Trapezoedru hexagonal

Descriere
Trapezoedru hexagonal

Tip	trapezoedru
Fețe	12 romboizi
Laturi (muchii)	24
Vârfuri	14
χ	2
Configurația feței	V6.3.3.3
Simbol Schläfli	{ } ⨁ {6}^[1]
Simbol Conway	dA6^[2]
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	D_6d, [2⁺,12], (2*6), ordin 24
Grup de rotație	D₆, [2,6]⁺, (226), ordin 12
Volum	≈ 19,697 a³ (a = latura mică)
Poliedru dual	antiprismă hexagonală
Proprietăți	convex, cu fețe romboidale, tranzitiv pe fețe

În geometrie un trapezoedru hexagonal este un romboedru (un poliedru tridimensional cu fețe în formă de romboizi) în care, în plus, toate fețele sunt congruente. Având 12 fețe, este un dodecaedru neregulat. Este tranzitiv pe fețe și poate fi descris prin simbolul Conway dA6.^[2]

Este al patrulea dintr-o serie infinită de trapezoedre care sunt dualele antiprismelor, fiind dualul antiprismei hexagonale.

Simetrie[modificare | modificare sursă]

Grupul de simetrie al trapezoedrului hexagonal este D_6d de ordinul 24. grupul de rotație este D₆ de ordinul 12.

Variații[modificare | modificare sursă]

Un grad de libertate în simetria D₆ transformă romboizii în patrulatere congruente cu laturi de 3 lungimi diferite. La limită, o latură a fiecărui patrulater ajunge la lungimea zero, iar trapezoedrul devine o bipiramidă.

Aranjamentele cristaline ale atomilor se pot repeta în spațiu cu o configurație trapezoedrică hexagonală în jurul unui atom, care este întotdeauna enantiomorf,^[3] și cuprinde grupurile spațiale^⁠(d) 177–182.^[4] β-cuarțul este singurul mineral comun cu acest sistem cristalin.^[5]

Dacă romboizii care înconjoară cele două vârfuri sunt de forme diferite, acesta poate avea doar simetrie C_6v, de ordinul 12. Acestea pot fi numite trapezoedre inegale. Dualul este o antiprismă inegală, cu poligoanele de sus diferite de cele de jos. Dacă este răsucit și inegal, simetria sa se reduce la o simetrie ciclică, simetria C₆, de ordinul 6.

Exemple de variații
Tip	Trapezoedru răsucit (izoedric)	Trapezoedru inegal	Inegal și răsucit
Simetrie	D₆, (662), [6,2]⁺, ordin 12	C_6v, (*66), [6], ordin 12	C₆, (66), [6]⁺, ordin 6
Imagine (n = 6)
Desfășurată

Mărimi asociate[modificare | modificare sursă]

Unghi diedru[modificare | modificare sursă]

Unghiul diedru al unui trapezoedru hexagonal regulat cu toate unghiurile diedre egale este:^[6]

\arccos {\left(-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)}\,\approx 125,264390^{\circ }

Dacă $z$ este latura poliedrului dual (antiprisma hexagonală), atunci mărimile asociate sunt date de relațiile următoare:

Lungimile laturilor[modificare | modificare sursă]

Latura scurtă, $a$ , are lungimea:^[6]

a={\frac {1}{2}}{\sqrt {2\left({\sqrt {3}}-1\right)}}\,z\approx 0,605000\,z.

Latura lungă, $b$ , are lungimea:^[6]

b={\frac {1}{2}}{\sqrt {2\left(5+3{\sqrt {3}}\right)}}\,z\approx 2,257892\,z.

Volum[modificare | modificare sursă]

Volumul este:^[6]

{\frac {1}{2}}{\sqrt {2\left(19+11{\sqrt {3}}\right)}}\,z^{3}\approx 4,361912\,z^{3}\approx 19,697454,a^{3}.

Poliedre înrudite[modificare | modificare sursă]

Dual: antiprismă hexagonală

Trapezoedru sferic

Poliedru dual[modificare | modificare sursă]

Dualul trapezoedrului hexagonal este antiprisma hexagonală.

Pavare sferică[modificare | modificare sursă]

Trapezoedrul hexagonal există și ca pavare sferică, cu 2 vârfuri la poli și vârfuri alternante la distanță egală deasupra și sub ecuator.

Poliedre sferice diedrice hexagonale uniforme v • d • m
Simetrie: [6,2], (*622)							[6,2]⁺, (622)	[6,2⁺], (2*3)


{6,2}	t{6,2}	r{6,2}	t{2,6}	{2,6}	rr{6,2}	tr{6,2}	sr{6,2}	s{2,6}
Dualele celor de mai sus

V6²	V12²	V6²	V4.4.6	V2⁶	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

Note[modificare | modificare sursă]

^ en Norman Johnson, Geometries and Transformations, (2018) ISBN: 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.3 Pyramids, Prisms, and Antiprisms, Figure 11.3c
^ ^a ^b C100dA6, polyHédronisme v0.2.1, accesat 2024-04-17
^ en 3 2 and Hexagonal-trapezohedric Class, 6 2 2
^ en Hahn, Theo, ed. (2005). International tables for crystallography (ed. 5th). Dordrecht, Netherlands: Published for the International Union of Crystallography by Springer. ISBN 978-0-7923-6590-7.
^ en „Crystallography: The Hexagonal System”. www.mindat.org. Accesat în 6 ianuarie 2023.
^ ^a ^b ^c ^d en David McCooey, Hexagonal Trapezohedron, dmccooey.com, accesat 2024-04-21

Legături externe[modificare | modificare sursă]

Portal Matematică

en Eric W. Weisstein, Trapezohedron la MathWorld.
en Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra

Familia trapezoedrelor n-gonale
Nume trapezoedru	Trapezoedru digonal (tetraedru)	Trapezoedru trigonal	Trapezoedru tetragonal	Trapezoedru pentagonal	Trapezoedru hexagonal	Trapezoedru heptagonal	Trapezoedru octogonal	Trapezoedru decagonal	Trapezoedru dodecagonal	...	Trapezoedru apeirogonal
Imagine										...
Pavare sferică										Pavare plană
Configurația feței	V2.3.3.3	V3.3.3.3	V4.3.3.3	V5.3.3.3	V6.3.3.3	V7.3.3.3	V8.3.3.3	V10.3.3.3	V12.3.3.3	...	V∞.3.3.3

[1] Norman Johnson, Geometries and Transformations, (2018) ISBN: 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.3 Pyramids, Prisms, and Antiprisms, Figure 11.3c

[dA6-2] C100dA6, polyHédronisme v0.2.1, accesat 2024-04-17

[3] 3 2 and Hexagonal-trapezohedric Class, 6 2 2

[hahn-4] Hahn, Theo, ed. (2005). International tables for crystallography (ed. 5th). Dordrecht, Netherlands: Published for the International Union of Crystallography by Springer. ISBN 978-0-7923-6590-7.

[5] „Crystallography: The Hexagonal System”. www.mindat.org. Accesat în 6 ianuarie 2023.

[DMC-6] David McCooey, Hexagonal Trapezohedron, dmccooey.com, accesat 2024-04-21

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]