Trapezoedru tetragonal

Descriere
Trapezoedru tetragonal

Tip	trapezoedru
Fețe	8 romboizi
Laturi (muchii)	16
Vârfuri	10
χ	2
Configurația feței	V4.3.3.3
Simbol Schläfli	{ } ⨁ {4}^[1]
Simbol Conway	dA4^[2]
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	D_4d, [2⁺,8], (2*4), ordin 16
Grup de rotație	D₄, [2,4]⁺, (224), ordin 8
Volum	≈ 3,590 a³ (a = latura mică)
Poliedru dual	antiprismă pătrată
Proprietăți	convex, cu fețe romboidale, tranzitiv pe fețe

În geometrie un trapezoedru tetragonal este un romboedru (un poliedru tridimensional cu fețe în formă de romboizi) în care, în plus, toate fețele sunt congruente. Având opt fețe, este un octaedru neregulat. Este tranzitiv pe fețe.

Este al doilea dintr-o serie infinită de trapezoedre, care sunt dualele antiprismelor, fiind dualul antiprismei pătrate. Ca urmare, poate fi descris prin simbolul Conway dA4. ^[2]

La generarea rețelelor[modificare | modificare sursă]

La simulări tridimensionale prin metoda elementelor finite^⁠(d), pornind de la forma dată a domeniului modelat este mai simplu de discretizat domeniul^⁠(d) cu tetraedre, dar o rețea cu hexaedre este preferabilă. Algoritmii de transformare a rețelei obținute sunt testați cu forme standard. Forma de trapezoedru tetragonal este cea folosită,^[3]^[4]^[5]^[6]^[7] simplificând un caz de testare anterior propus de matematicianul Robert Schneiders sub forma unei piramide pătrate cu frontiera sa subdivizată în 16 patrulatere. În acest context trapezoedrul tetragonal a fost numit și octaedru cubic,^[5] octaedru cvadrilateral,^[6] sau ax octogonal,^[7] deoarece are opt fețe patrulatere și este definit în mod unic drept poliedru combinatoric prin această proprietate.^[5] Adăugarea la octaedrul cubic a patru cuboizi ar da și o rețea pentru piramida lui Schneiders.^[4] Ca poliedru simplu conex cu un număr par de fețe patrulatere, octaedrul cubic poate fi descompus în cuboizi topologici cu fețe curbe care se întâlnesc față la față fără a subdiviza patrulaterele care le mărginesc,^[3]^[7]^[8] iar astfel se poate construi o rețea explicită de acest tip.^[6] Totuși, nu este clar dacă se poate obține o descompunere de acest tip în care toți cuboizii sunt poliedre convexe cu fețe plane.^[3]^[7]

Mărimi asociate[modificare | modificare sursă]

Unghi diedru[modificare | modificare sursă]

Unghiul diedru al unui trapezoedru tetragonal cu toate unghiurile diedre egale este:^[9]

\delta =\arccos \left(-{\frac {1}{7}}(2{\sqrt {2}}-1)\right)\,\approx 105,141508^{\circ }

Dacă $z$ este latura poliedrului dual (antiprisma pătrată), atunci mărimile asociate sunt date de relațiile următoare:

Lungimile laturilor[modificare | modificare sursă]

Latura scurtă, $a$ , are lungimea:^[9]^[10]

a={\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}\,z\approx 0,643594\,z.

Latura lungă, $b$ ₂, are lungimea:^[9]^[10]

b={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(1+{\sqrt {2}})}}\,z\approx 1,098684\,z.

Volum[modificare | modificare sursă]

Volumul este:^[9]^[10]

V={\frac {1}{3}}{\left(4+3{\sqrt {2}}\right)}\,z^{3}\approx 0,957000\,z^{3}=3,589843\,a^{3}.

Poliedre înrudite[modificare | modificare sursă]

Dual: antiprismă pătrată

Trapezoedru sferic

Poliedru dual[modificare | modificare sursă]

Dualul trapezoedrului tetragonal este antiprisma pătrată.

Pavare sferică[modificare | modificare sursă]

Trapezoedrul hexagonal există și ca pavare sferică, cu 2 vârfuri la poli și vârfuri alternante la distanță egală deasupra și sub ecuator.

Poliedre sferice diedrice hexagonale uniforme v • d • m
Simetrie: [6,2], (*622)							[6,2]⁺, (622)	[6,2⁺], (2*3)


{6,2}	t{6,2}	r{6,2}	t{2,6}	{2,6}	rr{6,2}	tr{6,2}	sr{6,2}	s{2,6}
Dualele celor de mai sus

V6²	V12²	V6²	V4.4.6	V2⁶	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

Familia trapezoedrelor n-gonale
Nume trapezoedru	Trapezoedru digonal (tetraedru)	Trapezoedru trigonal	Trapezoedru tetragonal	Trapezoedru pentagonal	Trapezoedru hexagonal	Trapezoedru heptagonal	Trapezoedru octogonal	Trapezoedru decagonal	Trapezoedru dodecagonal	...	Trapezoedru apeirogonal
Imagine										...
Pavare sferică										Pavare plană
Configurația feței	V2.3.3.3	V3.3.3.3	V4.3.3.3	V5.3.3.3	V6.3.3.3	V7.3.3.3	V8.3.3.3	V10.3.3.3	V12.3.3.3	...	V∞.3.3.3

Trapezoedrul tetragonal este primul dintr-o serie de poliedre duale snub și pavări cu configurația feței V3.3.4.3.n.

Variante de pavări snub cu simetrie 4n2: 3.3.4.3.n
Simetrie 4n2	Sferică		Euclidiană	Hiperbolice compacte				Paracomp.
Simetrie 4n2	242	342	442	542	642	742	842	∞42
Figuri snub
Config.	3.3.4.3.2	3.3.4.3.3	3.3.4.3.4	3.3.4.3.5	3.3.4.3.6	3.3.4.3.7	3.3.4.3.8	3.3.4.3.∞
Figuri giro
Config.	V3.3.4.3.2	V3.3.4.3.3	V3.3.4.3.4	V3.3.4.3.5	V3.3.4.3.6	V3.3.4.3.7	V3.3.4.3.8	V3.3.4.3.∞

În artă[modificare | modificare sursă]

Un trapezoedru tetragonal apare în stânga sus ca una dintre „stelele” poliedrice în xilogravura Stele^⁠(d) a lui M.C. Escher din 1948.

Note[modificare | modificare sursă]

^ en Norman Johnson, Geometries and Transformations, (2018) ISBN: 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.3 Pyramids, Prisms, and Antiprisms, Figure 11.3c
^ ^a ^b C100dA4, polyHédronisme v0.2.1, accesat 2024-04-14
^ ^a ^b ^c en Eppstein, David (1996), „Linear complexity hexahedral mesh generation”, Proceedings of the Twelfth Annual Symposium on Computational Geometry (SCG '96), New York, NY, USA: ACM, pp. 58–67, arXiv:cs/9809109 , doi:10.1145/237218.237237, MR 1677595 .
^ ^a ^b en Mitchell, S. A. (1999), „The all-hex geode-template for conforming a diced tetrahedral mesh to any diced hexahedral mesh”, Engineering with Computers, 15 (3): 228–235, doi:10.1007/s003660050018 .
^ ^a ^b ^c en Schwartz, Alexander; Ziegler, Günter M. (2004), „Construction techniques for cubical complexes, odd cubical 4-polytopes, and prescribed dual manifolds”, Experimental Mathematics, 13 (4): 385–413, CiteSeerX 10.1.1.408.1550 , doi:10.1080/10586458.2004.10504548, MR 2118264 .
^ ^a ^b ^c en Carbonera, Carlos D.; Shepherd, Jason F.; Shepherd, Jason F. (2006), „A constructive approach to constrained hexahedral mesh generation”, Proceedings of the 15th International Meshing Roundtable, Berlin: Springer, pp. 435–452, doi:10.1007/978-3-540-34958-7_25 .
^ ^a ^b ^c ^d en Erickson, Jeff (2013), „Efficiently hex-meshing things with topology”, Proceedings of the Twenty-Ninth Annual Symposium on Computational Geometry (SoCG '13) (PDF), New York, NY, USA: ACM, pp. 37–46, doi:10.1145/2462356.2462403, arhivat din original (PDF) la 10 august 2017, accesat în 21 iulie 2014 .
^ en Mitchell, Scott A. (1996), „A characterization of the quadrilateral meshes of a surface which admit a compatible hexahedral mesh of the enclosed volume”, STACS 96: 13th Annual Symposium on Theoretical Aspects of Computer Science Grenoble, France, February 22–24, 1996, Proceedings, Lecture Notes in Computer Science, 1046, Berlin: Springer, pp. 465–476, doi:10.1007/3-540-60922-9_38, ISBN 978-3-540-60922-3, MR 1462118 .
^ ^a ^b ^c ^d en David McCooey, Tetragonal Trapezohedron, dmccooey.com, accesat 2024-04-21
^ ^a ^b ^c en Trapezohedron Calculator, rechneronline.de, accesat 2024-04-21

Legături externe[modificare | modificare sursă]

Portal Matematică

en Paper model tetragonal (square) trapezohedron
en Eric W. Weisstein, Trapezohedron la MathWorld.

[1] Norman Johnson, Geometries and Transformations, (2018) ISBN: 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.3 Pyramids, Prisms, and Antiprisms, Figure 11.3c

[dA4-2] C100dA4, polyHédronisme v0.2.1, accesat 2024-04-14

[e96-3] Eppstein, David (1996), „Linear complexity hexahedral mesh generation”, Proceedings of the Twelfth Annual Symposium on Computational Geometry (SCG '96), New York, NY, USA: ACM, pp. 58–67, arXiv:cs/9809109 , doi:10.1145/237218.237237, MR 1677595 .

[m99-4] Mitchell, S. A. (1999), „The all-hex geode-template for conforming a diced tetrahedral mesh to any diced hexahedral mesh”, Engineering with Computers, 15 (3): 228–235, doi:10.1007/s003660050018 .

[sz04-5] Schwartz, Alexander; Ziegler, Günter M. (2004), „Construction techniques for cubical complexes, odd cubical 4-polytopes, and prescribed dual manifolds”, Experimental Mathematics, 13 (4): 385–413, CiteSeerX 10.1.1.408.1550 , doi:10.1080/10586458.2004.10504548, MR 2118264 .

[css06-6] Carbonera, Carlos D.; Shepherd, Jason F.; Shepherd, Jason F. (2006), „A constructive approach to constrained hexahedral mesh generation”, Proceedings of the 15th International Meshing Roundtable, Berlin: Springer, pp. 435–452, doi:10.1007/978-3-540-34958-7_25 .

[e13-7] Erickson, Jeff (2013), „Efficiently hex-meshing things with topology”, Proceedings of the Twenty-Ninth Annual Symposium on Computational Geometry (SoCG '13) (PDF), New York, NY, USA: ACM, pp. 37–46, doi:10.1145/2462356.2462403, arhivat din original (PDF) la 10 august 2017, accesat în 21 iulie 2014 .

[8] Mitchell, Scott A. (1996), „A characterization of the quadrilateral meshes of a surface which admit a compatible hexahedral mesh of the enclosed volume”, STACS 96: 13th Annual Symposium on Theoretical Aspects of Computer Science Grenoble, France, February 22–24, 1996, Proceedings, Lecture Notes in Computer Science, 1046, Berlin: Springer, pp. 465–476, doi:10.1007/3-540-60922-9_38, ISBN 978-3-540-60922-3, MR 1462118 .

[DMC-9] David McCooey, Tetragonal Trapezohedron, dmccooey.com, accesat 2024-04-21

[R-10] Trapezohedron Calculator, rechneronline.de, accesat 2024-04-21

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]