate din diagrame ciclice sunt reprezentate prin paranteze rotunde între parantezele drepte, cum ar fi [(p,q,r)] = CDel pqr.png pentru grupul triunghiului⁠(d) (p q r). Dacă ordinele ramurilor sunt egale, ele pot fi grupate printr-un exponent între paranteze drepte, care indică lungimea ciclului, de exemplu [(3,3,3,3)] = [3[4]], reprezentând diagramele Coxeter CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png sau CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png. CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png poate fi reprezentată prin [3,(3,3,3)] sau [3,3[3]].

Diagramele în buclă mai complicate pot fi și ele exprimate, dar cu grijă. Grupul Coxeter paracompact CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.pngCDel split2.pngCDel node.png poate fi reprezentat prin notația Coxeter [(3,3,(3),3,3)], cu paranteze imbricate, având două bucle [(3,3,3)] adiacente și care poate fi reprezentat mai compact prin [3[ ]×[ ]], reprezentând simetria rombică a diagramei Coxeter. Graful complet al diagramei paracompacte CDel tet.png sau CDel branch.pngCDel splitcross.pngCDel branch.png este reprezentat ca [3[3,3]] cu exponentul [3,3] pentru simetria diagramei sale Coxeter a tetraedrului regulat.

De obicei în diagrama Coxeter ramurile de ordinul 2 nu sunt trasate, dar notația cu paranteze are un 2 explicit pentru a conecta subgrafurile. Deci diagrama Coxeter CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = A2×A2 = 2A2 poate fi reprezentat prin [3]×[3] = [3]2 = [3,2,3]. Uneori ramurile explicite de ordinul 2 pot fi descrise fie cu o etichetă 2, fie cu o linie cu un interval: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png sau CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel 2c.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png, ca o prezentare identică cu [3,2,3].

Grpuri finite
Rang Simbolul
grupului
Notația cu
paranteze
 Diagramă 
Coxeter
2 A2 [3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
2 B2 [4] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
2 H2 [5] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
2 G2 [6] CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
2 I2(p) [p] CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png
3 Ih, H3 [5,3] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3 Td, A3 [3,3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3 Oh, B3 [4,3] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4 A4 [3,3,3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4 B4 [4,3,3] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4 D4 [31,1,1] CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4 F4 [3,4,3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4 H4 [5,3,3] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
n An [3n−1] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png..CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
n Bn [4,3n−2] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
n Dn [3n−3,1,1] CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
6 E6 [32,2,1] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
7 E7 [33,2,1] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
8 E8 [34,2,1] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
Grupuri afine
Simbolul
grupului
Notația cu
paranteze
   Diagramă   
Coxeter
[∞] CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
[3[3]] CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png
[4,4] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
[6,3] CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3[4]] CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
[4,31,1] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
[4,3,4] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
[3[5]] CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
[4,3,31,1] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
[4,3,3,4] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
[ 31,1,1,1] CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
[3,4,3,3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3[n+1]]       CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.png...CDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
sau CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.png...CDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
[4,3n−3,31,1] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
[4,3n−2,4] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
[ 31,1,3n−4,31,1] CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
[32,2,2] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branchbranch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
[33,3,1] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
[35,2,1] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
Grupuri hiperbolice
Simbolul
grupului
Notația cu
paranteze
Diagramă
Coxeter
[p,q]   cu
2(p + q) < pq
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png
[(p,q,r)]   cu
CDel pqr.png
[4,3,5] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
[5,3,5] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
[3,5,3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[5,31,1] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
[(3,3,3,4)] CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png 
[(3,3,3,5)] CDel label5.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png 
[(3,4,3,4)] CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label4.png
[(3,4,3,5)] CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label5.png
[(3,5,3,5)] CDel label5.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label5.png
[3,3,3,5] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
[4,3,3,5] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
[5,3,3,5] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
[5,3,31,1] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
[(3,3,3,3,4)] CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png

Pentru grupurile afine și hiperbolice, indicele este cu unul mai mic decât numărul de noduri în fiecare caz, deoarece fiecare dintre aceste grupuri a fost obținut prin adăugarea unui nod la diagrama unui grup finit.

Există numeroase extensii ale notației Coxeter, folosite pentru subgrupuri.

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • en Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, editied by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN: 978-0-471-01003-6 [1]
  • (Paper 22) Coxeter, H.S.M. (), „Regular and Semi Regular Polytopes I”, Math. Z., 46: 380–407, doi:10.1007/bf01181449 
  • (Paper 23) Coxeter, H.S.M. (), „Regular and Semi-Regular Polytopes II”, Math. Z., 188 (4): 559–591, doi:10.1007/bf01161657 
  • (Paper 24) Coxeter, H.S.M. (), „Regular and Semi-Regular Polytopes III”, Math. Z., 200: 3–45, doi:10.1007/bf01161745 
  • en Coxeter, H.S.M.; Moser, W.O.J. (). Generators and Relations for Discrete Groups. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9. 
  • en Norman Johnson Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
  • en Norman Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. (1966)